一次函数与特殊图形 培优练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第29讲一次函数与特殊图形

板块一特殊图形(一)全等三角形

PB=AB知N1=N2,OA=OB,

=>APBH点ABCNAPB=90°

=>ABOQ=>ABOQ

=>点产.9△BOAn点Q雪△AOC

小直线yscjn点Q=>直线

6点P.=>点P.

典例精讲

题型①等线段构全等

【例1】如图，一次函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别相交于点D,C,直线AB经过点A(-2,0)和点B(0,6),

直线AB,CD相交于点M.

⑴直接写出点M的坐标；

(2)N为直线CD上一点,若以点B,M,N组成的三角形与^AMC全等，求点N的坐标.

题型②等角构全等

【例2】如图,人(1,0)凤3,0)。(0「3).连接人(25G点P在第四象限若［PC8=NACB.求直线CP的解析式.

题型③双垂直构全等

【例3】如图.直线y=x-3与y轴交于点A,与x轴交于点B.直线AC与x轴交于点C(1,O),BD_LAC于点D.求点

D的坐标.

题型④解析法证全等

【例4】如图.直线AB:y=x+3与直线BC:y=-x+3交于y轴上的同一点B,分别交x轴于点AC.若点E(LO),过点A

作AM_LBE,交BC于点M,交y轴于点F,连接OM,EM.求证:NAMONEMO.

实战演练

1.如图，直线尸-;x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，E为y轴上一点，且SAABE=12.

(1)直接写出直线AE的解析式；

(2过原点的直线MN与直线AB.AE分别交于点M.N.若OM=ON,求点N的坐标.

2.如图，直线y=-2x+4交y轴于点A,交x轴于点B,点C在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为8.

⑴直接写出直线BC的解析式；

⑵直线y=x和直线BC相交于点D.在线段OA上找一点F,使得口力产。=口48。线段DF与AB相交于点E.

求点E的坐标.

板块二特殊图形(二)等腰三角形

点A(-2,0),B(0,4).

①若PA=PB,设P(O,t).则在RIAAOP中，产+2­«-明

/2\0mQx

②若QA=QB,设Q(m,O).则在RbBOQ中，/M2+42=^+,M/.

典例精讲

题型①明等腰与隐等腰

【例】直线尸%-3交x轴于点A,交y轴于点B.

⑴求点A,B的坐标；

(2)如图1,点C是y轴正半轴上一点，若AABC是以AB为底的等腰三角形，求点C的坐标；

⑶如图2,点D是x轴上一点NBAO=2NDBO.求点D的坐标.

实战演练

题型②构等腰

如图直线AB交x轴于点A(1,0),交y轴于点B(O,-3).WAABO沿AB翻折得到^ABD.求直线AD的解析

式.

板块三特殊图形(三)平行四边形

坐标规律分类方法

四边形ABCD为平行以A,B,C,D为顶点的四边形为

四边形.平行四边形，可分以下三种情况，

+%C=*B+ZDi①以AB为对角线，得

②、A+)C=yB+yD・<7②以AC为对角线，得QABCD”

③以BC为对角线，得OABD,C.

典例精讲

【例】如图.A(-4,0),B(0,2),C为y轴上一点.D为直线y=x上一点，若以A,BCD为顶点的四边形为平行四边形，

求点C的坐标.

实战演练

如图直线AB与x轴、y轴分别交于点A(12,0)和点B,与直线y=K交于点E,点E的横坐标为4.

(1用出直线AB的解析式；

(2)若点D(6,6),点M,N分别在直线y=x和x轴上.若以B,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N

的坐标.

板块四特殊图形(四)矩形、菱形

典例精讲

题型①菱形

【例】如图，直线AB尸-与直线AD:产kx-2交于点A(4,a),直线AB.AD分别交y轴于点B,D.F是直

线AB上一点，N是平面内一点，若以点B,D,F,N为顶点的四边形是菱形，求符合条件的点N的坐标.

实战演练

题型②矩形

如图，矩形OABC的顶点A(0,8)((10,0).E为BC上一点，将矩形沿AE折叠点B恰好落在x轴上的点F处，

直线EF交AB的延长线于点G.求点G的坐标.

