三元一次方程组及其解法（习题）解析版-华东师大版七年级数学下册

专题6.3三元一次方程组及其解法

6.3

兀

次

方

程

组

及

其

解

法

k教学目标、教学重难点

1.理解三元一次方程（组）及解的概念，能识别三元一次方程组。

教学目标2.掌握消元法（代入、加减）解三元一次方程组，能选择合适消元方式。

3.会列三元一次方程组解决实际问题，提升建模能力。

4.体会“消元”“转化”思想，提高代数运算的准确性和灵活性。

教学重难点重点

（1）三元一次方程组的消元解法（代入、加减消元）。

（2）特殊三元一次方程组的解题技巧（比例型、缺元型）。

（3）列三元一次方程组解决实际问题。

难点

（1）选择合适的消元对象和方法，简化运算。

（2）不定三元一次方程组的整数解、非负解求解。

（3）实际应用中挖掘三个独立的等量关系。

知识清单

知识点01：三元一次方程（组）的相关概念

1.三元一次方程：含有三个未知数,且含未知数项的项最高次数为1的整式方程,形式为ax+by+cz=d（其

中a、b、c不同时为0,a、b、c、d均为常数）。

2.三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程含未知数的项最高次数为1,且方程组中一共有三个未知数

的整式方程组。

3.方程组的解：使方程组中每个方程左右两边相笠的三个未知数的值，即三个方程的公共解。

【即学即练】

1.（25-26八年级上•全国•课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（）

x+z=2"x--=4

Jy

A.xy+x=4x+z=6

z—x=1y—2z=7

x=9x+y=8

C.x-y=4D.y—m=3

z-y=5z—x=5

【答案】C

【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数

的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可.熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关

键.

【详解】解：A.第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意;

B.第一个方程不是整式方程，不符合题意；

C.是三元一次方程组，符合题意；

D.方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；

故选:C.

知识点02：三元一次方程组的解法

1.核心思想：消元，将“三元”转化为“三”，再转化为“二元”。

2.消元方法：代入消元法（用一个未知数表示另两个，代入消元）、加减消元法（消去系数成传数或相反的

未知数）。

3.一般步骤：①消元得二元一次方程组；

②解二元一次方程组得两个未知数的值；

③代入原方程求第三个未知数；④联'7：解并检验。

【即学即练】

1.（2026七年级下•全国•专题练习）解下列方程组:

(x+2y+z=12

(2)卜+2y+3z=22

(x=2y

【答案】⑴住“6

f7

X=-

(2)7

<z=5

【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可.

（2）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可

3x-2y=-20CC

【详解】（1）解:

.2x+15y-3@

①x2得，6x—4y=-40@,

②x3得，6x+45y=9@,

③一④得，-49y=-49

解得y=l

将『=1代入①中，解得“=-6

团原方程组的解为.

x+2y+z=12①

(2)解:x+2y+3z=22@

vX=2y③

①一②得，-2z=-10,解得z=5

将③代人①得2y+2y+z=12©

将z=5代入④得，y-\

将》'-:代入③得，X=3

T*/

x=

回原方程组的解为

y=i

2=5

【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一

元一次方程.

知识点03：三元一次方程组的应用

1.列方程步骤：审（找三个等量关系）一设（三个未知数）一列（方程组）一解（方程组）一验（符合实际）

一答。

2.常见题型：行程（上坡、平路、下坡）、工程（三种工作量）、浓度配比、数字问题、几何问题（幻方）。

【即学即练】

1.（25・26七年级上•广东广州•期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11

轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记。分.某校队所负场数是胜的场数的%结果共得20分，则

该校队胜场、平场、负场.

【答案】623

【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用.设胜场数为x,平场数为y,负场数为z,根据总场数、

总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解.

【详解】解：设胜x场、平），场、负z场，根据题意得：

x+y+z=11

3x+y=20,

（z=-x

2

x=6

解得：y=2,

z=3

答：胜6场、平2场、负3场.

