2026北师大版八年级数学下册一课一练：三角形内角和定理（课时练习试卷）附答案

1.1三角形内角和定理分层练习（学生版）

基础过关练

题型一三角形内角和定理的证羽

1.在探究证明“三角形的内角和等于180。”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三

角形的内角和等于180。”的是（）

2.在探究证明“二角形的内角和是180。”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，具中不能

证明“三角形内角和是180。”的是

B.如图②所示，过点8作8G||,4c

C.如图③所示，过点C作C。，相、垂足为点。

D.如图④所示，过44边上点尸作PMIICZ,PN\\AC

3.“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到

一个著名的常用的几何结论，这一结论是（）

AA

A.三角形的内角和等于18（）。B.三角形的内角和等于360。

C.直角三角形的两个锐角互余D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

4.求证：三角形三个内角的和等于180。.（要求：画图写出已知、求证及证明过程）

5.证明：三角形的内角和等于180。.

己知:如图，LABC.

求证：_________.

证明：

ZA\

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1.1三角形内角和定理分层练习（学生版）

6.（1）如图：△48c的点c为顶点，力。为边，在的外部用尺规作4（在原图上作

图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于180。，请你帮助小颖完成说理过

程.

•乙4CD=N4（已作）

AB//,

・•・+=180。1两直线平行，同旁内角互补）

即+/ACB+ZACD=180°

・・・=180。（等量代换）.

7.为了证明“三角形的内角利是180。”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法.回答下列问

题:

过点。作£尸〃/8二到点尸，DBiBC,DFHAC于班

过点C作AB

图①图②图③图④

（1）能证明"三角形内角和是180"的方法是（请填写序号）；

（2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明.

题型二利用三角形内角和定理进行简单计算

1.在产中，若4=80。，ZE=20°,则NC=（）

A.80°B.70°C.60°D.100°

2.如图，点。，E分别在线段48,力。上，“与CQ相交于点N.若且4=55。，ZC=25°,

则4所的度数为（）

A.80°B.90°C.100°D.105°

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1.1三角形内角和定理分层练习（学生版）

3.将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则的度数为（）

B.100°C.105°D.110°

4.如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在4处测得灯塔C位于北偏东75。，在〃处测得灯塔C位

C.70°D.80°

5.如图，△ABCHADE,/ABC=52°,/"8=68。，贝IJ/D4E的度数为()

B.52°C.68。D.70°

6.在△/8C中，ZJ:Zj?:ZC=l:3:5,则NC的度数为（）

A.80,B.90°C.100°D.120°

7.在ZUA。中，当乙4:N8:/C=1:2:3时，这个三角形是（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形.

8.如图，在△48C中，4=36。，N8=48。，8是△力。6的角平分线，则4CQ的度数是

能力提升练

题型一与平行线有关的三角形内角和问题

1.如图，直线4分，若Nl=40。，Z2=70°,则N3等于（）

40°C.50°D.70°

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1.1三角形内角和定理分层练习（学生版）

2.如图是一架婴儿车的示意图，其中力4=110。，Z3=40°,那么N2的度数为（）

B.90°C.100°D.70°

3.如图，将三角形纸片48c的一角沿着。E折叠，使点。的对应点尸落在/44。靠近48的三等分

线4G上，且D尸〃力C,ZC=70°,ZJBC=66°,则/四G的度数为

C

N2=33。，则N3的度数为

5.超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷.将它抽象出来的平面图形如图所示.已

知川B〃CQ,FDLCD,若Nl=75。，Z2=95°,则/3的度数为.

6.如图，在△力8c中，点。在AC•上，/BDA=Z1BAC,NABC的平分线交AC于点E,过点E作分〃AD,

交8c于点E

(1)求证：/BAD=NC；

(2)若NC=20。，Z^C=110°,求N8斯的度数.

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1.1三角形内角和定理分层练习(学生版)

7.如图，在中，4=90。，点。在小C边上，DE〃BC,若4OE=155。，求N8的度数.

(1)求证：AE=DF；

⑵若4E8=60。，ZC=50°,求/。的度数.

9.如图，点，E分别是M8C的边8C,/C上的点.

(1)尺规作图：过点。作线段。尸〃力C,交4B于点F,要求保留作图痕迹，不用写作法;

⑵在(1)的条件下，若DE〃BA,NA=NBDF=2NEDC,求的度数.

