集合及其运算（期末复习讲义5大重难题型+3阶分层过关）+答案-高一数学上学期（人教A版）

专题01集合及其运算（期末复习讲义）

■明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

1.1元素与集能判断元素与集合的从属关系，并根常与集合互异性结合考查，基础题型，

合的关系据关系求解参数。易因忽略检验而出错。

能根据问题选择列举法或描述法表

1.2集合的表描述法理解易错，需注意代表元素的含

示集合，并实现两种表示法之间的转

示法义与取值范围。

化。

能利用确定性、互异性、无序性判断

1.3集合的三小题中常设“互异性''陷阱，忽略易导致

集合的合法性，并求解相关参数问

大特性多解或错解。

题。

能判断集合间的包含与相等关系，会

1.4集合间的空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽

求子集、真子集个数，理解空集的特

关系略空集导致失分。

殊地位。

能进行集合的混合运算，并运用数轴

1.5集合的交、高频考点，数轴分析参数范围是常见题

或Venn图解决含参不等式集合的运

并、补运算型，也是学生的主要难点。

算问题。

■记•必备知识.

知识点01元素与集合

1.集合的概念

一般地，我们把指定的某些对象的全体称为」a,通常用大写字母A,B，C,...表示，集合中的每个

对象叫做这个集合的」通常用小写字母a,b,C,…表示.

2.集合与元素的关系

一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素。在集合中A中，就说元索

a属于集合A,记作〃£合，如果元素a在不集合中A中，就说元素a不属于集合A,记作42合.

3.集合的分类

含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集，不含任何元素的集合叫

作空集，记作0.

4.元素与集合

（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.

（3）常用数集及其记法:

正整有理实数复数

数集非负整数集（或自然数集）整数集

数集数集集集

符号NN*或(N+)ZQRC

知识点02集合的基本关系

文字语言符号语言

集合4中任意一个元素都是

子集A_c—B

集合8的元素

集合4是集合8的子集，且

基本关系真子集集合B中至少有一个元素不A三H

在集合a中

集合48中元素相同•或集合

相等A=B

48互为子集

空集是任何集合的子集0^A

空集

空集是任何非空集合的真子集03且

必记结论:

（D若集合4中含有。个元素，则有2〃个子集,有2〃-1个非空子集，有2〃-1个真子集，有2〃-2个

非空真子集.

（2）子集关系的传递性，即=

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑伺集的

情况，否则会造成漏解.

知识点03集合的交集、并集、补集运算

文字语言符号语言图形语言记法

£）

并由所有属于集合A或属「集合B的元素组成的集或

集合城18}1

交由所有属于集合A且属属集合B的元素组成的集{x|湎4,且

Ac/?

集合疝18}C®

补{x|.也U,且

由全集U中丕属王集合A的所有元素组成的集合■A

集x^A}LQ

知识点04集合的运算性质

1.交集的性质：

①.MBuA：②AMGB：③AcA=A:④Ac0=0；©Ang=Bc\A.

2.并集的性质：

①AMn4：②40BaB：③4aA=A；⑷4团0=A；⑤AE1B=砸人

3.补集的性质：

①[WU4)=A:®(.UU=0；③1U0=U:

④Ar>([UA)=0;⑤A回(CU4)=，；

⑥[U(Ac8)=(CUA)_U_([U8)；

⑦[U(4团8)=([UA)—([UB).

知识点05德摩根公式

Qf(AnB)=(Ctl.A)U(QrB)

C<AUB)=(CuA)n(CuB)

知识点06容斥定理之集合中元素个数

card{A\JB)=card{A)+card(B)—cardB)

card（A\JB\jC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A（＞\B）-card（Ar\C）

-card（BC\C）+card（AC\B^\C）

.破•重难题型.

包题型一元素与集合的关系

解|题|技|巧

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,

此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

注意：结合互异性解题

【典例1】（24-25高一上•安徽铜陵•期末）下列关系中正确的个数是（）

①OwN；②③;iR；④兀cQ

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案.

