二元一次方程与一次函数（学案）-2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

第七章•二元一次方程组

4二元一次方程与一次函数

第1课时二元一次方程（组）与一次函数的关系

列清单•划重点

知识点①二元一次方程与一次函数的关系

一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，

是同一条—

反之，一次函数图象上的任一点的坐标都可看成这个二元一次方程的一个

注意判断一个点的坐标是否为某二元一次方程的解，把这个点的横、纵坐标分别代入方程

当中，看左右两边是否相等即可.

知识点②二元一次方程组与一次函数的关系

方程组的解=函数y=kDx+bQ与函数y=k2x+电的图象坐标.

注意利用二元一次方程组的解可以求两个一次函数图象的交点；反之，利用两个一次函数

图象的交点，也可以把二元一次方程组的解求出来.

知识点③用图象法解二元一次方程组的般步骤

1.先把两个方程化成的形式.

2.建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的—.

X=（1

3.写出两直线的一坐标（a,b）,则二元一次方程组的解为0=匕：

明考点•识方法

考点①二元一次方程与一次函数的关系

典例1卜.列图形是以方程2x-y=2的解为坐标的点组成的图象的是（）

思路导析先求出方程2x-y=2的两个解，再在平面直角坐标系中利用描点连线求解即可;

变式若方程3x-12=O的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个

一次函数可以是（）

A.y=3x-7

B.y=-3x+12

C.y=3x-12

D.y=-3x+7

考点②二元一次方程组与一次函数的关系

典例2如图，一次函数y=2x+l的图象与丫=1«<+1）的图象相交于点A,则方程组

白?二；’的解是（）

典例2困

A.二

c・｛：2D.｛普

变式•如图，旧经过点(0,1.5)和(2,3),1匚经过原点和点(2,3).以两条直线旧，1口的交点坐标为

解的方程组是

3x-4y=6,

A'13x-2y=0

3x-4y=6,

O，t3x+2y=0

3x-4y=-6,

53%-2y=0

-3%+4y=6,

I3x4-2y=0

考点③用图象法解二元一次方程组

典例3利用一次函数的图象解二元一次方程组：｛2二彳二小，

思路导析先把两个方程化为一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点

的坐标就是方程的解.

变式(1)在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组二的解;

(2)求(1)中图象与x轴所隹成的三角形的面积.

第2课时用待定系数法确定一次函数表达式

列清单•划重点

知识点•利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

步骤：

(1)设一次函数的表达式y=kx+b;

(2)将已知条件代入:得关于k,b的二元一次方程组；

(3)解方程组得—的值，进而求出一次函数的表达式.

这种得到函数表达式的方法，叫作待定系数法.

明考点•识方法

考点①用待定系数法确定一次函数表达式典例1如图中的两直线1口，1口的交点坐标可看

作是方程组—的解.

思路导析利用待定系数法求出I□和1□的解析式，然后联立即可.

变式1一次函数尸kx+b的图象在宜角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是()

A.y=2x+4

B.y=2x-4

C.y=-2x+4

D.y=-2x-4

变式2已知直线=kx+b与直线Z2:y=-2x没有交点，旦直线1□与两坐标轴围成的

面积为4,则直线1□的解析式为

考点②二元一次方程组与一次函数的综合应用

典例2一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x

小时后，记客车离甲地的电离yZI千米，轿车离甲地的距离y：：千米，y口，y匚关于x的函

数图象如图所示:

(I)根据图象直接写出yly】关于x的函数关系式，并分别写出自变量x的取值范围;

(2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间；

(3)相遇后，两车相距200千米时，则客车又行驶的时间为一小时.

典例2图

思路导析(1)根据函数图象数据利用待定系数法求解即可；(2)将(1)中两函数表达式联立成方

程组，然后求解即可：(3)根据题意列方程求解即可.

变式1某长途客运公司规定每位旅客可以免费托运一定重量的行李，超过部分则需缴纳行

李托运费.行李托运费y(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)每位旅客最多可以免费托运多少千克行李？

(3)某旅客托运行李100千克，应交多少行李托运费？

变式2A,B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1

h,如图是甲，乙行驶路程y甲(km),yz(km)随行驶时间x(h)变化的图象，请结合图象信息.

解答下列问题：

(1)填空:甲的速度为—km/h;

(2)分别求出y甲,yz与x之间的函数解析式：

(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义.

变式2图

第1课时二元一次方程(组)与一次函数的关系

【列清单•划重点】

知识点1直线解

知识点2交点的横、纵

知识点31.一次函数2.图象3.交点

【明考点•识方法】

典例1B变式A

典例2C变式C

典例3解：如图,

广多4y=3x-2

典

例3K

两个一次函数y=一：％与y=3x-2的交点坐标为(1,1)：

JJ

因此方程组片+3：=”的解为｛j：:,

0A-y—Ly-i.

变式解：⑴在平面直角坐标系中作出函数y=-x+4和函数y=2x+l的图象:

尸

厂丁.丁二Z

••1•I.

因为函数产-x+4和函数y=2x+l的图象的交点坐标为(1,3),

所以二元一次方程组《十汇'的解为｛j7J：

(2)由图象得函数y=-x+4与x轴的交点坐标为(49),

当y=0时，即2x+l=0,所以x=-0.5,

所以函数y=2x+l的图象与x轴的交点坐标(-().5,0),

所以(1)中图象与x轴所围成的三角形的面积为；x|4-(-0.5)lx3=^.

24

第2课时用待定系数法确定一次函数表达式

【列清单•划重点】

知识点⑴尸kx+b(2)k,b

【明考点•识方法】

典例产后…

y=x-2

变式1C

变式2y=-2x+4或y=-2x-4

典例2解：(1)设y□关于x的函数关系式为%=k%

因为点(10，600)在该函数图象上，

所以600=101<,解得1<=60,

即y□关于x的函数关系式为

%=60x(0<x<10);

设yL关于x的函数关系式为.%=ax+b,因为点(0,600),(6,0)在该函数图象上,

所以席督解得仁瑞'

即y□关于x的函数关系式为

y1=-100x+600(0<x<6);

(2)联立｛、,_'：然'nn解得｛*=3即当两车相遇时，此时客车行驶了广小时；⑶令

y—_IUUX十ouu,y—2254

60x-(-i00x+600)=200,

解得x=5,

5一日=：(小时)，

即相遇后，两车相距20()千米时，则客车又行驶的时间为J小时,

4

故答案为：7

4

变式1解：(1)设AB所在直线函数关系式为y=kx+b.

将A(60,6),B(80,10)代入y=kx+b,

60k+。=6,

所以｛

80k+b=10.

解得｛"一s'

b=-6,

所以y与x的函数关系式为

y=-6；

(2)令.y=0,则ix-6=0,所以x=30.

即每位旅客最多可以免费托运3()千克行李;

(3)当x=IOO时y=(x100-6=14.

即某旅客托运行李100千克应交行李托运费14元.

变式2解:⑴60;

(2)设y(p与x之间的函数解析式为yp=ax,

将点(5,300)代入得300=5a,

解得a=60,

所以yp与x之间的函数解析式为ym=60x,

同理，设yz与x之间的函数解析