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题型二与角平分线有关的三角形内角和问题

1.如图，在ZU8。中，乙%。=64。，4=36。，4。平分/历1C交8C于点。，则“4QC的度数是()

A.80。B.100°C.78°D.68。

2.如图，在△力8c中，点。在8c延长线上，BE,CE分别平分/wZACD,CF1.BE,垂足为A若

A.30。B.60°C.650D.70°

3.如图，在△9C44,/ABC,/«石的平分线交于点。，/8OC=130。.

(1)/力的度数为

(2)若CD平分外角4c尸，交80的延长线于点。，点E是ZU8C的两外角平分线的交点，则/E-NQ

的度数为

4.如图，/Q"和/次笫的平分线/P和CP相交于2点，交叉形成了多个“和谐8

字形"，若/。=42。，4=38。，那么/尸的度数是

5.如图，在△48C中，己知力。是角平分线，N4=64。，ZC=56°.

(1)求/力。。的度数；

(2)若。月工力。于E,求//QE的度数.

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6.如图，在中，"=2/。，花是/41C的平分线，ADJ.BC交BC于点D.

(2)若NE4C=/C,求证：“BDAAED.

7.如图，在中，。是8c的中点，6E平分N48C,CFlABt交相的延长线于点?

⑴若/历fC=27。，/8Cr=40。，求4即的度数.

（2）若力8=5,3=4,求△CW的面积.

8.如图，在△力8c中，BD,CZ）分别是48C,N4C5的外角平分线,

（1）若46c=50。，Z/fC5=40°,那么/。=

⑵若4=。，求的度数（用含Q的式子表示）.

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1.1三角形内角和定理分层练习(学生版)

9.【问题呈现】

小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题:

如图①，N1与/2分别为△初C的两个外角，求证：/1+/2=180。+4.

【推理证明】

(1)补全证明过程.

证明：「Nl与N2分别为△/1*的两个外角,

.../I=ZA+,Z2=+

Zl+N2-___________

•・•Z3+-Z4+ZJ=180°,

Z1+Z2=18O°+ZJ.

(2)如图②，在ZUBC纸片中剪去△力EO,得到四边形4CQE.若n=130。，则N2-4的大小为

__________度.

⑶如图③，在中，BP,CP分别为外角/08C,NEC8的平分线，写出/尸与//之间的数量

关系，并说明理由.

题型三三角形折叠中的角度问题

1.如图，将纸片沿。E折叠，点力落在点尸处，已知N1+N2=11(T,则的度数等于()

A.70°B.60°C.55。D.40°

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1.1三角形内角和定理分层练习（学生版）

2.如图，把MAC纸片沿折叠，当点彳落在四边形4cM的外部时，则//与N1和N2之间有一

种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（）

A.ZJ=Z1-Z2B.2ZJ=Z1-Z2C.3Zz4=2Zl-Z2D.34=2（N1-N2）

3.如图，将纸片沿折叠，使点力落在点4处，且4H平分/小C,Of平分N/CB,若

N8dC=115。，Zl=45°,则/2的度数为（）

4.如图，ZUAC中，4=30。，沿BE将此三珀形对折，又沿4才再一次对折，点C落在的上的U处,

此时ZVQB=64。，则原三角形的NC的度数为（）

A■

A.75°B.76°C.98。D.99°

5.如图，长方形纸片［AC。，E为CD边上一点,将纸片沿着的折叠，点。落在点U处，将纸片沿

花折叠，点。落在点Q'处，且点。恰好在线段初上，若//EC'=a,则NCE8=.（用

C

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1.1三角形内角和定理分层练习(学生版)

6.如图，中，乙化方=90。，4=5()。，将其折叠，使点A落在边。上点H处，折痕为CQ,

则47)8的度数为.

7.如图，在LABC中，48。=90。,//=38。，E为4C边上一点，连接BE,将MBE沿BE翻折得到NBEF,

若E/"8C,则NC四的度数为。.

8.如图，△/是一张纸片，把/C沿。E折叠，使点C落在点。'的位置.

(1)当NC=45。时，求N1+N2的度数.

⑵若NC=a,请直接写出N1+N2的度数.(用含。的代数式表示)

9.如图，MBC是一个三角形的纸片，点，E分别是MB。边""C上的两点.