【详解】OeN,giR，兀/Q，①②③正确，④错误.

故选：c

【典例2】（24-25高一上•广西玉林・期末）若3w{l,2,/},则。的值为（）

A.—>J3B.\/3C.—^3或D.0

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，即可根据/=3求解.

【详解】因为3w{l,2,/},所以〃=3,,〃=±8

故选：c

【变式1】（24-25高一上•山东济南•期末）若集合人=卜卜2-2二（）},则（）

A.应任AB.-V2eAC.0eAD.AcZ

【答案】B

【分析】先得出集合A，再应用元素与集合的关系判断即可.

【详解】因为集合人=卜,_2=0}={"一码，贝iJ&wA-所以A错误，B1E确；

空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误.

故选：B.

【变式2】（24-25高一上•河南开封•期末）已知集合人={制区<1},则（）

A.—I任BB.C.IwBD.1GA1IB

【答案】C

【分析】解绝对值不等式求集合，再由包含关系判断各项元素与集合的关系即可.

【详解】由题设4={x|-l<xvl},则6A={x|xW-l或xNl},

由显然有_]eB、-leAB、府8、l^AB,

所以A、B、D错，C对.

故选：C

【变式3]（24-25高一上•四川眉山•期末）已知集合4={1,4-2,2/+54},且—3wA.

⑴求“的值；

⑵写出集合A的所有真子集.

3

【答案】⑴

777

（2）0,{1）»）--|>{_3},{1,——1»{1，一3},{--,-3].

3

【分析】（1）由-3",求得4=-1或。==，结合元素的特征，即可求解；

（2）由（1）知集合4={l,-g,-3},根据集合子集的概念，即可求解.

【详解】（1）当。一2二-3时，a=-i,A={l,-3,-3}不满足集合元素的互异性，。=-1不合题意;

当2/+5〃=一3时，解得。=一1或“=一=,。=一1不合题意，

2

37

当。二一大时，={15——3},符合题意；

22

3

综上，a=—；

2

（2）由（1）可得A={l,-g,-3},故集合4的所有真子集为：

777

0,{1},{-5）,{-3},{1,--）,{1,-3},{--,-3）.

国题型二集合间的基本关系

解|题|技|巧

（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点.

（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运

用.

注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.

【典例1]（24-25高一上•广东梅州•期末）设集合M={a,b],N={1,2,3},则满足用±N的集合M有（）

种情况

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】列举集合N含有两个元素的子集，可得结果.

【详解】因为集合N含有两个元素的子集有：{1,2},{1,3},{2,3}共3个，

所以集合M有3中情况.

故选：C

【典例2]（24-25高一上•云南昆明•期末）已知集合4=卜2,0,而},6={-2,加},6=A,则，〃=（）

A.0B.1C.0或1D.4

【答案】B

【分析】根据包含关系可知mwA,分加=0或，〃=后两种情况讨论，结合元素互异性可得.

【详解】因为人=卜2,0,而},B={-2,/n},3&A,

所以〃?wA,所以加=0或，〃=而，即加=0或加=1.

当加=0时，屈=0,集合A中的元素不满足互异性，舍去：

当用=1时,A={-2,0,i}^={-2j},满足BqA.

综上，加:1.

故选：B

【典例3】(24-25高一上•江苏南通•期末)已知集合M={1,2机+1}”={-1,加},且M=N,则，〃=()

A.-JB.1C.±1D.0

【答案】A

【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可.

【详解】因为集合”={1,2加+1}#=卜1,/},且M二N,

,,2m+1=-1,,

则2t，解得=

故选:A.

【典例4](24-25高一上•广东汕头•期末)设集合A={xeR|(x+5)(x—4)N0},8={x£RWc<2m}.

⑴若〃2=3,求(6”小

⑵若Bq'A,求实数〃，的取值范围.