故答案为：6,2,3

2.（25-26七年级上•陕西咸阳•开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，

三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖3c人.调整后一等奖平均分数降低3分，二

等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后

一等奖比二等奖平均分数多几分？

【答案】12分.

【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求

出一等奖比二等奖平均分多的分数.

先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，

求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列

出代数式，即可求出答案.

【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为），分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变,

得：

10x+20y4-40z=15（%-3）4-25（y-2）+30（z-1）

整理得：x+y—2z=25①

回原来二等奖比三等奖平均分数多6分，

团y-z=6,即2=y-6②

将②代入①得到，x—y=13，

回调整后一等奖平均分为（x-3）分，二等奖平均分为（y-2）分,

0（%—3）—（y—2）="—y—1=12,

即调整后一等奖比二等奖平均分数多12分.

题型精讲

题型01识别三元一次方程（组）

方法技巧：紧扣定义，验证“三个未知数+含未知数项次数为1+整式方程”，方程组需满足共含三个未知数,

逐一排除不符合条件的选项。

【典例1].（25-26七年级上•全国•课后作业）下列方程组中，皓三元一次方程组的是（）

+2y=4-+-=2

xy

A.-y+z=5

B.3%—4y+z=—1

x2+y=2

x+z=2

3x+y+z=-2x—y=2

C.y-3z=5D.y+4x=5

x+7z=92x+y=0

【答案】C

【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键.

根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可.

【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2,不符合题意：

B、第一个方程为分式方程，不符合题意；

C、此方程组为三元一次方程组，符合题意；

D、方程组只含有两个未知数，不符合题意.

故选:C.

【变式1].（25-26八年级上•全国•课后作业）下列是三元一次方程组的是（）

2%=5+y-z=-2x+y—z=7x+y=2

A.x2+y=7B.x-y+z=9cxy+x=2D.x-y-x=-5

x+y+z=6,x+2z=4,x-y=-3y-z=3

【答案】D

【分析】本撅考杳了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解撅的关锦.

本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有3个、含未知数的项的次数是1次以及是否为整式方程这几个

方面去分析，即可解决问题.

【详解】解：A、方程/+丫=7口，未知数%的次数是2次，不满足”含有未知数的项的次数是1〃的条件•，不

符合题意；

B、方程:+y-z=-2中含有：，不是整式方程，不符合题意；

C、方程砂+x=2中，盯的次数是2次，不满足”含有未知数的项的次数是1〃的条件，不符合题意；

D、方程组满足“含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程”，符合题意.

故选：D.

【变式2].（25-26七年级上•全国•课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（）

x+y=12x-y+z=2

A.4x-y=5B.4%+3y+2z=4

4y-2z=-13x—m=0

x—y=—1a+2b=-l

C.2x-2y=-2D.ax-by=2

3xI4y=0xI2y=6

【答案】A

【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可.

【详解】解：A.是三元一次方程组，符合题意；

B.方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；

C.只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；

D.方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；

故选:A.

【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键.

【变式3】.（25-26八年级上•全国•课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（）

x+y—z=6x+y=3x+y-z=6

A.x—3y+2z=1B.y+z=5C.x+2z=1

3x+2y-z=4.%+z=62y—z=4

x+6y=3

D.3y+x=5

x+2y=6

【答案】D

【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方

程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可.

X+y-z=6

%-3y+2z=l符合定义，是三元一次方程组，不符合题意;

{3x+2y—z=4

（x+y=3

B.y+z=5符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；

G+z=6

x+y-z=6

C.x+2z=1符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；

2y—z=4

%+6y=3

D.方程组卜+%=5含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意；

X+2y=6

故选:D.

