2026年中考数学一轮复习因式分解（知识梳理+考点讲义+专项训练）

【中考数学一轮复习】因式分解(知识梳理+考点精讲+专题训练)

专题06因式分解

知识梳理

1.定义

把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.

2.方法

(1)提公因式法：ma+nui+me=+b+c).

(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b);a2±lab+b2=(a±b)2.

(3)十字相乘法:£+q)x+pq=(x+p)(x+q).

(4)分组法.

3.因式分解的一般步骤

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式.

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以

尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；四项式及

四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式.

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.

4.因式分解的注意事项

(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素

缺一不可.

(2)因式分解必须是恒等变形.

(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化

为和差的形式.

考点精讲

A考点r01判断是否为因式分解

1.因式分解的概念

本考点主要考查因式分解的基本概念：把一个多项式化成几个整式的乘积

的形式，叫做把这个多形式因式分解.注意其中三个关键点：①原式是多

项•式•，②化为整♦式♦，③乘•积•的形式.

2.判定一个变形是因式分解的条件

(1)左边是多项式;

(2)右边是乘积的形式；

(3)右边的因式全是整式.

【例1】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是()

A.nr-4+m=(m+2)(m-2)+m

B.m2—5=m(m—

C.n(a+b)=na-^-nb

D.f+2x+l=(x+1)2

【答案】D

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除

法求解.

2

【解答】解：AAm-4+tn=(m+2)(m-2)+m,等式右边不是整式积的形式，故不是因

式分解•，故本选项错误；

B、=等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；

C、〃(”+。)=〃a+〃b,是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；

D、f+2x+l=G+1)2,笔式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确.

故选：D.

【例2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(a+4)(a-4)=4-16

B.x2-4)2=(x+4y)(x-4),)

C.x2-2x+l=x(x-1)+1

D.8x+16=(x-4)2

【答案】D

【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可.

【解答】解：4、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；

C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D、f-8x+16=(x-4)2,是因式分解，符合题意；

故选：D.

【例3】下列从左到右的变形中，是因式分解的是()

A.Ca-4)(。+4)=a2-16B.f+x-5=x(x+1)-5

C.f+l=(x+1)2D.x2-4x+4=(X-2)2

【答案】D

【分析】根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可.

【解答】解：A、(〃-4)(〃+4)=/-16是多项式乘法运算，不符合题意；

B、AT4-X-5=x(x+1)-5,不是因式分解，不符合题意；

C、F+1W(1+1)2,不是因式分解，不符合题意；

D、X2-4x+4=(x-2)2,是因式分解，符合题意.

故选：D.

【例4】下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是()

A.(6(+1)(a-1)=cr-\B.cr-2。+3=。(。-2)+3

C.f・5x=5/D.4/-4式十1=(2A-1)2

【答案】D

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫

因式分解.

【解答】解：A.(a+1)(d-1)=4-1,是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符

合题意；

B.a2-2a+3=a(a-2)+3,等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故

本选项不符合题意；

C.f・5x=5V,等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D.4f-4x+l=(2a-1)2,从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意.

故选：D.

A考点02公因式

1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项

的公因式.

2.怎样确定公因式［五看)：

・看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；

二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；

三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；

四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；

五看首项符号：若多项式中首项符号是“・“，则公因式的符号一般为负.

3.提公因式法的定义：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多

项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提

公因式法.

【例5】多项式12ab2-8/拉?的公因式是()

A.4abB.442b2C.2abD.2ahc

【答案】A

【分析】根据公因式的定义进行解答即可.

【解答】解：V\2ab2-Sa2bc=4ab^b-

*.\2abr-8a%c各项的公因式是4ab.

故选：A.

［例6］多项式3x-9,f-9与x2-6x+9的公因式为.

【答案】x・3.

【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项.

【解答】解：因为3x-9=3(x-3),f-9=(x+3)(x-3),x2-6x+9=(x-3)2,

公因式为(x-3).

故答案为：x-3.

【例7】Zr2与4肛的公因式是.

【答案】2x.