B

图⑴图(2)图⑶

⑴如图(1),如果沿直线。E折叠，且。石工力。，若乙4=30。，求=

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(2)如图(2),如果沿直线折叠后4落在四边形4CE。内部，探究NC£W和的关

系，并说明理由.

⑶如果折成图(3)的形状，直接写出/以W,NCEH和/力的关系.

题型四利用三角形内角和定理进行证明

1.如图，在中，点。在"上，点E在NC上，/ADE=NC.请说明4=4口的理由.

2.如图所示，在△MC中，力。平分/切C,点尸为线段力。上的一个动点，PE交8C的延长线于点

E,若NB=35。,ZJC5=85°,"=25。，求证：△/)〃£■为直角三角形.

3.已知：如图，AD与BE交于点F,CE与BD交于点、G,AB=CB,/AFB=NCGB,ZABE=^CBD.

⑴求证：AF=CG；

(2)求证：ZD=ZE.

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4.如图，在ZU4C中，4。?=80。，点。在/C的延长线上，AB5D,过点。作。E〃8C,BE交AD

于点、G,点、F为DE上一点、,/胡尸=100。，延长8。交"于点，.

⑴求证：BH=AF；

(2)若BC=+EF,4D=8,AC=2f求。G的长.

5.如图，在△48。中，力。平分/8/C,。为线段力。上的一个动点，力。交8c的延长线于点E.

⑴若4c8=80。，乙5=40。，求/E的度数；

(2)当尸点在线段力。上运动时，猜想N8,N力C2与/£的数量关系，并证明.

6.如图，过的顶点4作"'148,且"二48,再作4/_LNC,且加/=4C,BH交AC于E,

CF交AB于D,与CF相交于点O.

求证：

(\)HB=CF-

(2)HBLCF.

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7.如图，力。是△/出。的高，b为力。上一点，BF交AD于点E,且BD=4D,ED=CD.

(1)求证：△ACD/ABED.

(2)求证：ZJFE=90°.

(3)若S4BCF=20,S四边形=8,求AAEF的面积.

拓展培优练

题型一三角形内角和定理的综合应用

1.如图1,CO为△/加1的高，CE平分/力。8,ZJ>ZB.

G）拿的值为

（2）在图1的基础上，如图2所示，点G为MBC外一点，连接。G,BG,作NDG8的平分线交CE

的延长线于点/，若NOCE=16。，NCBG=ZACD+/CBD,NCOG-/BCE=[8。时，则//=.

2.如图，等腰中，点。是边8c上的一个动点（不与3,C重合），连接彳P,在边48

上取一点0,使得力。=力尸，连接尸2,

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1.1三角形内角和定理分层练习(学生版)

⑴若NC=70。，NC"=20。，求尸。的度数；

(2)若NC=60。，ZCAP=x%请用含x的代数式表示/8P。的度数；

⑶由(1)(2)的结论，请猜想尸与/研。的数量关系，并证明你的猜想.

3.已知：点4在射线CE上，ZC=ZD.

W

BCB--------CBi

(图1)(图2)(图3)

(1)如图1,若求证:AD||BC.

(2)如图2,若NB4C=/B4D,BD1.BC,请探究ND4E与NC的数量关系，写出你的探究结论，并加

以证明；

⑶如图3,在(2)的条件下,过点。作。用交射线于点尸，当NO比=8ND1E时，求/历1。的度

数.

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1.1三角形内角和定理分层练习(学生版)

4.如图，在△力4C中，点。在上，过点。作。七〃BC,交/。于点£,DP平分/ADE,交NACB

的平分线于点P，W与。上相交于点G,4W的平分线。。与QP相交于点。.

(1)若//=40°,N8=6(T,贝°,/。=°;

(2)求证：/。弓/力；

(3)若△PC。中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的/力的度数.

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

基础过关练

题型一三角形内角和定理的证羽

1.在探究证明“三角形的内角和等于180。”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三

角形的内角和等于180。”的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键.根

据平行线性质和三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：A、VCE||AB,:,NBAC=/ACE,NB=NECD,由4C4+4CE+NACZ）=180。，得

N8C4+/胡C+NB=180。，故此选项不符合题意；

B,VHE||RC,:./DAB-NB,ZEAC=ZC,由+N5力C+NOE=180。，4-ABAC+ZC=180°,

故此选项不符合题意：

c,-：DE\\BCfZB=ZADE,ZC=ZAED,无法证得三角形的内角和等于180。，故此选项符合题意；

D、如图，

HGA

B~C

VDE||BC,:・NB=〃OE=NBOP,NC=N4MP,YNA+NAMP=NAOP,・・.4+NC=4OP,

4BOP+ZAOP=\80°,/BOP+4+NC=180。，

・・・4+N8+/C=180。，故此选项不符合题意.