题型02结合三元一次方程的解求参数

方法技巧：通过将方程组三式相加，再代入含参数的方程或目标代数式，高效求解结果。

xyz

==

【典例2].(25-26七年级上•广东佛山♦开学考试)已知匕y,z是方程组Z3的解，则％+y+

,3x+5y+7z=67

【答案】15

【分析】本题考查解三元一次方程组，设]=(=g=忆，则％=7/c,y=5k,z=3k,代入方程3%+5y+7z=

67中，求出k的值，进而求出％y,z的值，求和即可.

【详解】解：设：=(=：=%则x=7k,y=5k,z=3k,代入方程3%+5y+7z=67得3x7k+5x5k+

7x3k=67,即21k+25k+21A=67,

合并得67/c=67,

解得k=l.

所以x=7,y=5,z=3,

则；i+y+z=7+5+3—15.

故答案为：15.

%+y=5

【变式1].(22-23八年级上•山东青岛•期末)若三元一次方程组x+z=-l的解使ax+2y-z=0,则a

y+z=-2

的值是.

【答案】Y

【分析】本题考查了解三元•次方程组，学会采用消元法和代入法解三元•次方程组是解题的关键.先解

三元一次方程组，求出％,y,z的值，再代入方程QX+2y-z=0求解Q.

(x+y=5®

【详解】解：jx+z=-l@,

\y+z=-2@

由①-②得y-z=6④，

由③+④得2y=4,

解得y=2,

将:y=2代入③得z=-4,

将z=-4代入②得x=3,

将x=3,y=2,z=-4代入ax+2y—z=0得3a+2x2—(-4)=0,

解得a=-g,

•J

故答案为:一:.

{K——3

y=l为解的三元一次方程：.

z=-1

【答案】x+y+z=3(答案不唯一)

【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义.

将八y、z的值代入能使等式成立即可.

【详解】解：可以根据％、y、z的值进行运算构造方程，比如x+y+z,

把x=3,y=1,z=-1代入：3+1+(-1)=3,

团得到三元一次方程％+y+z=3.

故答案为：x+y+z=3(答案不唯一).

x+y=9

【变式3].(24-25七年级下•福建泉州•期末)若方程组y+z=7的解满足方程3k—x—y—z=6,则左

z+x=2

的值为()

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法.

将三个方程相加，求出x+y+z的值，再代入方程3%-％-、-2-6中解出麦的值.

【详解】解：将方程组中的三个方程相加：(x+y)+(y+z)+(z+%)=9+7+2

(32x+2y+2z=18

0x+y+z=9

将％+y+z=9代入方程3k—x-y—z=6中：3k-9=6

解得：k=5

故选：C.

题型03用消元法解三元一次方程组

方法技巧：代入消元法可通过一人未知数表示另外两个，代入其他方程消元；加减消元法优先消去系数成

倍致或相反的未知数，通过方程加减转化，均需将“三元”化为“二元”再求解。

【典例3].(25-26七年级上•贵州铜仁•月考)解方程组

“7=3

'Q3X-8y=14

(Q+b+c=-4

(2)1a—b+c=0

(c+3=0

【答案】⑴二二

(a=1

(2)b=-2

\c=-3

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.

(1)用加减消元法解二元一次方程组即可；

(2)用代入消元法解三元一次方程组即可.

【详解】(1)解：一(二3%,

(3x-8y=14(2)

①x3得：3%-3y=9③，

③-②得：5y=-5,

解得y=—l，

把『二一1代入①得%+1=3,

解得％=2,

所以方程组的解是B:二.

a+b+c=-4①

Q—b+c=0②

Ic+3=0@

由③得：c=-3(4)

将④代入①得：a+b-3=-4@,

将④代入②得：。一匕一3=0⑥，

⑤+⑥得：2a=2,

解得：a=1,

把a=1代入⑥得1—6—3=0,

解得：b=-2

a=1

所以方程组的解是b=-2.

c=-3

(x+y=2

【变式1】.(25-26八年级上•山东枣庄•月考)已知|y+z=-3则x+y+z=.

