八年级数学 第十二章 全等三角形 素养基础测试卷 【解析版】

第十二章全等三角形

素养基础测试卷参考答案

选择题（共10小题）

1.下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形的周长和面积分别相等

C.全等三角形是指面积相等的两个三角形

D.所有的等边三角形都是全等三角形

【解答】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误:

B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三隹形的周长和面积一定相等，故B正确；

。、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误；

D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等.故错误.

故选：B.

2.如图所示，△ABCgAAOE,/B=30°,ZC=95°,NE4O的度数是（）

AD

A.44°B.55°C.66°D.77°

【解答】解：■:丛AB8XADE,ZB=30°,ZC=93°,

・•・/£>=/8=30°,ZE=95C,

/.ZEAD=180a-30°-95°=55°.

故选：B.

3.工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质.如图，在/A08

的两边0A、。8上分别取。C=OQ,适当摆放角尺（图中的/CEO）,使其两边分别经过点C、D,且点

。、。处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线就是/AO8的平分线.这里判定两个三角形全等

的依据是（）

B

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【解答】解：•・•点C、。处的刻度相同，

:.EC=ED,

•：OE=OE,OC=OD,

・•・由SSS判定△ODE也△0C£

故选:B.

4.如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（）

&LA

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②去

【解答】解：③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据ASA定理得到一块完全一样的玻璃，

故选：C.

5.如图，已知N84C=NOCA.若添加一个条件后，可得△ABCgZXCDA,则在下列条件中，不能添加的

是（）

AD

BC

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=ZDD.BC//AD

【解答】解：选项A、添加BC=D4不能判定△ABCgACQA,故本选项符合题意;

选项从添加43=CO可用S4S进行判定，故本选项不符合题意；

选项C、添加N3=N。可用SAS进行判定，故本选项不符合题意；

选项。、添加8C〃4D,可得NAC8=NCAD,可用ASA进行判定，故本选项不符合题意.

故选：A.

6.如图，已知NAO8=60°,0C平分NA08,点P在。。上，尸。_LOA于。，0P=6c〃?，点E是射线0B

【解答】解：•・•NA08=60",OC平分NAO8,

・・.NAOP=30°,

VPDLOA,OP=6cm,

・•・PD为P=3cm

乙

过点P作P£~LOB于点E1,

:・PE=PD=3cm,

・・・PE的最小值为3c〃?.

故选：B.

7.如图为了测量8点到河对面的目标A之间的距离，在8点同侧选择了一点C,测得N48C=65°,ZACB

=35°,然后在M处立了标杆，使/MBC=65",NMC8=35°,得到△M8C也△A8G所以测得MB

的长就是A，3两点间的距离，这里判定△M8cg△43。的理由是（)

A.SASB.A4AC.SSSD.ASA

rZABC=ZMBC

【解答】解：在△ABC和△M8C中，BC=BC，

ZACB=ZMCB

:,/\MBg4ABC(ASA),

故选:D.

8.如图所示，小语同学为了测量一幢楼高A8,在旗杆。与楼之间选定一点P,测得PC与地面夹角NOPC

=38°,测得雨与地面夹角/APB=52°,量得点P到楼底的距离P3与旗杆的高度都是9/小量得旗

D.18〃?

【解答】解：VZCPD=38°,ZAPB=52°,ZCDP=ZABP=90°,

：，ZDCP=ZAPB=52°,

在△CP。和△物B中

fZCDP=ZABP

DC=PB，

lZDCP=ZAPB

:.△CPDW4PAB(ASA),

:・DP=AB,

•・•08=36〃?，PB=9/n,

••・A8=36・9=27(〃?)，

答：楼高A3是27〃?.

故选：B.

9.现有一块如图所示的四边形草地ABCQ,经测量，NB=NC,48=10加，BC=8m,CD=12〃?，点E是

AB边的中点.小狗汪汪从点B出发以2mls的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向

点。跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞如的运动速度为（）

R5,

ym/s

C.2/M/S或焉m/sD.2〃?/s或万

【解答】解：・・・AB=10m,E是A1边的中点,

/.BE=5?n,

•••/B=NC,且△BEP与ACP。全等，

:・BP=CQ,BE=CP或CP=BP,BE=CQ,

当BP=CQ,时，

♦：BE=5m,BC=8/n,

设运动时间为/,8-2/=5,解得1屈，

2

.•♦CQ=BP=2X/，

此时妞妞的运动速度为：3+,二小心，

当CP=BP,BE=CQ时，2t="|，1=2,

此时CQ=5,妞妞的运动速度为：5^-2=ym/s-

故选：D.