故选：C.

2.在探究证明“三角形的内角和是180"时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能

证明“三角形内角和是180。”的是

A.如图①所示，过点c作£尸1148

B.如图②所示，过点8作8G||.4c

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

C.如图③所示，过点。作。。，力4、垂足为点。

D.如图④所示，过44边上点尸作PMIIC8,PN\\AC

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练

掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键.作出相应的平行线，把三角形的三个内角

转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题.

【详解】解：如图①所示，过点。作^

NA=NECA,/B=NFCB,

...N4+4CE+N5=NEC4+ZJa+N尸CA=180°,

故图①能证明"三角形内角和是180。”，

故A选项不符合题意；

如图②所示，过点8作8Gli力C,

:.NC=NGBC,ZJ+N48G=180。，

ZA+NC+ZABC=ZJ+ZABC+NCBG=180°,

故图②能证明“三角形内角和是180。”,

故B选项不符合题意；

如图③所示，过点C作。。_L48、垂足为点。，

只能证明乙4DC+=180。，

故图③无法证明"三角形内角和是180。”，

故C选项符合题意；

如图④所示，过48边上点尸作PA/IIC8,PNIMC,

，四边形PMCN是平行四边形，NAPM=NB,NBPN=4,

/.ZC=NMPN,

4++NC=4尸〃+4MPN+/BPN=180°,

故图④能证明"三角形内角和是180。”，

故D选项不符合题意.

故选：C.

3.“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到

一个著名的常用的几何结论，这一结论是（）

A

-*C

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

A.三角形的内角和等于180。B.三角形的内角和等于360。

C.直角三角形的两个锐角互余D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

【答案】A

【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明.根据图形和平角为180。即可解答.

【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角,

即三个角的度数之和为180。，这就是三角形的内角和定理.

故选:A.

4.求证：三角形三个内角的和等于18（）。.（要求：画图写出已知、求证及证明过程）

【答案】见解析

【分析】画图并写出已知，求证，过点力作由平行线的性质得=NNAC=NC,

结合平角的定义即可证三角形三个内角的和等于180。.本题主要考查了三角形内角和定理的证明，

熟练掌握辅助线的作法和平角的定义是解题的关键.

【详解】解：已知：如图，MBC.

证明：如图，过点力作

-MN\\BC（己知），

:./MAB=NB,NNAC=NC（两直线平行，内错角相等），

•/ZMAH+^BAC+ZNAC=180°（平角的定义），

/.Z5+Z5z4C+ZC=180°（等量代换）.

5.证明：三角形的内角和等于180。.

已知：如图，AABC.

求证：.

证明：

【答案】4+N加C+NC=180。,证明见解析

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造

平行线是解题的关键.

根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点力作MV〃8C,根据平行线性质得出

/MAB=/B,/NAC=/C,再根据平角的定义以及等量代换即可解答.

【详解】解：求证：/8+N84C+NC=180。.

证明：如图，过点力作MV〃8C,

=/NAC=/C（两直线平行，内错角相等），

■/AMAB+ZBAC+ZNAC=180°（平角的定义），

/.Z5+Zi?JC+ZC=180o（等量代换）.

6.（1）如图：△48C的点。为顶点，力C为边，在/的外部用尺规作（在原图上作

图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于180。，请你帮助小颖完成说理过

程.

vZACD=ZA（已作）

AB//,

・•・+=180。［两直线平行，同旁内角互补）

即4+乙4c8+乙4s=180。

・・・=180°（等量代换）.

【答案】CD；内错角相等，两直线平行；NB,/BCD；NB+N4CB+N4

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握

相关知识解决问题；

（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用平角的定义平行线的性质证明即可.

【详解】解：（1）如图，4CD即为所求；

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

（2）•.•48=4（已作）,

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行），

.♦.4+48=180。（两直线平行，同旁内角互补），

即N3+4C6+48=180。（平角的定义），

.•.N4+4C8+ZJ=180。（等量代换）.

故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；/B,/BCD；NB+N4CB+NA.