【答案】

2

【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键.将三个方程相加计算

即可.

x+y=2

［详解］解：y+z=-3,

z4-%=5

将三个方程相加，得2(%+y+z)=2+(-3)+5=4,

解得3+y+z=2.

故答案为：2.

【变式2】.(2025八年级上•山东青岛•专题练习)解方程组：

⑴牖短々

x+y.x-y,

------1------=6

(2)23

4(%+y)-5(x—y)=2

3x-y+z=10

(3)x4-2y-z=6

(x+y4-z=12

【答案】⑴y二m

喉；

仔=3

⑶卜=4

lz=5

【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)运用加减消元法进行解方程，即可作答.

(2)运用加减消元法进行解方程，即可作答.

(3)运用加减消元法进行解方程，即可作答.

2x-y=8①

【详解】(1)解:

3x+2y=5②

0①x2+②，得7%=21,

解得x=3：

把x=3代入①，得2x3-y=8,

解得y=-2,

团方程组的解为］;二：

x+y.x-y_/-

—+—-6

(2)解：0

4(x+y)-5(x-y)=2

Cix+3y+2%—2y=36

国I4%+4y-5x+5y=2

5x+y=36①

整理得

.9y-x=2②

团①+②x5,得46y=46,

解得y=1,

把丁=1代入②，得9y-x=2,

09x1-%=2,

解得％=7,

回方程组的解为&Z\；

3x—y+z=10①

x+2y-z=6@,

(x+y+z=12③

团①+②得4x+y=16④，

②+③得2%+3y=18⑤，

团④一⑤X2得-5y=-20,

解得y=4,

把=4代入④，得4%4-4=16,

解得久=3,

把x=3,丫=4代入。)，得3x3-4+z=10,

解得z=5,

(x=3

团方程组的解为y=4.

(z=5

【变式3】.(2026八年级上•陕西西安・专题练习)解方程组

3%-2y=7

⑴虫-y=0

%+y+z=4

(2)2x+y-z=1

3x4-2y—4z=—3

【答案】⑴

x=1

(2)y=1

z=2

【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组.

(1)先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解；

(2)通过加减消元先求出z,得到关于x和y的方程，求解即可.

(3x-2y=7

【详解】(1)解：/3

将第二个方程乘以2,得x+3-2y=0,HPx-2y=-3

方程组化为~ly=7

用第一个方程减去第二个方程，得2%=10,解得x=5

将％=5代入x—2y=—3»得5—2y=-3,解得y=4

团原方程组的解为9：

'x+y+z=4①

(2)解：-2x+y—z=1@

.3%+2y—4z=-3③

①+②，得3x+2y=5@

将④代入③，得5-4z=-3,解得z=2

将z=2代入①，得x+y=2(5)

将z=2代入②，得2x+y=3@

⑥・⑤，得X=1

将％=1代入⑤，得y=1

(X=1

团原方程组的解为y=1

(z=2

题型04由三元一次方程组求代数式的值

方法技巧：先解方程组得未知数的值，代入代数式计算；或利月整体思想，将方程组变形直接求代数式的

值(如两方程相加/减)。

x+2y=4

【典例4].(25-26八年级上•广东梅州•月考)已知方程组2y+3z=6,则x+y+z的值是()

3x+z=-2

A.8B.4C.2D.1

【答案】C

【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解.

(x+2y=4①

【详解】解：，2y+3z=6②，

l3x+z=-2③

由①+②+③得4%+4y+4z=8,

以+y+z=2,

故选：C.

x+y=1

【变式1].(24-25七年级下•安徽淮南•期末)已知y+z=—2,则x+y+z的值为.

x+z=3

【答案】1

【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解.

(%+y=1①

【详解】解：＜y+z=-2@

(x+z=3③

①+②+③得2(%+y+z)=l-2+3

既+y+z=1

故答案为：1.

