2026年初中数学中考复习：等腰三角形与直角三角形

微专题18等腰三角形与直角三角形

考点精讲

构建知识体系

边

你

周长

面枳

考点梳理

1.等腰三角形与直角三角形的性质（6年7考）

等腰直角

图形名称等腰三角形等边三角形直角三角形

三角形

图形

边两腰①三边相等形的两直角边分别为。，两直角边相等

b,斜边为c,则有⑪_

三角相等，且每两锐角相等且都

角两底角②_两锐角之和等于或

一个角都等于。等于45°

等腰三角形顶角的

1.满足“三线合

③、④（D斜边上的中线等于回

性特殊满足“三线合

⑤相互（2）30°角所对的直角边

质性质2.斜边上的中线

重合（简记为“三等于⑭_____

等于西

线合一”）

等腰三角形是轴对等边三珀形是轴

等腰直角三角形

称图形，有⑥对称图形，有至

对称是轴对称图形，有

条对称轴，对称轴条对称轴，对称

性条对称

是⑦轴是㉚

轴，对称轴是⑰

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面积计

S=)〃=⑲S=扫2=⑳S*㉑—

算公式

2.等腰三角形与直角三角形的判定(6年6考)

I.在△川(7中，AB=AC.

⑴若△A8C的周长为12,一边长为5,则8C=；

(2)若AABC的一个内角为80°,则N3=°；

(3)如图，延长3c至点O,使得C0=AC,CE平分NACO交A。于点七，若A8=5,AO=8,

则CE=.

2.如图，在RSA5c中，ZBAC=90°,是边上的中线.

(1)若N3=2NC,则NB=；

(2)在(1)的条件下，若A8=4,则40=,ZADB=°；

(3)若△ABC中两边长分别为3,4,则△ABC的周长为.

3.如果△A3C的三边长〃，b,c满足a：b：c=l：1：VL那么△43。是()

A.等边三角形

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B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.等腰直角三角形

高频考点

考点1等腰三角形的相关证明及计算(2020.20)

例1如图，已知在△ABC中，AB=AC,4。为边上的中线，尸为CA的延长线上一点,

过点F作FGLBC于点G,交AB于点E

(1)求证：AD//FG；

(2)试判断尸的形状，并说明理由；

(3)如图②，连接CE,若CE1A8,AB=13,8c=10,求CE的长；

(4)若N8=60°,8c=8,E为AB的中点，求BG的长.

图①

图②

例1题图

考点2直角三角形的相关证明及计算(6年3考)

例2如图①，已知在△ABC中，CQ是边A3上的高，ZA=ZBCD.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)若NA=30°,BD=®求AC的K；

(3)若AC=花，80=4,求AO的长；

(4)如图②，AE1平分NC4B交C£＞于点片交C8于点E,求证：CE=CF.

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图②

例2题图

真题及变式

命题点1特殊三角形的判定（6年7考，常在计算题中涉及考查）

1.（2020广东20题6分人教七上习题改编）如图，在△ABC中，点。，E分别是AB,AC边上

的点，BD=CE,/ABE=/ACD,9E与CO相交于点F.求证：△A9C是等腰三角形.

第1题图

2.（2020广东21⑵题5分）若。=-4返，b=\2,一个三角形的一条边的长为2灰，另外两条

边的长是关于x的方程『+ar+b=0的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.

变式

2.1变条件一将已知条件变为与非负性结合

已知△A8C的三边长a,b,c满足（a—bp+12a—b—3+Ic—3x/5I=0,则△ABC是（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

命题点2与特殊三角形有关的计算（6年7考，常在几何题中涉及考查）

3（2021广东20题6分•北师八下习题改编）如图,在RtAABC中,NA=9（）°.作BC的垂直

平分线交AC于点。，延长AC至点£,使C£=AB.

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(1)若AE=1,求△A3。的周长；

(2)若AD=-BD求tanAABC的值.

3f

d

4b-----------------------

第3题图

新考法

4.［综合与实践］

数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.

【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是『，则这个三角形是黄金三角形.

【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°,

并制作了相同五角星如图②所示，NA的度数为36°,且AO—A8—1,于是猜测△八8。是黄

金三角形.

【解决问题】

(1)/CBD=0；

(2)求证：△A3。是黄金三角形;

(3)如图③，在RSA3C中，ZACB=90°,ZBAC=18°,BC=1,求A8的长.