7.为了证明“三角形的内角和是180。”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法.回答下列问

题:

送zK

ADBADB

过上一点/）作过点CfTCQ4R

然到京入

E4cDERC.DFAC于点0

过点C作CE48

图①图②图③图④

（1）能证明"三角形内角和是180。”的方法是（请填写序号）；

（2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明.

【答案】（1）①②③

（2）选择图①，证明见解析.

【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键.

证明“三角形的内角和是180。”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角.

【详解】⑴@©③

（2）当选择图①时，证明：如图.

•/EF//AB、:.Nl=4,N3=N8.

vZl+Z2+Z3=l80°,二/4+N2+N8=180°,

•二三角形的内角和为180。.

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1.1三角形内角和定理分层练习(解析版)

当选择图②时，

证明：，：CE〃AB、"A=/FCE/ECB=NB.

•••NFCE+NECB+Z.ACB=180°,

.•.4+/8+Z/lCB=180。，.••三角形的内角和为180。.

当选择图③时，证明：•••£>£〃/〃4C,

ZJ=NFDB/B=NEDA/FDE=4AED=ZC.

/FDB+/EDA+NFDE=180。，，+ZB+ZC=180°,

・•・三角形的内角和为18()。.(答案不唯一，选择一种方法证明即可).

题型二利用三角形内角和定理进行简单计算

1.在△/BCgADEF中,若4=80。，NE=20。，则NC=()

A.80°B.70°C.60°D.100°

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应顶

点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键.

根据全等三角形对应角相等求出NB=NE=20。，再利用三角形的内角和等于18()。列式进行计算即可

得解.

【详解】解：FXABC乌XDEF、"=20。，

NR=NE=20°.

在△H8C中，ZJ+Z5+ZC=180°,

,NC=180。-4-N6=180°-80°-20°=80°.

故选A.

2.如图，点，£分别在线段彳8,力。上，“与CQ相交于点N.若“8E应力CQ,且4=55。，ZC=25°,

则4所的度数为()

A.80°B.90°C.100°D.105°

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理.先利用三角形的内角和定理可得

ZJZ)C=100°,然后利用全等三角形的性质即可解答.

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

【详解】解:VZ^=55°,ZC=25°,

/.Z/iDC=18O0-ZJ-ZC=1OO0,

■:“BEOACD,

:.ZAEB=ZADC=IQQ°t

故选：C.

3.将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则N1的度数为（）

B.100°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键.

首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得N1的度数即可.

【详解】解：如解图，设4c与BD交于点、E,

根据题意可知，4=90。，Z/1BC=45°,/C8Q=30。,

Z.ZABE=AABC-^CBD=45°-30°=15°,

在4AEB中，Zl=ZJ+ZJ5E=90°+15o=105°,

故选：C.

4.如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在力处测得灯塔C位于北偏东75。，在8处测得灯塔C位

C.70°D.80°

【答案】A

【分析】本题考查方向角、三角形内角和定理，根据方向角得到三角形两个内角的度数，再根据三

角形内角和定理求出4c8的度数.

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

【详解】解：••,在4处测得灯塔c位于北偏东75。,

/.=90O-75°=15°,

••・在3处测得灯塔。位于北偏东35。，

45c=90。+35。=125。，

在△48Cr|i,ZABC+ACAB+AACB=180°,

/.4c8=180。-ZABC-ACAB=180°-15°-l25°=40°.

故选：A

5.如图，△ABCgAADE,ZJ^C=52°,/力。4=68。，则/以£的度数为（）

A.60°B.52°C.68°D.70°

【答案】A

【分析】先根据三角形内角和定理求出WC=60。，再根据全等三角形的性质可得NDAE=ZBAC=60。.

本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：:ZUBC中48C=52。，4c8=68。，

ZBAC=\80°-NABC-4c8=180°-52。-68°=60°,

\・△48C丝△4OE,

ZDAE=ZBAC=60°.

故选：A.

6.在ZU8C中，N/1:N8:NC=1:3:5,则NC的度数为（）

A.80°B.90°C.100°D.120°

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理.

根据三角形内角和等于180度，结合角度比设未知数，列方程求解.

【详解】解：・・Z：N8:NC=1:3:5,

/.设//=x,NB=3x,ZC=5x,

4+N8+NC=180。，

/.x+3x+5x=180°,

解得：丫=20。，

ZC=5.r=100°.

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

故选：C.