【答案】⑴{划一5<“<6}

⑵用42

【分析】⑴先求出m=3时集合/，以及0A，然后求它们的并集：⑵根据分情况讨论集合8的

情况来确定〃z的取值范围.

【详解】(1)对于不等式(x+5)a-4)N0,解得A={x|x24或xW-5}.

那么Qm={x|-5vxv4}.

当〃z=3时、集合8={x[3<xv6}.

(2)当8=0时，满足

此时〃42”，解这个不等式得机40.

当800时，即m>0.

w>0

因为BuQA,所以]〃此一5.解得0<〃出2.

2m<4

综上，〃，的取值范围是团42.

【变式1］（24-25高一上•四川眉山•期末）若集合1={0」23},A的子集个数是个.

【答案】16

【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数.

【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是24=16个.

故答案为：16.

【变式2】（24-25高一上•甘肃廿南•期末）已知集合A={〃2,〃+2,-3},4=卜,+24-3=0},且BqA,

则心的值为（）

A.|B.-1C.±1D.3

【答案】A

【分析】求出集合〜分析可知集合A中必含元素-3、1，可得出关于实数“的方程，结合集合A中的元素满

足互异性可得出实数。的值.

【详解】因为8=卜,+2%-3=0}={-3,1}且85，

所以-3wAlwA,

所以"=］或〃+2=1,得4=1或-1，

根据集合中元素的互异性可得/2：“+：,解得〃*-1.且且5,故。二1.

。+2#-3

故选:A.

【变式3］（24-25高一上•贵州铜仁•期末）已知集合人={刈1<%<7},集合8={x|〃.lvx<6/〃+l}.

（1）若〃2=3,求AL3；

（2）若AqB,求，，？的取值范围.

【答案】（1）AJ3={X|1VXV19}

⑵s引1.2］

【分析】（1）由m=3可得6={x|2vxvl9},再由并集计算可得结果；

（2）根据集合的包含关系解不等式可得，”的取值范围.

【详解】（1）因为6=3,所以8={x［2<xvl9}

又因A={x|lvxv7},

所以AJ»8={X[1vxv]9}

（2）因为所以有

解得14加42,

所以〃，的取值范围为〃zw[l，2].

【变式4】（24-25高一上•海南•期末）设〃＞1,关于X的不等式皿2-（次+2）*+4＜。的解集为A.

⑴求A；

（2）设集合3={x|—3vxv3〃-5},其中。＞1,若求实数。的取值范围.

【答案】（1）A=卜弓＜X＜2}

（2川，2]

【分析】（1）解二次不等式，由“取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集；

（2）由人先求%A,再利用建立不等式，即可求实数”的取值范围.

[详解]（1）不等式W2—（2〃+2）X+4V0,BP（tir-2）（x-2）＜0.

因为〃＞1,所以。＜2＜2,

a

9

所以由（«LY-2）（X-2）＜0,可得二＜%＜2,

a

2

即A％|—vxv2

（2）因为4＞1,所以3〃一5〉-2,所以8/0,

[t]（1）得=曲N2,

2

要使8a'A，则需3"54一，

a

整理得3a*-5a-240.解得一；＜〃＜2,

又0＞1,

所以。的取值范围为（1,2].

0■题型三集合间的基本运算

【典例1】（24-25高一上・江苏南通•期末）已知集合A＜耶8=Z，则418=（）

A.{-1,0,1)B.{0,1,2}

C.{1,2,3)D.{1,2}

【答案】B

【分析】先解绝对值不等式，再利用交集定义求解即可.

【详解】由|“一1|<2可得一2<%一1<2,即一1cx<3,即得4={x|T<x<3},

则Ac5={0,l,2}.

故选：B.

【典例2](24-25高一上•广西钦州•期末)已知集合A满足44=(-5,0),则4=()

A.-)B.[0,+oo)C.(F-5)U(0，+R)D.(。,-52。，内)

【答案】D

【分析】考杳集合的补集运算.

