2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷02【广东专用人教A版必修第二册第6章：平面向量及其应用】（解析版）

高一数学下学期第一次月考卷02(广东专用)

全解全析

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小迤答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册平面向量

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列说法正确的是()

A.若向=向，则；=±%

B.零向量的长度是0

C.长度相等的向量叫相等向量

D.共线向量是在同一条直线上的向量

【分析】由向量的概念与向量的模，结合向量相等与共线逐一判断即可得解.

【解答】解：对于选项4若1；|=|&，贝A与Ml勺模相等，但方向无法确定，即选项4错误：

对于选项从零向量的长度是0,即选项6正确；

对于选项C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，即选项。错误；

对于选项。，共线向量是方向相同的向量，规定零向量与任意向量共线，即选项。错误，

故选：B.

T—♦TT

2.平面向量@=(3,-1),b=(x,1),且a—b=(1,-2),则x=()

A.-1B.2C.V5D.3

【分析】根据向量减法的坐标运算可得.

【解答】解：由题意可得，a-b=(3-x,-1-1)=(1,-2),

所以3・x=l,解得x=2.

故选：B.

3.如图，在平行四边形48CO中，AB=a,AD=^,若/则DE=(

1-*2f2T1一

C.-a+-bD.-a-b

oo+

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

T—>—>2TT2T——2T]T

【解答】解：DE=AE-AD=-AC-AD=~(AB+AD)-AD=-a--b.

故选：B.

4.在△/出C中，若44=1,AC=5,BC=36,则8=()

A.30°B.45°C.135°D.150°

【分析】由已知结合余弦定理即可求解.

【解答】解：因为力8=1,AC=5,BC=3e

1+18-25y/2

由余弦定理可得，cos8=

2x1x372-

则4=135°.

故选：C.

5.已知向量；=(一1,1),b=(x,-2),若：1(21一力),

则|Q+b\=()

A.2V2B.5C.572D.8

【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出x,法而根据向量的模的公式求出结果.

【解答】解：因为向量b=(%,-2),3=(—1,1),所以2Q—b=(-2,2)—(x,-2)=(-2—x,

4).

由于；1(2：-1),所以a.近-1)=0,

所以-IX(-2-x)+1X4=0,解得x=-6.

所以a+b=(-7,-1),所以|a卜〃=J49+1=5鱼.

故选：c.

6.菱形X8CZ)的边长为2,ZA=60°,M为。。的中点，N为8C的中点，则AM•/而=()

A.2+苧913

C.-D.

2T

T]—>—♦T]—>—>

【分析】根据向量的运算法则可得AM=5(4C+A。)，AN=~(AB+AC),然后利用向量的数量积定义

乙乙

即可求得.

【解答】解：菱形力〃。。的边长为2,/4=60°，必为CO的中点，N为8c的中点,

如图，连接力M,AN,AC,

WAB\=\AD\=2,<AB,AD>=60°,

根据平面向量数量积公式可得AB-AD=\AB\\AD\cos<AB,AD>=2x2cos60。=2,

T2

根据平面向量的加法法则可得AB.前=6.(6+ab)=n+/W-AD=22+2=6,

,2

根据平面向量的加法法则可得AD.儿=八•(n+A、)=A•44+G=2+22=6,

_»2T_2T2TT.2

则AC=(AB+AD)=AB+2AB-AD+AD=22+2x24-22=12,

因为M为CQ的中点，N为8C的中点，

TT1Tt1TT

所以AM•AN=-(AC+AD)•~(AB+AQ

乙乙

1TTTT

=-(AC+AD)-(AB+AC)

2

1TT—J-♦—>TT

=~{ACAB+AC+AD-ABAD-AQ

113

=-(6+12+2+6)=—

JT乙

故选：D.