板块五特殊图形(五)正方形

典例精讲

【例】如图，直线AB的解析式为y=x+4,它与y轴，x轴分别交于A,B两点.D是直线AB上的动点，以0

D为边JII页时针方向作正方形ODEF,连接BF.若BF=3BD,,求点F的坐标.

实战演练

如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C^O^,F为线段AB的中点，点G在y轴上,

以FG为边.向右作正方形FGQP.点Q落在直线BC上，求点G的坐标.

板块一特殊图形(一)全等三角形

典例精讲

［例1］解:⑴M(-1,3);

(2薄接AC/.,A«0),B(0,6),M(-1.3),:.M为AB的中点,

AAM=BM,

VZAMC=ZBMN,

・•・只能是△BMN^AAMC,

AZMAC=ZMBN,

・・・BN〃AC,易知直线AC:y=x+

2*可得直线BN:y=x+6.联立直线CD,BN,可得点N(-2,4).

【例2】解过点B作BD_Lx轴交CP于点D「・,B(3,0),C(0,-3),・・・OB=OC=3,

AZABC=ZDBC=45°,

ZPCB=ZACB,BC=BC,

.,.△ARC^ADRC.

/.AB=DB,VA(1,O),B(3,O),

AAB=2=DB,

・・・D(3「2),设直线CP的解析式为y=kx+b,把C((),-3),D(3,-2)代入｛_蔡焦，解得｛二'

，b——3,

・•・直线CD的解析式为y=\x-3.

【例3】解:延长BD交y轴于点E.由y=x-3可得点A(0,-3),B(3,0).A0A=0B=3.

VBD±AC,.\ZADB=ZAOB=9Q°,

.*.ZOAC=ZOBE.

/.△OAC^AOBE,

/.OE=OC=1,.,.E(0,1),

VA(O,-3),C(1,O),B(3,O),

工直线BE:y=~^x+\,

AC:y=3x-3,

尸3x-3,

联立｛।

尸丁+L

可得喑,

【例4】解:易得A(-3.0),

B(0,3),C(3.0).

・・・OA=OB=OC=3.

;AM±BE,可彳导ZOBE=ZOAF,

•••△AOF丝△BOE,

.,.OF=OE=1,AF(0,1),

5尸*，由

3产r+3,

得"后，!/・•・M为BC中点

AOM平分/FOE,

AAFOM^AEOM,

AZAMO=ZEMO.

实战演练

1解:⑴直线AE:y=x-4;

(2分别过点M.N作y轴的垂线垂足分别为G,H.

△OMG^AONH,

・・・MG=NH,OG=OH,

xM=-xn,yM=-yN,

设N(m,m-4),

则M(-nv:m+2),

；/〃+2=-〃7+4,解得

・.•点喈-/

2解:⑴y=2x-4;

(2旌接ADJ.,点D是直线BC和直线y=x的交点，故联立「解得二：

即D(4,4),

•・・A(0,4),故AD=AO,

且NDAO=90°,

/.ZDAO=ZAOB=90°,

ZAFD=ZABO,

/.ADAF^AAOB(AAS).

・・・AF=OB=2,OF=2,即F(0,2).可求直线DF的解析式为y=9-2.

[=1

•・•点E是直线AB和直线DF的交点，故联立｛产产包解得广官，即E收).

y=~2x+4,产：，5/

板块二特殊图形(二)等腰三角形

典例精讲

【例】解：(l)A(4,0),B(0,-3);

(2)如图1,设OC=t,

则AC=BC=3+t.

匚。。2+0力2=力。2

匚户+16=(3+02,解得W，

O

匚心3；

(3)如图2,当点D在x轴负半轴上时，可得NABD=NABO+/DBO=9()o-NBAO+/DBO=9(I°-ZDBO=ZAD

B,

，AD=AB=5,

・・・OD=1,则D(-1,0)面对称性可知，当点D在x轴正半轴上时,D(l,0),・・・D(-l,0)或D(l,0).

实战演练

解过点B作BE〃AD,交x轴于点E.由折叠知NABE=NBAE,

，AE=BE.

设OE=m,BE=AE=m+1,

由。£2+00=8，得m2+32=(〃?T)2解得m=4,

•••E(-4,0),求得总尸一：尸3.由AD〃BE得力。=-；田•:.