【详解】由4A=(-5,0),则A=(-oo,-5][0,+oo).

故选：D.

【典例3](24-25高一上•山东潍坊•期末)设集合历=卜|)，=2；/«-1』},^={x|y=log2(x-l)},则

MuN=()

A.(L2]B.；,+司C.[—l.y)D.[0,2]

【答案】B

【分析】求出指数函数值域化简集合A,求出函数定义域化简集合以再利用并集的定义求解.

【详解】当一14x41时，!42'42,即人=[±2],

函数y=log2(x-D有意义,则%>1，即B=(l,+a>),

所以MUN=

2

故选：B

【典例4](24-25高一上•北京顺义•期末)已知全集(7=忆集合A={4?+4x-5>0},B={x|x>mjneR).

(1)若〃2=0,求集合AB；

⑵若(0,A)?8?,求实数n的取值范围.

【答案】⑴AuB={HxV-5或xNO}

(2中,田)

【分析】(1)求出A8,结合并集概念计算；(2)求出屯A,结合交集概念和(电八)？笈？得到取值范

围.

【详解】(1)由d+4x-5N0,解得工4-5或工21,

可得A={x|xK-5或1},

若加=0，则“="lx之0},所以AuB={x|xK—5或"20}.

(2)由(1)知可得A={x|x«-5或xNl},

所以6A={_5vx<l},

又因为5={x|R},若(电,八)？8?,

则实数〃7的取值范围是[1，S).

【变式1】(24-25高一上•云南曲靖•期末)已知全集〃={1,2,345},集合A={1,3,5},B={1,2},则⑼A»4=

()

A.{1,2,4}B.{1,2,3)C.{1,2,3,5}D.{1,2,3,4)

【答案】A

【分析】根据题意结合集合的补集和并集运算求解即可.

【讲解】因为仝集力={1,234,5},集合A={1,3,5},B={1,2},则4A={2,4}

所以(jA)U3={1,2,4}.

故选:A.

【变式2】(24-25高一上•安徽亳州•期末)已知集合人=卜)，=后口1,8=3卜=1+1},则4B=()

X

A.(2.+00)B.(f2)C.(L2)D.(l.+a)

【答案】C

2—t

【分析】由题川.知——>0,根据分式不等式的等价条件可得集合A，又,=/+1>1可得集介B,然后求交

X

集即可.

【详解】根据题意二>0=(2—x)x〉()n0<x<2,所以A="[0<x<2},

-X

又了=/+1>1,所以8二卜卜〉1},

则AnB=|x|l<x<2}.

故选：C.

【变式3](24-25高一下•江西南昌期末)已知全集(/={]卜<10,六1<},集合4,8是。的子集,若406={2},

&A)«={5,7,9}.(喇*X“B)={6,8},则集合4=()

A.{2,3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,3}D.{123.4}

【答案】D

B

【分析】由条件结合关系㈱=(Mu=[(腕)][(VA)仅叫，求出由此可求人

【详解】因为楸=(物1)U=(〃A)(B4B)=[(%A)B][(“A)(”)]，

又以A)B={5,7,9),(卷4)(〃6)={6,8},所以={5,6,7,8,9},

又U=kk〈10,x£N'}={123,4,5,6,7,8,9},

所以A={1,2,3.4},

故选：D.

【变式4】（24-25高一上•广西玉林•期末）已知全集U=R，集合A={ddT-12W0},集合

B={x\3—k<x<3+2k}.

⑴当*=1时，求AJAAC（06）；

⑵当A>0时，若AB=B,求实数々的取值范围.

【答案】（1）A8={d-3«JV<5},A（d4）={x|-3«xW2}

（2）0〈々弓

【分析】（1）将女=1代入集合B中，求出集合B,再利用集合的交并补即可求得结果.