【分析】根据公因式的概念确定即可.

【解答】解：2?与4盯的公因式是2x,

故答案为：2T.

【例X】多项式-4,62+m-6的公因式是.

【答案】m-2

【分析】根据公因式定义，对多项式加2一4,，〃2+〃z-6进行整理，然后即可选出有公因式的

项.

【解答】解：**ITT-4=(机+2)(〃？-2),m2+m-6=(〃计3)(m-2),

，多项式〃-4,m?+机-6的公因式是(m-2)；

故答案为：tn-2.

A考点03因式分解

(1)提取公因式

am+bm+cm=m(a+b+c)

☆:公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次基的积；单独的公因

数也是公因式；将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式.

(2)套用乘法公式

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：a'±2ab+b2=(a±b)~

☆:乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是•个单项式或者多项式.

(3)分组分解因式：基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上.

(4)十字相乘法：

V+(p+q»+〃.q=(x+p)(x+q),多为二次三项式的因式分解.

(5)多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否卷公因式，再考虑能否运用公

式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因

式仍然用这一步骤反复进行,以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式,

然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结

果应是乘积式”.

【例9】因式分解：«2-1=()

A.(〃+1)(〃-1)B.a(〃+1)

C.(〃+1)2D.(〃-1)2

【答案】A

【分析】根据平方差公式进行计算即可.

【解答】解：a2-\=(。+1)(〃・1).

故答案为：(。十1)(。-1).

故选：A.

【例10】分解因式苏-4a的结果是()

A.〃(cr+4)B.a(a-4)

C.a(a+2)(a-2)D.a(a2-1)

【答案】C

【分析】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：原式=〃(层-4)

=a(。+2)

故选：C.

【例11］分解因式：2"/-4,几1了+2"232=.

【答案】2m(x-y)2

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：2iwr-4mxy+2my2

=2m(x2-Ixy^-y1)

=2m(x-y)2,

故答案为：2m(x-y)2.

【例12］分解因式：Sah2-2a=.

【答案】2a(2…)(2加答.

【分析】利用提公因式法和平方差公式法分解因式.

【解答】解：Sab2-2a

=2a(4/-1)=2。(2/7-1)(2Z?+1).

故答案为:2a(2Z?-1)(26+1).

A考点04因式分解的应用

1.有些整式不能直接进行因式分解，可以拆分其中某一项或者添加某些项，

再和其他项结合进行因式分解.无论添项或拆项都要保证整个式子的值不

变.

2.利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行

因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部

分,即可解决问题.

3.因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合

更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式

分解的结果，体现了逆向思维.

4.因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查.

【例13】若左为任意整数，则(2Z+3)2-4F的值总能()

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【答案】B

【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可.

【解答】解：(2R3)2-4/?

=4乒+12后9・43

=12攵+9

=3(4)+3),

•・•左为任意整数，

・•・⑵+3)2-必2的值总能被3整除,

故选：B.

【例14】我们规定:一个四位数M=abcd,若满足〃+b=c+d=10,则称这个四位数为“十全

数”.例如：四位数1928,因为1+9=2+8=10,所以1928是“十全数”.按照这个规定，

最小的“十全数”是1919；一个“十全数"M=丽，将其千位数字与个位数字调换

位置，百位数字与十位数字调换位置，得到个新的数根=丽，记涔，GCM)

=等若4F(M)+工(M)+15与空评均是整数,则满足条件的用的值是.

【答案】1919；3782

【分析】根据要求最小的“十全数”,得到〃=1,c=l,然后求出b=10・1=9,

=9,即可得到最小的“十全数”是1919；根据题意表示出M=900。+%+1010,Af=-9a

-900c+10100,然后表示出尸(M)=与卷=Q+C-10,G(M)=4二=81。-81c+1010,然

厂土—.4F(M)+G(M)+157a+c—3ab+cd8a+8c-3&.心亡［口.

后表不出二—=6a-6c+76+-,——=a+c+1-———,然后根据

13131717

题意得到若三与胃尸均是整数，得到7a+c-3能被13整除，8"8c-3能被17整除，

然后由l〈cW9,求出5W7a+c-3W69,进而求解即可.