7.在。中，A/、N分别在边力8、力。上，且AB=2京，AC=4众，。在边8。上(不包含端点).若

TTT12

AD=xAM+yAN,则一+；；的最小值是()

xy

A.2B.4C.6D.8

TT121

【分析】设BD=2BC,其中0〈入VI,推导出2x+y=4,将代数式一+7与晨2无+y)相乘，展开后利用基

Xy勺

12

本不等式可求得：+7的最小值.

xy

【解答】解：在△力4C中，A/、N分别在边44、4C上，且AB=2AL,AC=4AN,。在边4C上(不包

含端点),

因为。在边8。上(不包含端点)，不妨设俞=2命，其中0V入VI,

即AD-6=2(命-丽，

所以，AD=(1-A)AB+AAC=2(1-A)AM+4AAN,

又因为6=%京+”1%,则x=2-2入，歹=4入，其中x、y均为正数，

且有2x+y=4,

1211214xy1i

所*x+y=4(2x+y)(x+P=4(4+7+P-4(4+2Jy,x)=2,

,4x=y

当且仅当，以+J=4时，即当时，等号成立，

,x>0,y>0

12

故则一十三的最小值是2.

xy

故选:A.

8.已知。为锐角△NBC的外心，|几|=3,|AC|=2V3,若A。=且9x+12y=8.记八=&•

〈

A./2</|<Z3B./3</2</iC.hh<bD.I2<h<I\

【分析】由已知结合数量枳的几何意义列关于x,y,cos/A4c的方程组，求得cos/ZMC,再由余弦定

理求得8C,展开数量积，结合|后|二=|辰J,且余弦函数在(0,n)上为减函数得答案.

【解答】解：分别取［8,4CH勺中点为。，E,并连接。。，。£,根据条件有：OO_L/8,OEVACx

TT1T.9

:.AO-AB=-\AB\2=--

乙乙

TT1Tc

同理可得，AO./1C=-MC|2=6.

乙

TTTTTQ

/.AO-AB=(xAB+yAC)•4B=9x+6近ycos乙BAC=5，①

乙

—♦TTT

AO-AC=(xAB+yAC)-AC=6y/3xcosz.BAC4-12y=6,②

乂9x+12j，=8,③

・•・由①②③解得cosNBAC=3

o

由余弦定理得：BC=[9+12-2X3X2百x?年G=J15+(可

N8N2

：.BC>AC>AB.

在△力8C中，由大边对大角得：ZBOOZAOOZAOB,

•・・|A|=|而|=|祝且余弦函数在(0,7T)上为减函数,

A0B•0C<0A•OC<OA•OB,

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于向量言£下列命题中，正确的是（）

—>—>—>t—»—♦TT

A.若|a|=|b|,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|

C.若|a|=0,则a=6D.若a=一3Ma||b

【分析】根据向量的定义可判断力4的正误；根据零向量的定义可判断。的正误；根据平行向量的定义

可判断。的正误.

【解答】解：向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，力错误;

向量相等，长度一定相等，4正确：

长度为()的向最是零向量，c正确：

相反向量一定是平行向量，。正确.

故选：BCD.

―♦―♦27r

10.给定两个长度为1的平面向量。A和。B,它们的夹角为三，如图所示，点C在以。为圆心的劣弧俞上

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出6=x&+yok把x+y表示为COSB+百sEJ，利用

辅助角公式、三角函数求最值.

【解答】解：如图示，建立平面直角坐标系.

27r

设C(cos。，sin6),0<9<—.

可得：A(l,0),B(-1,m).

—TT

由OC=xOA+yOB,

cosO=x—iy

可得《叵2，

sinO=

l3

所以

所以x+y=cos84-y/3sin0=2(—cos0+^-sinO)=2sin(0+g),

27rnIT5TT

因为0工。三不~,所以%<8+%4不，

171

所以545出(6+至)<1,

7T

所以1<2sin(0+-)<2,

即x+y的取值范围为口，2],

结合选项可知，A,B,。中的数值符合，

故选：ABC.

II.△力BC的周长为6,角儿B-C的对边分别为a,b,c,且sinB+sinC-sinA=.csE8,则（）

A.若a=2,则机・=4

B.2，V3

71

C.A=-

D.若△48C的面积为乎，则sinB+sinC=?§

VJLU

11

【分析】力选项，由正弦定理得b+c—a=5bc,结合周长得到孑反=2,得到A=4；8选项，由基本不

乙乙

2

等式得到6—2a工（6］。），求出。22,且6-2a>0,故。<3,故2Wa<3,8正确；C选项，由余弦定

O

17157

理得到COSA=3,故A=W：。选项，由三角形面积公式得立=2,结合3可知a=3,b+c=-,由正

一定理得到sinB+sinC.