（2）由ArB=B,可得，BQA.再利用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】（1）由题意得Y—x—12<0,解得一3044,

所以A={xl—34x34},

当上=1时，8={xl2vxv5},

所以AB={.r|-3<x<5}

=x«2,或炉5}

/.X（Q；4）={x|-3MxW2}

（2）由48=8,可得，BqA.

由（1）知八={X-3KXK4},

当A>0时,3+2k>3-k、B£0

k>0

rflBqA可得，3-A:>-3,解得

3+2k<42

[题型四Venn图及容斥原理的应用

【典例1】（24-25高一上•陕西榆林•期末）如图，已知U表示会集，4,8是。的两个非空子集，则阴影

部分可表示为（）

A.也4）c"B.Q,，（AcB）

C.AJ（Qj4）D.（0/（Ac8））c[A=4）

【答案】D

【分析】在阴影部分区域内任取一个元素“，分析元素x与各集合的关系即可.

【详解】在阴影部分区域内任取•个元素则XCAOB,且xwAuB,

所以阴影部分可表示为（d（4cB））c（AuB）.

故选：D.

【典例2】C4-25高一上•江西赣州•月考）（多选）已知全集。二伽,2,3,4,5,6,7},集合A={xwN|xv5},

B二{1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{0,2,4}B.Q（ACB）

C.Ac（q,，〃）D."刎c（⑷

【答案】AC

【分析】根据图验证B,C,D选项，再解出集合小利用交集补集定义判断A选项.

【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为AC（QI）,故C正确，B,D错误：

因为A={0,123.4},Q,6={0,2,4,6},

所以Ac（Q,.6）={0.2,4},故A正确.

故选：AC.

【典例3】（24-25高一上•广东佛山・期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅

体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎

国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统

计，统计结果如下表所示：

参与情况参与人数

参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆〃文艺汇演60

参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府"嘉年华活动89

参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动50

至少参与了其中的一个活动105

则下列说法正确的是（）

A.三项活动都没有参与的人数为15

B.三项活动都参与的人数最多为47

C.恰好参与一个活动的人数最少为21

D.恰好参与两个活动的人数最多为94

【答案】ABD

【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性.

【详解】设三项活动都参与的人数为X,只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为。，

只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为6,

只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为。，

只参与佛山祖庙活动的人数为〃，,

只参弓顺德欢乐海岸活动的人数为〃，只参与广东下占情活动的人数为P,

对于A,已知至少参与了其中一个活动的人数为105,

那么三项活动都没有参与的人数为120-105=15,所以选项A正确;

对于B,根据已知条件可得：

〃?+〃+/?+x=60，①

〃+o+c+x=89,②

p+/?+c+x=50,③

m-¥n+p+a+b+c+x=\05,（4）

将①+②+③得：

，〃十〃+〃+2（a+/7+c）+3x=199,（5）

用⑤-④可得：

〃+Z?+c+2x=94,即a+/?+c=94-2x.

因为力NO.cNO,即94-2工＞0,解得丫＜47,

所以三项活动都参与的人数最多为47,选项B正确；

对于C,由④可得〃7+〃+〃=1。5-（a+〃+c+x）,

将”+/?+C=94-2不代入可得：，〃+，z+〃=105-（94-2x+x）=l1+X,

因为X20,所以阳+〃+〃=ll+x2U,

即恰好参与一个活动的人数最少为11，

选项C错误；

对于D,恰好参与两个活动的人数为。+力+。=94-21，

因为x20,所以〃+Hc«94,

所以恰好参与两个活动的人数最多为94,故D正确.

故选:ABD.