【解答】解：设四位数加=丽，

要求最小的“十全数”，

.\a=1,c—1,

：.b=l0-1=9,d=10-1=9,

・♦・最小的“十全数”是1919；

一个“十全数"M=abed,

•*-ci+b=c+d=10»

：.h=\0-a,J=10-c,

M=abed=1000。+100(10-。)+10c+10-c=900a+9c+1010,

.*.Af=dc^=l000(10-c)+100c+10(10-a)+a=-9a-900c+10l00,

M-M'_900a+9c+1010-(-9a-900c+10100)

：.F(M)-909-=909=a+c-10,

M+M'_900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)

：.G(M)=816/-81C+1010,

.4F(M)+G(M)+15

13

4(a+c-10)+81a-81c+10104-15

=13

85a-77c+985

=6Q-6c+76H—,

.ab+cd10a+10-a+10c+10-c9a+9c+208cz+8c-3

・・--------=----------------------------=--------------=a+c+1-------------

17171717

・・・丝丝詈比上与誓均是整数，

・・・W(二与四尸均是整数，

・・・7a+c-3能被13整除，8。+8c-3能被17整除,

・・・1WCW9,KW9,

.♦・7W7cW63,--3W6,

・・・5W7a+c-3W69,

・・・7a+c-3的值可以为13,26,39,52,65,

心、/八、、一r/ra、【,/7Q+C—3-8a+8c—38a+8c-3.>口七入4人

••依次代入可得，当〃=3,c=8时，——=2,---=——--=5均是整数，符合

131717

题意，

.,./?=10-67=7,J=10-c=2,

・•・满足条件的M的值是3782.

故答案为：1919,3782.

【例15］若2a+b=-1,贝ij4cr+2ab-b的值为.

【答案】1.

【分析】由题意可得力=-1-2〃，整体代入计算即可得解.

【解答】解：・・・2〃+〃=-1,

:・b=-1-2a,

/.4a2+2ab-b=4a2+2a(-1-2。)-(-1-2a)=4a2-2a-4a2+\+2a=1,

故答案为：L

【例16】请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题.如果是

真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例.

(1)若〃2=〃，则”=人；

(2)对于任意实数x,)，，一定有f+VAZry；

(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；

(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形.

【答案】(1)(2)(4)都是假命题；(3)是真命题.：答案不唯一).

【分析】(1)因为。2=/，所以/=〃=(),即(〃+b)(〃-/?)=0,所以。+〃=0或4-〃=

0,得4=-/?或4=6,举个例子即可；

(2)因为(r-y)2~0,所以-2ry>0,所以，+>2,2匚、，，举例判断本题错误：

(3)设两个连续的正奇数为2%-1,2k+l(此为正整数),(2打1)2-C2k-1)2=8也据此

可得本题正确；

(4)梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答.

【解答】解：(1)(2)(4)都是假命题.(3)是真命题.

(1)是假命题，反例：当。=2,〃=-2时，结论不成立；

(2)是假命题，反例：当x=y时结论不成立；

(3)是真命题，证明如下：

设两个连续的正奇数为踪-1,2k+l(A为正整数)，

(2Z+1)2-(2-1)2

=4标+4%+1・(43・4%+1)

=8k,

,・Y为正整数，

・・・弘是8的倍数，

・•・两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛.

(4)是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立.