【变式2].(24-25七年级下•四川乐山・期末)在一堂数学课上.刘老师布置了这样一道题目：已知方程组

3x+7y+z=28®求2%+2y+2z的值.针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想〃却"消元、转

(4x+10y+z=32@

化”方法求解：用②-①得到％+3y=4③，因为问题是求解2x+2y+2z整体的值，因此可以在原方程组

像:窗2:累32®,接下来采用“代入消元法”或者咖减消元法.

中"分离"出x+y+z即可,即

均可解决该问题了.

⑴请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2%+2y+2z的值；

⑵请你用上述思想方法求解问题：已知｛工;工=1f氯，求％-y+z的值.

【答案]⑴40

（2）1

【分析1本题考查利用“整体思想〃和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题

的关键.

（1）根据“整体思想”和“消元、转化〃方法求解即可;

（2）根据“整体思想〃和“消元、转化〃方法求解即可.

3%+7y+z=28①

【详解】（1）解:

+10y4-2=32②

②一①得，工十3y=4③,

将原方程变形成

2(x+3y)+(%+y+z)=28(4)

3(x+3y)+(%+y+z)=32⑤'

将③代入④，得，x+y+z=20,

:.2x+2y4-2z=40.

4x-y+7z=13①

(2)解:

-3x+y-5z=-9②

①+②得：x+2z=4③,

将原方程变形成:

3(x+2z)+(x-y+z)=13(4;

-2(%+2z)-(x-y+z)=-9⑤

将③代入④，得

x-y+z=1.

【变式3].（24-25七年级下•四川眉山・月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难

为易.

例：已知（3%+2y+z=4幺，求2%+y+z的值.

解：②一①得：4x+2y+2z=6③

③x:得：2%+y+z=3,

所以2%+y+z的值为3.

【类比迁移】

（1）已知鼠+《+72=26,求3%+4y+5z的值；

【实际应用】

⑵已比二1求工的值；

（%+2y+4z=6y+z

（3）试根据上面的方法解决下面的问题：

某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调

整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人.调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分,

三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等

奖的平均分高多少？

【答案】（1）18：（3）3；（3）5分

【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一

次方程组是解题的关键.

（1）由整体思想求值即可；

（2）由整体思想求值即可，

（3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出

方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降

低2分列出代数式，即可求出答案.

久+2y+3z=10@

【详解】解：（1）

5%+6y+7z=26@'

①+②得：6x+8y+lOz=36③,

③x；得；I4yI5z=18,

(33x+4y+5z的值为18；

2x—3y+z=5①

(2)

x+2y+4z=6②’

②x2-①得，7y+7z=7,

（3y+z=1③，

（2）—③）x3得，x—yz—3,

兴上=」；

y+z1

（3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分,

5x+15y4-40z=10(x-3)4-20(y-2)4-30(z-1)(1)

由于总分不变，得:

z=y-7(2)

由①得：x+y-2z=20@,

将②代入③得：x+y-2(y-7)=20,

解得：x-y=6,

则原来一等奖比二等奖平均分多6分，

又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，

则调整后一等奖比二等奖平均分数多二（%-3）-（y-2）=（%—y）-1=6-1=5（分）.

题型05构造三元一次方程组求值

方法技巧：根据已知条件（如代数式在不同x下的值、非负数和为0）,列出三个独立方程，组成方程组求

解参数。

【典例5】・（25-26八年级上•山东济南•月考）如图，二个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、

（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）

\ARA/\i

vnAAA/II-

z2s

图⑴图⑵图⑶

A.6个球B.7个球C.8个球D.9个球

【答案】B

【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于y，z的方程，解题的基本思想是消元.

题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是工，小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根

据第一个天平得到：5x+2y=x+3z：根据第二个天平得到：3x+3y=2y+2z,把这两个式子组成方程

组，解这个关于y,z的方程组即可.

【详解】解：设球的质量是％,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.

根据题意得到：管募二第31

解得心23

第三图中左边是：3x+2y+z=7x,因而需在它的右盘中放置7个球.

故选：B.