第4题图

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考点精讲

①相等②相等③平分线④底边上的高⑤底边上的中线⑥1⑦底边上的高(或底边

上的中线或顶角的平分线)所在的直线⑧60°⑨3⑩每条边上的高(或中线或内角平分线)

所在的直线@r-\-h2=c2

@0°须斗边的一半⑱斗边的一半⑮斜边的一半⑯一⑱斗边上的高(或中线或顶角的平

分线)所在的直线⑱R?磔/殛力㉑7㉒90。(直角)

@60°㉔相等

练考点

1.(1)2或5；(2)50或8()；(3)3

2.(1)60°；(2)4,60；(3)12或7+夕

3.D

高频考点

例1(1)证明：・・・/W=AC,为8C边上的中线，

：.AD±BC,

VFG±BC,

：.AD//FG；

(2)解：△4EE等腰三角形，理由如下：

•・・A8=AC,AO为8c边上的中线，

：.4BAD=4CAD,

由(1)知AD〃尸G,

UNCA。，NAEF=NBAD,

A/F=NAEF,

：.AF=AE,

即△是等腰二角形；

(3)解：・・・AB=AC,AO为BC边上的中线，

:,BD=CD=5,ADVBC,

・••在RSA3。中,根据勾股定理,得4D=JAB2-BD2=J132-52=12,

9：CEA.AB,

.・・$△,c=,C4力=/〃CE'

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即：X1OX12=[X13XCE,解得CE=詈；

(4)解：VZB=60°,AB=ACf

・・・△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=8,

VFG±BC,

AZBEG=90°-ZB=30°,

是43的中点，

：

.BE=-2AB=4,

・・•在RtZkBEG中，/BEG=30°,

：

.BG=-2BE=2.

例2(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：

是边A8上的高，

AZADC=90°,即NA+NACO=90°.

,//A=N8C。，

・・・/ACQ+NBCO=90°=/AC8,

・•・AABC是直角三角形；

(2)解：VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,/B=60°,

・・,CO是斜边AB上的高，

AZBDC=90°,

AZDCB=90°—NB=30°,

：・BC=2BD,

：.AB=4BD,

：.AB=4y/3tBC=2同

・••在RQABC中，由勾股定理，得AC=JAB2-3C2=6；

(3)解：9：CD±AB,

：.ZADC=ZACB=90°,且NC4O=NB4C,

:.xACDsRABC,

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,AC_AD

**~AB~~ACf

\・AB=BD+AD,

,AC_AD

**BD+ADACf

VAC=V5,80=4,

・V5_AD

解得AD=-5(舍去)或AD=1,

J八。=1；

(4)证明：在RtZkAEC中，ZCEA=90°-Nl,

在RlZkAF。中，NA产。=90°-Z2,

TAE平分NC48,

AZ1=Z2,

・•・NAFD=NCEF,

丈：/CFE=NAFD,

:・/CEF=/CFE,

：.CE=CF.

真题及变式

1.证明：在△和△CE/7中，

WFD=^CFE

团DBFFECF,

{BD=CE

・•・△BDF^ACEF(AAS),

:・BF=CF,

:"FBC=NFCB,

：./DBF+/FBC=NECF+NFCB,

即/：ABC=ZACB,

：.AB=AC,

•••△ABC是等腰三角形.

2.解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：

a=-4-73,6=12,・、关于/的方程f+or+buO即为JC2—4\巨1+12=0,

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解得Xl=X2=2g,

・・・该三角形是等腰三角形，

V(2A/3)2+(2V3)2=(2V6)2,

・••该三角形是等腰直角三角形.

(Qi=Op=3

变式2.1D【解析】由题意得［20—8—3=0,解得b=3，丁/+/=/，且〃=七二△ABC

(C-3V2=0(c=3VZ

是等腰直角三角形.

3.解：(1)如解图，设。尸交8c于点尸，由题意得A8=C£,。/垂直平分8C,连接8。,

：.BD=DC,

：.△ABD的周长=A8+A£>+8O=CE+AC=AE=1；

(2)设AO=x,由得BD=3X,在RsABD中，ZA=90°,

：.AB=加口2-心=2缶,

由⑴得CD=BD=3x,

：.AC=AD+CD=4xf

AtanZABC=^=^=V2.

第3题解图

4.⑴解：36；

【解法提示】VZA=36°,AB=AD,：.ZADB=-(\S03一/4)=72°,又・.・N4DB=NC+

2

/CBD,ZC=36°,AZCBD=ZADB-ZC=36°.

⑵证明：9：ZA=ZC=ZCBD=36°,

：.AB=BC=\