7.在△MC中,当乙4:N8:NC=1:2:3时，这个三角形是（填“锐角”"直角钝角”）三角形.

【答案】直角

【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设4=x。，则/6=（2x）。，

NC=（3x）。，列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关

键.

【详解】解：VZJ:Z^:ZC=l:2:3,

・・・设乙仁x。，则N8=（2x）。,ZC=（3x）°,

由题意可得：x+2x+3x=180,

解得：x=30,

・・・4=30。,Z5=60°,ZC=90%

・•・这个三角形是直角三角形，

故答案为：直角.

8.如图，在ZU8C中，4=36。，NB=48。,C。是△力C8的半平分线，则/力C、。的度数是.

【答案】48。

【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义.先根据三角形内向和定理求出/jCB的

度数，再利用角平分线的定义求出4C。的度数即可解答.

【详解】解：•.•在MBC中，4=36。，NB=48。,

NACB=180--36°-48°=96°,

•.•CO是△/CB的角平分线，

NACD=；N4CB=；x960=48“，

故答案为:48。.

能力提升练

题型一与平行线有关的三角形内角和问题

1.如图，直线若Nl=40。，Z2=70°,则N3等于（）

1

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

A.3（）。B.40°C.50°D.70°

【答案】D

【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理..

先求出N4=N1=4O。，再根据三角形内角和求出结论即可.

【详解】解：如下图：

•••。||〃，4=40。,

Z4=Z1=40°,

/.Z4=Z5=40°,

Z2=70°,

二N3=180°-40°-70°=70°,

故选：D.

2.如图是一架婴儿车的示意图，其中48〃。，Zl=H0%Z3=40",那么N2的度数为（）

c5XZ）

A.80°B.90°C.100°D.70°

【答案】D

【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关

键.根据月8〃8,Z3=40°,易求乙4,由N1可求4”,则利用三角形内角和定理可求N2.

【详解】解：如图，

T

c

vAB||CD,Z3=40°,

.•Z=N3=40°,

Zl=110°,

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

...ZJ/7/=l80°-110o=70°

/.Z2=18O°-Z/I-NAFH=180°-40°-70°=70°.

故选：D.

3.如图，将三角形纸片48c的一角沿着。E折叠，使点C的对应点/落在/初。靠近"的三等分

线8G上，且DF〃4C,ZC=703,48c=66。，贝Ij/WG的度数为.

【答案】44。/44度

【分析】本题考查了三角形内集和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题

意得出48G=；N/f8C=22。，NDFE=NC=70。,根据三角形内角和定理求得乙4=44。，进而根据三

角形外角的性质求得N8GC=66。，进而根据平角的定义，即可求解.

【详解】解：・・・N”C=66。，点C的对应点少落在//4C靠近”的三等分线3G上，ZC=70°,

ZABG=-ZABC=22°,4DFE=ZC=70°

3

•.*/力4C=66。，ZC=70°,

・•・4=180°-Z/J5C-ZC=l80°-66°-70°=44°

ZBCC-ZA+ZABG-66°

丁DF//AC,

：./BFD=NBGC=66。,

/.ZEFG=180°—/.DFB-ZDFE=180°-66°-70°=44°

故答案为：44。.

4.如图，直线。〃力，Nl=135。，Z2=33°,则/3的度数为.

Z-----4b

【答案】102。/102度

【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角

形内用和为180°求出/3的度数.

【详解】

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

如图：

*/a||b

Z4=Z5

vZ1=135°,ZI+Z5=18O°

Z4=Z5=18O°-I35°=45°

...Z3=180°-Z4-Z2=102°

故答案为：1。2。.

5.超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷.将它抽象出来的平面图形如图所示.已

若4=75。,Z2=95°,则N3的度数为

【答案】110。/110度

【分析】通过作辅助线EG\\AB,利用平行线的传递性得到EG\\CDy再结合平行线的性质和已知

垂直条件，求出23的度数.本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直

线平行，内错角相等；平行线间的传递性等）是解题的关键.

【详解】解：过点E作EG||4?交力厂的延长线于点G,

/.EG||CD

•••481|EG

/I=/AEG=75。

/./GEF=/2—/BEG=95°-75°=20°

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

VEGWCD,FDA.CD

:.EG1FD,艮|J/EGQ=90。，

Z3=/EGF+/GEF=90°-20°=110°

故答案为：110°.