【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包

含干某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果

既无遗漏又无重夏。

【变式I】（24-25高一上•江苏盐城•期末）已知。为全集，其三个非空子集A、八C满足则

下列集合为空集的是（）

A.(Q’A)CBB.(Q，8)cCC.(Q,C)C4D.ACBCC

【答案】C

【分析】结合venn图即可求解;

【详解】

由图可知（QM）c'ACBCC不是空集，

@c）c八=0

故选:c

【变式2】（24-25高一上•福建龙岩・期末）若全集U=R,集合A=W-2<x<3},8=［声〉1},则图中阴

影部分表示的集合为（）

/殴8

A.{x|j<-2).{乂-2cx<0}

C.{x|0<x<3}{乂-2<汇<3}

【答案】c

【分析】根据指数函数单调性求集合B,再结合Venn图运算求蟀即可.

【详解】因为8=1|3"〉1}={乂工>0},且4=同—2<x<3}

图中阴影部分表示的集合为42=目0。<3}.

故选:C.

【变式3】（24-25高一上•天津滨海新•期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛,

有15人参加趣味益智类比赛.有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和

田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.则只参加

趣味益智类一项比赛的人数为;同时参加田径和球类比赛的人数为

【答案】93

【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去"同时参加趣

味益智类比赛和田径比赛"和"同时参加趣味益智类比赛和球类比赛〃的人数，就是只参加趣味益智类一项比

赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为L列出方程计算即可.

【洋解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15,

且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；

同时参加趣味益智类比赛和球类匕赛的有3人.

又因为没有人同时参加三项比赛，

所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：15-3-3=9人.

设同时参加田径和球类比赛的人数为x,由题意得：

16+（5—幻+（】l-x）+x=28,

解得：x=3,

故同时参加田径和球类比赛的人数为3,

故答案为：9；3.

仔题型五集合新定义

【典例1】（24-25高一上•河南开封•期末）设尸，。为两个非空实数集合，定义集合A={，，+〃〃£?/）£Q},

若/>={0,1,2},Q={1,2,3},则集合人的子集的个数为.

【答案】32

【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可.

【详解】因为定义集合A={a十〃且尸={。,1,2},Q={123},

又0+1=1,0+2=2,0+3=3,1+1=2,1+2=3/+3=4,2+1=3,2+2=4,2+3=5,

所以集合A中的元素分别为1，2?3,4,5共5个，

则集合人的子集的个数为25=32.

故答案为：32.

【典例2】（24-25高一上•四川眉山・期末）定义集合的商集运算为：与二卜户乙叱儿女从，已知集合

Am

kB

八={2,4},B==,则集合二U8的真子集个数是____.

2A

【答案】15

【分析】求出集合,利用题中定义可得出集合去利用并集的定义可得出集合为B,确定集合*8的

元素个数，由此可得出该集合的真子集个数.

【详解】因为A={2,4},则34x=＞入八卜{0,1},

又因为一=".V.V=~./Z7GA,/ZGB故

Arn

DD

所以‘集合入UB有4个元素’故集合的真子集个数2-二5

故答案为：15.

【典例3］（24-25高一上•河南驻马店•期末）已知集合何={6，％卬,％}（04，4〈勺va3VNJ

具有性质：对任意勺+6与勺一生至少有一个属于加，则称加为“封闭集〃.

（1）若集合P={3,4,5},。={0,3,6},判断〜。是否是“封闭集〃?并说明理由：

⑵若集合?={%%”}（。式《v生〈囚）是"封闭集"，且q=2024,求集合「；

⑶设集合A={J，q，%,…，4}（。＜«＜V…V”之4,〃£N_）是"封闭集"，证明：

n

a^a2+a3+-+alt=--an.

【答案】（1）集合。是“封闭集"，集合〃不是“封闭集”，理由见解析

（2）P={0,1012,2024）

⑶证明见解析

【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断；

（2）根据“封闭集〃的定义结合q=2024可求出从而可求出集合A

（3）根据A={«,%,.々/（OSaVGVva“）是”封闭集〃，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性,

求出4=0,«,=a„-a„,a2=an-an_l,a3=af,-an_2,L,a„=an-ait相加可得递推式,进而可证得结

论.

【详解】（1）集合［={3,4,5}中,因为5+5=10:P,5-5=0£尸，所以集合户不是“封闭集〃.