10.如图，已知NA8C、NEAC的角平分线8P、AP相交于点P,PMA.BE,PN上BF,垂足分别为从N.现

有四个结论:

①CP平分NACR

②N8PC=』N8八C；

2

®Z/\PC=90°--Z/1«C；

2

®S.\APM+S/\CPN>SAAPC.

其中结论正确的是（）（填写结论的编号）

A.®@@B.①©③④C.②③④D.①©④

【解答】解：①作PO_LAC于。，

•.•4。平分N4/3C,AP平分NEAC,PM±BE,PNLBF,

：.PM=PN,PM=PD,

:・PM=PN=PD,

・•・点尸在NACr的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）,

・•・门平分N4CF,

故①正确；

②•・派平分N4BC,CP平分/Ab,

；・/ABC=2/PBC,Z^CF=2ZPCF,

,?ZACF=NABC+NBAC,NPCF=NPBC+NBPC,

:.NBAC=2NBPC,

・・・NBPC=2NBAC,

2

故②正确；

③・・・PM_LA8,PNLBC,

・・・NA3C+90°+NMPN+90。=360°,

AZABC+ZMPN=\SOa,

YPM=PN=PD,

：.ZAPD=­ZMPD,/CPD=X/NPD,

22

:.NAPC=±/MPN=90。--ZABC,

22

故③正确；

®'：AP=AP,PM=PD.CP=CP,PD=PN,

：.RtAAPM^RtA/\PD(HL),RtACP^RtACPD(HL),

*.*S^PD=SdAPM，S^CPD=S2CPN，

S必PM+S&CPN=S.APC,

故④不正确.

综上所述，①®③正确.

故选：A.

二.填空题(共5小题)

11.如图，已知△ABCgAOE尸,点B,E,C,产依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为3

【解答】解：:△ABC丝△。斯,

:・BC=EF,

乂BC=8,

.\EF=8,

VEC=5,

\*CF=EF-EC=S-5=3.

故答案为：3.

12.如图，XABC中，ZC=90°,AC=10cmtBC=5cm,线段PQ=A从点P、。分别在AC和与AC垂

百的射线AM上移动，当40=或10。〃时,△A8C和△。以全等.

【解答】*：PQ=AB,

・•・根据三角形全等的判定方法HL可知，

①当P运动到AP=8C时，△ABCgZXQ%,g|JAP=BC=5an；

②当。运动到与。点重合时，△QAP丝△8C4,即AP=AC=10c〃?.

故答案为:5cm或lOc/n.

13.如图，AB=AC,点、D,£分别在AC上，连接CO.请你补充一个条件/B=NC（答案

不唯•），使aABE丝ZXACD.

理由是：在△ABE和△ACO中，

rzA=ZA

AB=AC，

lZB=ZC

r.（ASA）,

故答案为：NB=NC（答案不唯一）.

14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+N2+/3=135°.

【解答】解：观察图形可知：△A8C9Z\/3QE,

：,Z\=ZDBE,

又・.・/。的/3=90°,

AZ1+Z3=9O°.

VZ2=45°,

.•・N1+N2+N3=N1+N3+/2=9O°+45°=135°.

故答案为：135.

15.如图，。从L/1B于£DRLAC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:

①DE=DF；②AO平分NBAC；®AE=ADt®AC-AI3=2BE

正确的是①②④.

【解答】解：在和RtZXCD/中，JBD=CD,

lBE=CF

ARtABDE^RtACDF(HL),

：.DE=DF,故①正确：

又TQfLL",DFA.AC,

・・・AD平分N8AC,故②正确：

在RtAADE和RtAADF中，［仙-AD,

lDE=DF

(HL),

：.AE=AF,

：.AB+BE=AC-FC,

：.AC-AB=BE+FC=2BE,

^AC-AB=2BEf故④正确;

由垂线段最短可得AEVAQ,故③错误，

综上所述，正确的是①②④.

故答案为：①②④.

三.解答题(共8小题)

16.如图，点A、B、。、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证：BC=EF.

【解答】证明：・・・4C〃OEBC//EF,

：,ZA=ZFDE,NCBA=NE,

■:AB=DE,

:.XABgRDEF(ASA),

:・BC=EF.

17.在△ABC中，AB=AC,/A=100°.点M在8C的延长线上，NA8C的平分线交AC于点DZMCA

的平分线与射线。。交于点£

（1）依题意补全图形；用尺规作图法作NMCA的平分线;

（2）求的度数.