6.如图，在MBC中，点。在8c上，/8。力=/胡。，/"C的平分线交力。于点E,过点七作所〃彳。,

交8c于点凡

（1）求证：NBAD=/C；

（2）若NC=20。，NA4C=110。，求4/萨的度数.

【答案】（1）见解析

⑵45，

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关缠是充分利用

（1）中结论解决问题.

（1）利用三角形内角和证明即可；

（2）利用NC=20°,ABAC=110。先求出//3C,根据斯平分/力8。求出/CBE=25°,再根据EF//AD

求出NADB=NEFB=110%最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】（1）证明：/ABC/"O/,NC-lg0°/ABCABAC,

NBDA=NBAC,

NBAD=NC；

（2）解：VZC=20°,ZBJC=110°,

・•・AABC=180°-110o-20°=50°,

4。〃=4力C=110。，

\*A/i•平分N力8C,

.・・ZABE=NCBE=25。,

VAD//EF,

：.ZADB=NEFB=110。,

NBEF=180°-ZCBE-ZBFE=45°.

7.如图，在△力8C中，4=90。，点。在力。边上，DE//BC,若4QE=155。，求/£的度数.

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

A

【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键.

先由平行线的性质求出/C的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数.

【详解】解：・.・4DE=155。,

/.ZEDC=180°-ZADE=180°-155°=25°,

DE//BC,

/.NC=NEDC=25。,

又N4=90。，

Z^=90°-ZC=65°.

⑴求证：AE=DF；

⑵若乙（功-60。，ZC-500,求“。的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）NO=70°

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是

正确寻找全等三角形的全等条件.

（1）证明△。。尸父△必1E,由全等三角形的性质可得出结论：

（2）山全等三角形的性质可得出NC=Q=3。。，山三角形内角和定理可得出答案.

【详解】（1）证明：•.F8〃C。，

•;CE=BF,EF=EF,

:.CF=BE,

在尸和△从IE中，

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

CD=AB

-ZC=NB,

CF=BE

.1.△CZ）F^A5JF（SAS）,

/.AE=DFX

（2）解：LFCDF知BAE,

ZC=Z5=50°,ZA=/D,

NAEB=60°,

Z.A=180°—=180°-60°-50°=70°,

/.NO=70°.

9.如图，点、D,E分别是UBC的边8C,彳C上的点.

k

AEC

（1）尺规作图：过点。作线段。尸〃力c,交AB于点、F,要求保留作图痕迹，不用写作法；

（2）在（1）的条件下，若DE〃BA,N4=NBDF=2NEDC,求/力”。的度数.

【答案】（1）见详解

（2）108°

【分析】（1）根据平行线的判定，作4ZW="即可.

（2）根据平行线的性质可得4。尸=/。，&ZDEC,在△。叱中，根据三角形内角和定理求出

ZDEC=72°,则可得4=72。，再根据平行线的性质即可求得4F0=180。-/4=108。.

【详解】（1）解：如图，线段。尸即为所求.

(2)解：vDF//ACfDE//BA,

:2BDF=NC,ZJ=ADEC,

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1.1三角形内角和定理分层练习（解析版）

NA=NBDF=2/EDC,

/DEC=ZC=2Z.EDC,

设/£DC=x°,则/。EC=NC=2x。，

在AQEC中，NQ£C+NC+NEOC=180°,

/.2xo+2xo+xo=180°,

解得廿=36。,

NA=/DEC=72。,

•/DF//AC,

Z/iro+ZJ=180°,

/.ZAFD=180°-ZJ=180°-72°=108°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，以及尺规作图一作一个角等于已知

角.熟练掌握以上知识是解题的关键.

题型二与角平分线有关的三角形内角和问题

1.如图，在△力灯?中，N比1C=64。，N8=36。，4。平分/比1C交4c于点。，则N/1QC的度数是（）

A.80°B.100°C.78°D.68°

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题

关键,由N8/1C=64。，ZBAD=ACAD=|ABAC=32°,而/8=36。，则N4OC=N8+=68。，

于是得到问题的答案.

【详解】解：・・・4%C=64。，4D平分交BC于点D,

，/BAD=ZCAD=-ABAC=32°,

2

Z^=36°,

NADC=NB+NBAD=68°,

故选：D.

2.如图，在△力8C中，点。在8c延长线上，BE,CE分别平分/48C,NACD,CF