集合Q={0,3,6}中，

因为（0+3）eQ,（0+6）eQ,6-3=3eQ,0±0=0eQ,3+3=6eQ,6-6=0tQ,

所以集合。是“封闭集”；

（2）因为“<%<%，且尸=｛马，%，%｝是"封闭集”,由于4+%>%，

所以外十%/尸，则%一%=。€「，所以q=。，

又因为4+%>%，所以/+出任2，

贝I」（々3一4）eP，（々3一4）e尸，（/）e尸，生一七<?一。<外一勾

由集合的元素互异性可知，%-4=。2，而q=2024,所以%=54=1°12,

故集合尸=｛0,1012,2024｝；

（3）因为A=｛q,%，，a“｝（O«[va2V••v4,）是"封闭集"，

所以为+/任A,则%-a“=0e4,所以6=。，

又因为OWqva2V…<6，所以OWa“一/<a"-6*<<%-4，

乂因为4+4一>",（=12，〃-1）,所以4+勺一》A,则见一1小人，

由集合元素的互异性可知

所以a2a-。3=可一。“_2，L，-q，

所以4+/+G++/=（4-4,）+（%-。,1）+（%-。-2）++（4-1）,

n

即q+a+a+-+a=

23n2

命题得证.

【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正

确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题.

【变式1】（24-25高一上•湖南益阳•期末）如果对于非空集合A中的任意两个不同元素。"都有〃+/7EA且

而EA,那么这样的集合人称为封闭集合，例如集合R就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元

素且只有有限个元素的封闭集合.

【答案】｛7,0.1｝（答案不唯一）

【分析】根据任意的〃力，都有且曲wA,即可求解.

【详解】若〃=0,〃工0,则满足〃+Z?wA且而64,

取1=1时,cwO且cwl,则c+LwA旦加*",即c+lwA,

若令c+I=0,贝此=-1,此时取A=｛-1,0,1｝,经检验符合要求，

故答案为：｛-L01｝（答案不唯­）.

【变式2】（24-25高一上•北京密云•期末）已知集合A包含有〃个元素，A'={x+y\x.yeA].

⑴若A={0J2},写出£；

⑵写出一个A*，使得4=/f;

⑶当〃:4时，是否存在集合A,使得/f={2.3,567,8.10}?若存在，求出此时的集合A,若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴4={0,1,234}

（2）T={0}

⑶不存在，理由见解析

【分析】（1）根据集合的新定义，写出A*中的元素即得；

（2）根据条件分析集合中的元素性质即得；

（3）根据题意可得出不存在这样的集合A，利用反证法证明即

【详解】（1）因人={。,1,2},A'={x+yk，yeA},

则0+0=0,0+1=1,0+2=21+1=2,1+2=3,2+2=4都是A”中的元素，

故A'=[0,1,234}：

（2）取>={0},此时A*={x+yk，y€A}={0},符合4=4*；

（3）当〃=4时，不存在集合A,使得<={23567,8.10},理由如下：

假设存在A={a,Z?,c,"},且〃cbcccd,则2a<〃+Z?<o+c</?+c<〃+d<c+d<2J.

故2a,a+4a+c,b+c力+d,c+d,2d为A"中7个不同的元素，

则24=2,。+力=3,4+。=5,方+。=6,/?+1=7,。+1=8,21=10,

由2a=2,a+/?=3,〃+c=5,〃+d=7解得：a=l,Z?=2,c=4,d=5,

此时c+d=9c4与92A*矛盾，枚假设不成立，即不存在这样的集合A.

【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属丁难题.

解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度

考虑，运用反证法予以证明.

【变式3]（24-25高一上•浙江绍兴•期末）己知集合八={123,4.567},8={xeN,_1比+24<。},记

A(1B=S,AAB=T.

⑴求集合S,T；

⑵对于只含有四个正整数,，三，占，匕的集合P，若四出-知口|的最小值是鼠则称集合尸是伙阶积

差四元集〃.