【变式1].（25-26七年级上•山东枣庄•月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等,

【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字.根据相对的两个面的

代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可.

2x+y=-3

【详解】解：由题意可得:3x+y=-2,

x+z-1

fX=1

解得:y=-5

lz=0

故答案为：1.

【变式2].(24-25七年级下•福建泉州•月考)已知a—z+4)2+|z—2y+l|+(x+y—z+l)2=0,则

xyz=.

【答案】15

【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程

组，解方程后，再代入计算即可得到答案.

【详解】解:El(x-z+4/+|z—2y+1|+(%+y—z+1)2=0,

x-z4-4=0

0z—2y+1=0,

,x+y—z+l=0

x=1

解得：y=3,

z=5

Sxyz=1x3x5=15.

故答案为：15.

【变式3】.(24-25七年级下•河南郑州•期末)幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最

早的幻方一•九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，

这就是最早的幻方.如图，有一个类似于幻方的“幻圆〃，现将一7、-5、-3、-1、2、4、6、8分别放入图

中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则x-2y=.

【答案】16

【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的

关键.将四个“和”都设为同一个值S，空白处数字为3根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相

等，列出方程进行求解即可.

【详解】解：如图所示，将四个"和''都设为同一个值S,空白处数字为3根据题意得：

外圆四数之和：%+84-(-1)+y=S,

内圆四数之和：4+6+t+(―5)=S,

横问四数之和：x4-4+t+(-1)=S,

纵向四数之和：8+6+(-5)+y=S,

整理得：

x+y+7=S①，

£+5=S②，

%4-1+3=S③，

y+9=S④，

由①④可得％=2,

由②④可得，y比t小4,

而没有填入的数只有一7,—3,

0>,=-7,t=-3,

-2y=2-2x(-7)=2+14=16.

故答案为：16.

题型06二元一次方程组的应用（行程/T程问题）

方法技巧：审清题意，找出三个等量关系（如路程和、时间和、工作量和），设三个未知数，列方程组求

解，检脸解的实际意义。

【典例6].（23-24七年级上•陕西西安•开学考试）某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包2：天完成需

人民币1800元，乙、丙两工程队承包3：天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包2二天完成需人民

币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是工程队.

【答案】乙

【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用.依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完

成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最

后算得总费用，比较即可.

【洋解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为小小z,

又甲、乙、丙单独工作一天，各需付〃、丫、w元，

Y（u+v）=1800

Y（v+w）=1500.

（y（iv+u）=1600

（v.=455

v=295.

（w=105

回由甲队单独承包，费用是455+：=1820（元）.

由乙队单独承包，费用是295+；=1770(元).

而丙队不能在一周内完成.所以由乙队承包费用最少.

故答案为：乙.

【变式1】.(24-25七年级下•广东汕头•期末)受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时

间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算.食堂提供了

6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择.某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐

晚餐都吃12元盒饭，R组:午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃1S元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的

餐费是1449元.第一天午餐时，8组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了8组

同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治：当天统计后发现三个

组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是人.

【答案】54

【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，弄清数量关系，正确列出方程是解题的关键.设A组有x

人，8组有>-人，。组有z人，C组有卬人另买三明治，则，wVz,且z>14,得到8%+10y+9z=483①，

A组实际总餐贽为(24X+15)元，8组实际总餐贽为(30、-15)元，C组实际总餐贽为(27Z+6W)元，得到

24%+15=27z+6w即8%=9z+2w—5②，30y-15=27z+6w即lOy=9z+2w+5③，进一步得到

z=+]7,求出w=6,z=17,把w=6,z=17代入②和③得到x=20,y=17,即可得到答案.