【解答】解：（1）如图，CE即为所求;

(2)・・・AB=4C,NA=100°

•♦・/AC8=NA8C=40",

是/"C的平分线,

AZAI3D=ZCBD=2()0,

VZACM=\S(r-40"=140>,CE是NMC4的平分线,

:./MCE=/DCE=7D°,

:・/BEC=/MCE-NCBDH00-20°=50°.

18.如图，在△48C中，4。平分N84C,AD=AC,延长A。到点E,使得A£=48,连结4£,CE.

(1)求证：△A8。丝ZVIEC；

(2)若N8AC=60°,求N8CE的度数.

【解答】(1)证明：平分N84C,

：.ZBAD=ZEAC,

在△A8。与△AEC中，

fAB=AE

ZBAD=ZEAC，

IAD=AC

A(SAS)；

(2)解：：入。平分NBAC,NB4C=60°，

：.ZBAD=ZEAC=-izBAC=30°,

2

*/ZBAD+ZABD=NA。。，ZBCE+ZAEC=ZADC,

・•・ZBAD+ZABD=ZBCE+ZAEC,

△A8。gAAEC,

NABD=ZAEC,

・・・N8CE=NB4O=30°.

19.如图，已知A8=AC,AD=AE,N84C=/DAE,且8、D、石三点共线,

(1)证明：△ABO会/XACE；

(2)证明：Z3=Z1+Z2.

A

I

BC

【解答】证明：(I)ZBAC=ZDAE,

：,ABAC~ZDAC=ZDAE-NDAC,

即NB4O=N1,

在△48。与△ACE中，

，AB=AC

ZBAD=Zb

AD=AE

/.AABD^AACE(SAS)：

(2)由(1)可知，AABD^AACE,

・•・NA8O=N2,

/3=NR4O+/AB7)=NI+/2.

20.如图，在△ABC中，A。平分NBAC,交BC于点D,DE1AB,垂足为4NB=45°,ZC=75°.

(1)求N/1OC的度数；

(2)若BE=2,求AC的长.

【解答】(1)解：・・・NB=45°,NC=75°,

・・・NR4C=180°-45°-75°=60°,

•；A。平分NBAC,

・・.NBAOUNBAC]X60°=30°，

乙乙

AZADC=ZBAD+ZB=300+45°=75°；

(2)解：VZADC=75°,ZC=75°,

：,AD=AC,

*：DE±AB,N8=45°，BE=2,

:.DE=BE=2,

•：ZBAD=30°，

.,.AD=2DE=4=AC.

21.如图，已知点P（2〃?-l,6〃L5）在第一象限的角平分线。。上，一直角顶点与点P重合，角的两边

与x轴、y轴分别交于A点，B点,则：

（I）点尸的坐标为多少？

（2）0A+08的值为多少？

【解答】解：（1）作尸E_L），轴于E,尸凡Lx轴于R如图所示:

••lfl=\9

.\P(1,1),

・••点P的坐标为(1,1);

(2)由(1)得：ZEPF=90°,

VZBE4=90°，PE=PF=T,

:.NEPB=NFa,

在△3“和五P中，

ZPEB=ZPFA=90°

PE=PF，

ZEPB=ZFPA

:.4BEP@4AFP(ASA),

：・BE=AF,

・•・OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE,

VP(1,1),

：,OE=OF=\,

・・.O4+OB=2.

：.OA+OB的值为2.

22.如图(1),AB=4cm,ACLAI3tBDLAB,AC=I3D=3cm.点。在线段AB上以3〃/s的速度由点A

向点3运动，同时，点Q在线段3。上由点4向点。运动.它们运动的时间为/(s).

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当，=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线

段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)如图(2),将图(1)中的“AC_LA&改为“/CAS=NZ)ZM=60°”，其他条件不变.设

点。的运动速度为衣〃而，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的X、/的值；

又N4=/8=90°,

在△ACP和△BP。中，

(AP=BQ

ZA=ZB.

IAC=BP

:.丛ACP94BPQ(SAS).

/.NACP=NBPQ,

r.ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP^O0.

AZCP(2=90o,

即线段PC与线段尸Q垂直.

(2)存在,

理由：①若△ACPgaBPQ,

fflAC=BP,AP=BQ,

则产4-t,

It=xt

解得(t=l；

IX=1

②若△"也△%2，

则AC=BQ,AP=BPt

WJ(3=xt,

It=4-t

\=2

解得：，3；

x=7

r=1ft=2

综上所述，存在Jt-l或13,使得△4CP与△BP。全等.

Ix=lX=y

乙

（1）若将△ACE绕点4逆时针旋转，连接。E,M是