【解答】解：△力的周长为6,角4B,。的对边分别为a,b,c,且sinB+sinC-sinA=^cs汾8：

1

对于A选项，因为sinB+sinC—sinA=—csinB,

乙

1

所以由正弦定理得b+c—a=5%,

又q+6+c=6,。=2,故b+c=4,

所以不儿=匕+c—Q=4—2=2,则方c=4,故力选项正确；

乙

对于6选项，由基本不等式得b+c22痴，

当且仅当方=c时，等号成立，

2

又Q+HC=6,故6—az2痴.即“二.）之儿,

4

11

3^.b+c—a=-bc,a+b+c=6,故6—2a=；bc,

乙乙

所以6-2a=\c<-6-a-

即48-16aW36-\2a+a21解得Q22,

1

又6-2a=—bc>0,

故4V3,故2WaV3,故8选项正确；

对于C选项，由余弦定理得：

22222

°Ab+c—a(b+c)—2bc—a(6—a)2—2([2—4a)—a2

C°S=_2b^-=2bc=2(12-4a)

a2—12a+36—24+8a—a2—4a+121

=2(12-4a)=2(12-4a)=5'

7T

又4W(0,n),故人=金，故C选项错误：

对于。选项，若△48。的面积为坐，则;儿sim4=W，

1n73

即jbcs方占二耳，解得从=2,

乙J2

15

由8可知，6—2a=-be,故6-2a=1,解得a=3,

7b+ca55

故b+c=6—a=],由正弦定理得阪B+si£=百=sir：=后

3

故sinB+sinC=且等=等，故。选项正确.

O工U

故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知两个非零向量；，:不共线，若⑥=21+1,OB=a+tb,0C=-a+3b,且4,B,C三点共线，

则/=.

【分析】根据向量的减法运算可得八=一1+«—1工，AC=-3a+2b,根据三点共线可得存在实数入,

使蓝=/1几，然后列方程求解即可.

【解答】解：由0A=2a+b,OB=a+tb,OC=—a+3b,

可得AC=0C-0A=-a+3b-(2a+b)=-3a+2b,

T—TTTTTTT

AB=OB-OA=ci—(2Q+b)=—Q+(t—l)b,

因为4B,C三点共线，所以存在实数入，使AB=/L4C,

TTTT5

则一a+(t-1)6=2(—3a+2b),即・3入=-1且2入=/・1,解得t=?

5

故答案为：T.

13.已知△相。是单位圆。的内接三角形，若2A=几+4，且|前|=1,则向最赢在向量晶上的投影

向量为一.

【分析】由题可得△A4C是直角「角形，解三角形可得N44C,由投影向量的定义求解即可.

【解答】解：因为2n=n+几，所以Ao-£7=n—即co=6k

所以圆心。为4c的中点，所以AC是圆。的直径，BC=2,且N44c=90°.

tAC1V3

因为|力。|=1,即4c=1,所以sin乙ABC=行=彳，所以cos乙ABC==-,

bCZ2

又因为向量后方向上的单位向量为丝:，

2

—>—>

所以向量B•*A在,向量BtC上的投,影向量为,**\-B-A-\--\-B-Cz\-c-o-s-Z---A-B-C--nr=-3BTC.

\BC\24

3-

故答案为：-BC.

4

27r」--

14.若△ABC中，=—,8048,点。满足AD=2DC且60=1,则力C的取值范围为.

【分析】根据余弦定理，不等式的性质即可求解.

>1r2r4a2十c，2—2ac

【解答】解：由题知：BD=-BA+-BC,两边平方得1=-----------,

/Q、2.Q.4

两式相除得?二a2+c2+ac+~+1

又由余弦定理知b2=a2-^c2+ac,

4Q2+C2_2OT=4(^)2-2^+1

b2t2+t+l工+2+1)

卜.式化间为豆=4t2_t+l

244t2-2t+l

3

b21-rm131131

令〃尸2什1>3,上式化为3二工+仅嘤)2三(穿)+1=2+Z*-)=1+屋记二i，

31823

由〃?>3,可得m+——3>1,那么了即:；VbV3.

m49z

3

故zee("»3).

3

故答案为：(5,3).

乙

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

TT

15.（13分）已知向量2=（-3,4）,b=（2,3）.

（1）若。+2加|就—1）,求实数我的值;

（2）若（；一薪）1：求实数小的值.

【分析】（1）将G+2^）,（k：—力）分别用坐标表示出来，后用向量平行的条件即得到答案.