【详解】解：设4组有x人，8组有,，人，C组有z人，C组有w人另买三明治，贝I」，wvz,且ZN14,

预计总餐费为24x+30y+27z=1449

即以+10y+9z=4839

八组实际总餐费为(24x+15)元，B组实际总餐费为(30y-15)元，C组实际总餐费为(27z+6w)元，

24x+15=27z+6wKP8x=9z4-2w—5②

30y-15=27z+6w即lOy=9z+2w+5③

把②③代入①得到，27z+4w=483,

取=迎2+17

27

也为整数，

团6-卬为27的倍数，

Elw>0,w为整数，z>14

0w=6,z=17,

把w=6,z=17代入②和③得到，x=20,y=17

回％+y+z=20+17+17=54

即总人数为54人,

故答案为：54

【变式2].(24-25七年级上•重庆・开学考试)某车间每天能生产A种零件200个，或者8种零件100个，

或者C种零件120个，A、B、。三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套.要在四月份一个月内生产

最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产一天，4种零件生产一天，C种零件生产一天.

【答案】31215

【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键.

设A种零件生产x天，B种零件生产)，天，C种零件生产z天，根据"每天能生产A种零件200个，或者3

种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共

有30天”列出一个三元一次方程组求解即可.

【详解】解：设A种零件生产x天，8种零件生产y天，C种零件生产z天，

根据题意得：U)/款;短北2:3解得

vz=15

所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，。种零件生产15天.

故答案为：3,12,15.

【变式3].(25-26八年级上•全国•假期作业)一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方

向行驻，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上

了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？

【答案】再过15分钟，货车追上了客车

【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.要

注意本题中的时间和路程之间的美系较复杂，要理清思路，找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关

系，用路程之间的关系作为等量关系求解.设小轿车速度为a,货车为b,客车为c,某一时刻的相等间距为

m,则念二10①，怒=10+5②，可得到2(10c-10Q)=15c-15b,求得c与a,b之间的关系式，代

入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中，即可求得时间.

【详解】解：设小轿车速度为，货车为b,客车为某一时刻的相等间距为则」三=①，迎)

ac,m,a-b10a-c=10+5(J2,

由①②可得2x10(a-b)=15(a-c),

化简得20a-20b=15a-15c,

即5Q=20/)-15c,

所以a=4b-3c,

假设再过t分钟，货车追上客车，

则10a-10b=(15+£)(8-c)

15+”华也

b-c

将Q=48一3c代入15+t=华K2,

b-c

得+「=

15*b9-c=30b-c=30,

解得：£=15.

答：再过IS分钟,货车追卜了客车.

题型07三元一次方程组的应用（销售/数字问题）

方法技巧：利用“每行、每列、对角线和相等"或''数字组成规律”建立等量关系，列方程组求解。

【典例7].（25-26八年级上•江西九江・月考）为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000

元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表：

体育用排足

品球球球

单价/元755080

⑴若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？

⑵若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买

方案.

【答案】⑴篮球10个,排球5个

⑵篮球4个，排球6个，足球5个

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关

键：

（1）设篮球和排球分别购买％个和y个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求

解即可;

（2）设篮球、排球和足球分别购买a个，b个和c个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共

15个，列出方程组进行求解即可.

【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买工个和y个，由题意：

（75x+50y=1000=10

Ix+y=15，解代卜=5；

答：购买篮球10个，排球5个；

（2）设篮球、排球和足球分别购买Q个，b个和c个，由题意：

a+b+c=15①

75a+50/7+80c=1000②'

由①，得c=15-a-b,

把c=15-a-b代入②，得75a+50b+80（15-a-b）=1000,

整理，得a+68=40,

0a=40—6b,

团a,4c为正整数，

团当力=6时，a=40—36=4,c=15—a—b=5；

当上=5时，a=40-30=10,c=15-a-b=0（不符合题意，舍去）；

当0vbv5时，均不满足题意；

故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个.

【变式1】,（24-25八年级上•广东深圳•月考）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表:

等级ABC

票价（元/张）未知未知150

小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张8等票，则购票款多出了200元；若购买5张

4等票和1张K等票，则购票款还缺100元.

⑴若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？

⑵若小聪要将27