专题训练

一、选择题（共10小题）

1.多项式因式分解的结果为（）

A.a(4-庐)B.a2(。■庐)

C.ab(a-b)D.a(。+〃)(<7-b)

2.下列囚式分解中正确的是(〉

A.8/+16=(6/-4)2

B.-〃2+4。-4=-(6T-2)2

C.x(tz-Z?)-yCb-a)=(a-b)(x-y)

D.a4-b4=(4+/)(片-庐)

3.对多项式卬7户-4。分解因式，正确的选项是（）

A.a{nr-4)B.«(.m+2)(/w-2)

C.(m^-2a)(m-2a)D.a(m+2)(2-tn)

4.如果〃+2=3,ab=1,那么//?病序+〃护的值为（）

A.0B.1C.4D.9

5.下列多项式分解因式正确的是（)

A.a2-b2=b）2B.cr+b2=(a+-)2

2

C.a+2a-3=a(a+2)-3D.2。-4=2(CL2)

6.若，〃为任意整数，则（2m+6）2-36的值总能（）

A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被6整除

7.对苏-2//升必2进行因式分解，正确的是（）

A.a（cr-2ab+b2）B.a（a-b）2

C.(a-b)Ca2-ab)D.a3-ab(2a-b)

8.已知。+〃=6,a-b=2,贝ij3a2-3b2=()

A.36B.24C.18D.12

9.若q+b=4,则3cr+6ab+3b2-47的值为()

A.16B.4C.2D.1

10,下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.a(m+n)=am+an

B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-/

C.10A2-5x=5x(2x-1)

D.X2+6X+10=(X+3)2+l

二、填空题(共8小题)

11.因式分解：xy2-6xy+9x=.

12.因式分解：lr-2=.

13.因式分解析：Zr3-Ilr4-I8x=.

14.分解因式：5〃-20a=.

15.因式分解：fwc2-4m=.

16.把多项式2Q『-8QX)，+84)2分解因式的结果是

17.因式分解〃2-4〃+4的结果是.

18.把多项式2~+4什2因式分解的结果是.

三、解答题(共4小题)

19.因式分解:a3b-2a2b2+ab\

20.因式分解：

(1)30V2-6ax+3々；

(2)(/n2+l)2-4/n2.

21."探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.

甲：a2-2ab-4+b2乙：a2-ab-a+b

=(tz2-2ab+b2)-4(分成两组)=(.a2-ab)-(a-b)(分成两组)

=b)2-22(直接运用公式)=aCa-b)-Ca-b)(提公因式)

=Ca-Z?+2)(a-b-2).=(a-b)(«-1).

请在他们解法的启发下解答下列各题.

(1)已知小江c是△ABC的三条边长，且满足ab-ac+b2-bc=0,请判断△ABC的形状,

并说明理由.

(2)已知a+b=10+&,a-b=x/2-2,求多项式〃？・加・8a+12Z?-20的值.

22.(1)已知a,byc为整数，且存0,若多项式N+aK+bx+c能被多项式f+Zr-3整除，求

到劲的值.

(2)证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除.

参考答案与解析

一、选择题(共10小题)

题号12345678910

答案DBBDDBBADC

一、选择题(共10小题)

1.【答案】D

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

【解答】解：a3-ab2

=a(a2-b2)

=a(a+Z?)(a-b),

故选：Q.

2.【答案】B

【分析】将各式因式分解后进行判断即可.

【解答】解：/_8/+16=(〃-4)2=(。+2)2(〃-2)2,则A不符合题意,

-4+4〃-4=-(。-2)2,则3符合题意，

x(a-b)-y(b-a)=(a-b)(x+y),则C不符合题意，

a4-b4=(/+/)(〃-/)=(/+/)(a+汁)(a-b),则。不符合题意，

故选：B.

3.【答案】B

【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：anr-4a

=a(w2-4)

=a(m+2)(〃L2),

故选:B.

4.【答案】D

【分析】先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可.

【解答】解：由条件可知：

/8+2/序+。护

=abCa+b)2

=lx32

=9.

故选：O.

5.【答案】D

【分析】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：4、足-扶=Ca+b)(〃-〃)，故本选项不符合题意；

B、/+序不能因式分解，故本选项不符合题意；

C、/+2〃・3=(〃+3)(«-1),故本选项不符合题意；

D.2a-4=2(a-2),故本选项符合题意；

故选：D.

6.【答案】R

【分析】先利用完全平方公式将式子展开，然后用提公因式法将式子进行因式分解，求出

式子能被4整除.