（E）若k=l,求“1阶积差四元集"C,且满足CqS；

（仅）若k=2,是否存在“2阶积差四元集〃例，N,使得MuN=T?若存在，求出所有集合M,M若不存

在，说明理由.

【答案】（1）S={3,4,5,6,7},T={1,2,3,4,5,6,7,8）.

⑵存在”={123,4},={5,6,7,8},或用={5,6,7,8},N={1,2,3,4},A/={1,2,3,8},N={4,5,6,7},

或"={4,5,6,7},N={1,2,3,8}.

【分析】（1）根据交集及并集得出集合：

（2）（国）先由CqS得出1M七-FX41mm=2,再分类讨论求解；（回）先由kw-x/iLm=2,得出王七和天心

一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合.

【详解】（1）因为丁一15+24«0,解得34x48,又犬eN,所以3={3,4,5,6,7,8},

所以S={3,45,6,7},7={1,2,3,4,567,8}.

（2）（0）因为Cu{3,4,5,67},

若。={3,4,5,6},则|小.0一七七|惭=2,不满足题意；

若。={3,4,5.7},则一七项1mm=1,满足题意；

若＜7={3,4,6,7},则"巧一事七匕=3,不满足题意；

若。={3,5,6,7},则|内三一巧为匕=9，不满足题意；

若。={4,5,6,7},则|多吃一七加=2,不满足题意；

综上，C={3,4,5,7}.

（0）假设存在“2阶积差四元集"Al,M

因为I玉占-34诙=2,其必要条件是存在H为-内黑|=2,所以项七和修匕•定是同奇数或同偶数，则

①若”一{1,3,5,7},N一{2,4,6,8},则M,N均不合题意;

②若A7={2.4,〃?,〃},7V={6.8,〃,“},其中如“，p,q是奇数,

则4川-2〃=±2,即2m=n±l.

当八二1时，得〃?=1（舍），或加=0（舍）：

当〃二3时，得加=1，或加=2（舍），此时”={123,4},/V={5,6,7,8},

且M,N均符合|与为一可匕扁=2;

当》二5时，得"7=3，或加=2（舍），此时版={2,3,4Q},/V={1,0.7,8）,N不合题意：

当八二7时，得加=3，或加=4（舍），此时”={234,7},/V={1,5,6,8},N不合题意;

③若"={2,6,〃z,〃},N={4,8,〃,4},其中/",〃，p,^是有数，贝16加一2〃=±2，即3加二〃±1，此时加,

〃无解；

④若”={2,8,肛耳,N={4,6,p,“},其中m,〃，p,q是奇数，则8M-2〃=±2,即47n二。±1

当八二1时，得用=:（舍），或切=0（舍）；

2

当〃=3时，得川=1,或〃?=g（舍），此时”={123,8},N={4,5,6,7},且M,N均符合1Al/一.七京=2;

3

当N=5时，得加=1，或刑=/（舍），此时”={125,8},N={3,4,6,7},N不合题意；

3

当》二7时，得〃2=二（舍），或阳=2（舍）；

2

所以此时M={1,2,3,4},N={5,6,7,8}或用={1,2,3.8},N={4,5,6,7},

同理M={5,6,7,8},N={1,2.3.4}或“={4,567},N={1,2,3,X},也满足题意.

综上，存在”={123.4},N={5.6,7.8},或A/={5.67,8},N={1,2,3,4}

”={1,2,3.8},N={4,5,6,7},或"={4,5,6,7},N={123.8}.

.过•分层验收.

期末基础通关练（测试时间：15分钟）

一、单选题

1.（24・25高一上•浙江温州•期末）已知集合人={仙＜文＜5},«={3,4,5},则（）

A.{23,4,5}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{3,4}

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算得解.

【详解】因为A={疝＜xv5},B={3,4,5},

所以AG={3,4},

故选：D

2.