板块三特殊图形(三)

平行四边形

典例精讲

【例】解:设点C(0,m).分三种情况讨论：①如图1,当AB为对角线时,

四边形ACBD为平行四边形，AD=BC,且AD〃BC,

VA(-4,0),B(0,2),C(0,m),

・・・D(-4.2-m)代入y=-x得m=-2,.\C(0,-2);

②如图2,当AC为对角线时,D(-4.m-2),

代入y=-x得m=6.

③如图3,当AD为对角线时,D(4,m+2),代入y=*得m=-6,AC(0,-6).

实战演练

解(1)产一;工+6;

(2/M(p,p),N(q,O).

①若MN,BE为对角线，则MN的中点即是BE的中点，

吗=0+4『10,

%+0=6+4，畔停，=-6,

AN(-6,0);

②若ME,NB为对角线.则ME的中点即是NB的中点，

产4=>0,解徂〃=2,

。+4=0+6,廨得56

•••7(6,0);

③若MB,NE为对角线.则MB的中点即为NE的中点，

产/4,解得〃=-2,

5+6=0+4,附何%=-6.

・・・M60).综上所述，点N的坐标为(-6,0)或(6,0).

板块四特殊图形(四)矩形、菱形

典例精讲

【例】解：设点F（f，-*3）.

①如图1,以BD,BF为边的四边形BDNF是菱形.过点F作FT_L），轴于点T,

则FT二f,BT=口3-（一23）口=口如，

BD=DN=NF=BF=5,

BD〃FN,

［无尸=8八亦，即52=/2+&）-、解得f=±2V5

［尸（-26，3+6）或F（2V5,3-V5）,

［加（-2石,6-2））或N（2V5-V3-2）;

②如图2,以BF为对角线的四边形BDFN是菱形.

・•・BD=DF=FN=BN=5,BD//FN,

VA(4,l),D(0,-2),

匚£M=J(4-0)2+(1+2)2=5,

♦・♦点F于点A重合，

③如图3,以BD为对角线的四边形BFDN是菱形，连接FN交BD于点G,：BD=3-（-2）=5,

G（0»

•・•西边形BFDN是菱形，

/.BD1FN,FG=NG,

・••点F的纵坐标为1

即-/34解得f=5,

・・・FG=NG=5,，N(-5,/

综上所述，点N-2逐，仍-2鹿(23-6-2)或(4,6)或(-5^).

y

B

1°

图3

实战演练

解VA(0,8),C(10,0),

AAB=0C=10,OA=BC=8,ZA0C=Z0CB=/ABC=90。,由折叠得AF=AB=10,EF=BE,在R1△A

BF中,OF=y/AF2-OA2^102-82=6,

，点F(6,0),CF=4.设EC=x,则EF=8-x,

匚—=(8r)2-42解得x=3,・••点E(l()3),

,直线EF:尸2g,当y=8时x=F，□点G®8，.

板块五特殊图形(五)正方形

典例精讲

【例】解:①当点D在线段AB上时，过点D分别作DM_Lx轴于点M,DNJ_y轴于点N.过点F作FH_Ly

轴于点H,则NDNO=NNOM=NOMD=9()。，

・•・西边形ONDM是矩形，

AON=DM,DN=OM,

V0A=0B=4,ZAOB=90°,

AZOAB=ZABO=45°,

.-.△ADN,ABDM都是等腰直角三角形，

AAN=DN,BM=DM,

•・・西边形ODEF是正方形，

.,.OD=OF.ZDOF=ZAOB=90°,

AZAOD=ZBOF,

V0A=0B=4,

•••△AOD丝△BOF(SAS),

，AD:BF,

VBF=3BD,/.AD=3BD,

ASAAOD:SABOD=3：L

VOA=OB=4,

ADN=AN=3DM=3ON,

-BM=DM=ON="g、

【QA彳0=3,匚。(3,1),

VZNOD+ZHOF=ZHFO+ZHOF=90°,

.\ZNOD=ZHFO,

•・•ZOND=ZFHO=90o,OD=OF,

/.△NOD^AHFO(AAS),

/.OH=DN=3,HF=NO=1,

AF(l,-3);

②当点D在线段AB延长线上时，过点D分别作DM_Lx轴于点M,DN_Ly轴于点N,过点F作FH_Ly轴

于点HJIJAAODg△BOF(SAS),；.AD=BF,

VBF=3BD,.\AD=3BD,