（2）将G—m6）用坐标表示出来，后川向量垂直的条件即可得到答案.

16.（15分）如图，在△力8c中，点。在8c上，过点。的直线分别交直线48、4C于不同的两点M、N,

设蓝=：,AC=d.

（1）若。是8c上靠近C的三等分点，用；和：表示启：

T—T->11

（2）若。是8c中点，设AM=ma,AN=nb,求一+一的值.

mn

【分析】（1）结合向量的线性运算即可求解；

（2）结合向量的线性运算及共线定理即可求解.

17.（15分）在△//。中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,已知。=2力，4=120°.

(1)求cos8的值;

（2）若a=4V7,求8c边上的高.

【分析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）利用三角形面枳公式，利用等积法求解即可.

【解答】解：（1）在。中，c=2b,A=\20a,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-2bx2Z?x（——）=7b2,

所以a=小b,

a2+c2—b27b2+4b2—b2Syf7

cosB=--------------=------------------=-------:

2ac2y/7bx2b14

（2）由（1）可知a=V7b,因为a=4>/7,所以力=4,c=8,

设4C边上的高为儿

11

则5ah=-bcsinA,

16vl4VH

则卜二

4V77

故BC边上的高为华i

18.（17分）在梯形4AC。中，AB//CD,AB=BC=2,CD=\,ZBCD=\20°,P,。分别为直线AC,

CO上的动点.

（1）当P，。为线段8C,CO上的中点，试用京和G来表示加；

1——

（2）若BP=4BC,求|4P|；

（3）若加=〃而，DQ=ADC,A>0,〃>0,G为△/尸。的重心，若。，G,4在同一条直线上，求入p

的最大值.

【分析】（1）结合条件证明QP=5O&再用AB和AD来表示DB即可;

(2)利用AB,BC表示AP,根据模的性质和数量积的性质求MP|；

(3)由条件确定入，u的关系，结合基本不等式求入u的最大值.

->]-♦TT

【解答】解：(1)由已知可得|QP|=5|。0，QP||DB,

1-»-1-»1-»-1-*IT

・・・QP=在，=-DB=-{AB-AD)=-AB--AD；

乙乙乙乙乙

T]TTTTTIT

(2)VBP=-6C,/.AP=AB+BP=AB+-BC

44f

*：AB//CD,ZBCD=\209,，N/8C=60",：,{AB,BC)=120°,

.\AB-FC=\AB\•\AC\cos{AB,BC)=2x2x(-1)=-2,

TTITT1-2JT21TT1->2I­-/To

：,\AP\=\AB+-BC\=I(AB-I-BQ=JAB+或力88C+京BC=/-1+a=学;

(3)设线段产。的中点为瓦连接/君，交6。与点G,由己知G为△4P。的重心,

T2T

由重心性质可得AG=?E,

TTTT]TT1TT]11T

又AE=AQ+QE=AQ+-QP=AQ+-(AP-AQ)=~AP+-AQ,

\P=AB+BP=AB+嬴=AB+〃向+AD+DC)=(l-pA6+而,

\(^=AD+DQ=AD+ADC=.4D+^AF,

tI-I-2-U+A-〃+l-

AAG=-AP+-AQ=---AB4-—~AD,

33oa

设BG=tBD,AG=AB+BG=AB+tBD=AB+t(AD-A6)=(1-t)AB+tAD,

2-,

----7----=1-t2-〃+/.〃+1,

〃+g---+-^―=1,可得人+u=2,

(~=t

AAn<=1»当且仅当人=n=l时等号成立，，入的最大值为1.

19.(17分)设3,。>，是平面内夹角成e(0°<6<180°,0^90°)的两条数轴，G，最两分别为x轴,

y轴正方向同向的单位向量.若向量^="/+)/易，则把有序数对(x,y)叫做向量后在此坐标系中的

坐标，记^^二。，y).已知OA=(3,1),OB=(1,1).

(1)若0=60°.

(i)求OA.加

(ii)是否存在Qy上一点C,使得△48c是以为斜边的直角三角形？若存在，求出。点坐标；若不

存在，请说明理由.

(2)若I&T命|N旧对/WR恒成立，求cos〈£l,丛)的最大值.

【分析】(1)(/)由题意可得ok晶的向量表示，进而可得♦晶