【解答】解：(2团+6)2-36

=4加2+24/〃+36-36

=4W2+24W

=4(m2+6),

因为4(机2+6)能被4整除，

所以(26+以2-36能被4整除.

故选：B.

7.【答案】B

【分析】先提取公因式。，再利用完全平方公式继续分解.

【解答】解：♦-2”?〃十a。，

—a(a2-2ab+b2),

=a(a-h)2.

故选：B.

8.【答案】A

【分析】先整理3/・3序=3(。+力)(a-b),然后把o+b=6,a・b=2代入计算，即可作

答.

【解答】解：・・Z+〃=6,a-b=2,

3a2-3b2

=3(/-〃)

=3(〃+/?)(a-h)

=36,

故选：A.

9.【答案】D

【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案.

【解答】解：原式=3(。2-2"+/)-47=3(。+万):47,

・・・。+力=4,

・•・原式=3x42-47=1.

故选：D.

10.【答案】C

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.

【解答】解：A、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意;

8、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项大符合题意；

C、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C.

二、填空题(共8小题)

11.【答案】x(y3)2

【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【解答】解：-6“十9小

=x(/-6)叶9),

=x(y-3)2.

故答案为：x(y-3)2.

12.【答案】2(x+1)(x-1)

【分析】首先提公因式2,再利用平方差公式进行二次分解.

【解答】解：原式=2(A2-1)=2(x+1)(x-1).

故答案为：2(x+1)(x-1).

13.【答案】2A-(x-3)2.

【分析】首先提取公因式2-再次运用完全平方公式进行二次分解即可.

【解答】解：原式=2x-6工+9)

=2x(x-3)2,

故答案为：2A-(x-3)2.

14.【答案】5a(。+2)(〃-2)

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可

采用平方差公式继续分解.

【解答】解：5a3-20a

=5〃(»_4)

=5。(。+2)Ca-2).

故答案为：5a(a+2)(。-2).

15.【答案】m(x+2)(x-2)

【分析】先提取公因式加，再利用平方差公式分解因式即可得.

【解答】解：nvr-4m=m(x2-22)=m(x+2)(x-2).

故答案为:m(JC+2)(x-2).

16.【答案】2a(x-2y)2.

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：2ar-Scixy+^ay1

=2a(x2・4大y+4)2)

=2a(x-2y)2,

故答案为：2aQ-2y)2.

17.【答案】(tz-2)2.

【分析】利用完全平方公式，进行分解即可解答.

【解答】解：a2-4t/+4=(a-2)之，

故答案为:(4-2)2.

18.【答案】2(x+1)2.

【分析】将原式提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：原式=2(f+2x+l)

=2(x+l)2,

故答案为：2a+i)2,

三、解答题(共4小题)

19.【答案】见试题解答内容

【分析】首先提取公因式进而利用完全平方公式分解因式得出即可.

【解答】解：a3b.2a2/+加

=ab(。2-2ab+b2)

=abCa-b)2.

20.【答案】(1)3a(x-1)2；

(2)(m+1)2(m-1)2.

【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；

(2)先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：(1)3加-6or+3a

=3〃(x2-2A+1)

=3aCx-1)2；

(2)(/层+1)2-4m2

=(m2+1)2_(2/zz)2

=(/n2+1+2m)(M+]-2"!)

=(m+1)2(〃z-1)2.

21.【答案】见试题解答内容

【分析】(1)对ab-ac+b2-be=0因式分解得(b・c)(〃+/?)=0,由此得到b=c,则a

A6C是等腰三角形；

(2)先利用完全平方公式和平方差公式对多项式〃-序-8〃+128-2()进行化简，然后代入

求值即可.

2

【解答】解：(1)9•ab-ac+b-bc=0f

/.(Z?-c)Ca+b)=0,

・・Z,b,c是△ABC的三条边长，

a+b>Of

••b=c,

•••△ABC是等腰三角形；

(2)a2-Z?2-8a+12Z?-20

=〃2・8〃+16-(按-126+36)

=Ca-4)2-(/?-6)2

=(a-4+b-6)(tz-4-b+6)

=(a+b-10