2026年中考数学一轮复习：坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（解析版）

专题03坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题

(5大题型7难点1新考法，题型清单)

01题型盘点•中考全景扫描

题型一：确定点的坐标题型三：平面直角坐标系中的面积问题

难点01结合点到坐标轴的距离确定点的坐标题型四；实际生活中函数图象问题

难点02结合点的变换确定点的坐标难点06分析两个函数的图象

难点03建立平面直角坐标系新考法01跨生物学科

题型二：点坐标的规律探索题型五：动点的函数图象问题

难点04周期变化性规律探索难点07根据函数图象判断点的运动轨迹

难点05点的分组探索

02题型突破•解题技巧攻坚

题型一：确定点的坐标

心。❹oL

1.平面直角坐标系中点的坐标特征

各象限内点的坐标特征⑴P(a,b)在第一象限-a>0,b>0(2)P(a,b)在第二象限一>a<0,b>0

⑶P(a,b)在第三象限一a<@b<0(4)P(a,b)在第四象限Ta>0,b<0

y

w(+,+)

0X

%+•一)

••

⑺坐标轴上的点不属于任何象限轴上

坐标轴上点的坐标特征(2)P(afb)^xJb=0

(3)P(a,b)在y轴上一a=0

M(0,+)

叱,0)M(+,0)

O(M(O,O))X

M(0L)

口诀助记：X轴纵坐标零，(x,0)要记清:y轴横坐标零，(0,y)莫看轻:原点

相对简单，(0,0)在中间.

象限的角平分线上点的坐标(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上，则a=b;

特征

(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上，则a+b=0

XM(a,a)

2.图形变换与点的坐标规律

图形变换点的坐标规律

关于X轴点勿关于x轴的对称点为

_^)tA(a,6)

对

称

变关于丫轴点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b)「J尸

换

0(-「前『下口-6)

关于原点点A(a,b)关于原点的对称点为DQa,-b)

左右平移将点P(a、b)向左或向右平移h个单位,对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b)

平

移

变

换

上下平移将点P(a,b)向上或向下平移k个单位,对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k)

【中考母题溯源•学方法】

【典例1】(2025•四川乐山•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点〃的坐标是()

3p

2

1

-3-2-1O123M

1

-2

-3

A.(-3,-2)B.(-3,2)C.(3,2)D.(3,-2)

【答案】C

【详解】解：由坐标系可得点。在第一象限，且横坐标为3,纵坐标为2,

回点尸的坐标是（3,2）,

故选：C.

【变式1-1】难点01结合点到坐标轴的距离确定点的坐标

（2025•广西•模拟预测）在平面直角坐标系中，点qW+3,a）到了釉的距离是5,则〃的值为（）

A.-4B.2或一8C.2D.8

【答案】B

【详解】解：.点P（〃+3,“）至Ijy轴的距离是5,

则卜+3|=5,

:.a+3=5或。+3=—5,

=2或〃=一8

故选:B.

【变式1-2］难点02结合点的变浜确定点的坐标

（2025・四川自贡♦中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，正方形/W6的边长为5,/W边在〉轴

上.8（0,-2）.若将正方形A3。绕点。逆时针旋转90。.得到正方形A&CD.则点）的坐标为（）

D'r

AD

A'OB'

B

A.(-3,5)B.(5,-3)

C.（-2,5）D.（5,-2）

【答案】A

【详解】解：团正方形ABC。的边长为5,48边在＞轴匕将正方形A8CD绕点。逆时针旋转90。.得到正

方形AB'C'D.

0AB=BC=A:B'=B!C=017=5,A9在x轴上，AB'〃C77,

回3（0,-2）,

团8（2,0）,C（2,5）,

027（-3,5）,

故选:A

【变式1-31难点03建立平面直甬坐标系

（2025・海南•中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使"少""年"的坐标分别为

（-1,0）.（1,1）,则“强”的坐标为（）

|--；--

]4®4…

0尸一一.

A.（3,3）B.（2,3）C.（4,3）D.（4,5）

【答案】B

【详解】解：鼠少''"年"的坐标分别为（TO）、（1』），

何建立直角坐标系如下:

回“强〃的坐标为（2,3）,

故选：B

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025・天津♦一模）如图，△0A3的顶点O与坐标原点重合，顶点A,B分别在第二、三象限，且

轴，若AB=2,OA=OB=y/5,则点A的坐标为（）

【答案】A

【详解】解：设与x轴交于点C,

团OA=O8=逐，轴,

^AC=-AB=

2

团OC=JCA2_4C2=可

=2,

13点A在第二象限,

回点A的坐标为（-2,1）,

故选:A.

2.（2025•江苏扬州•一模）如图，点A、B、C、4、5'和U均在格点上，若4A7TC*可由VA6c绕点尸旋转

得到，则尸的坐标为（）

A.(0,0)B.(-2,4)C.(-2,2)D.(-1,2)

【答案】B

【详解】解：如图，连接切九CC,作切的CC的垂直平分线的交于点P,则点P(-2,4),

故选：B.

3.12025・广东貂关•二模)在平面直角坐标系中，点尸坐标为(-3,2),以点。为圆心，以0。的长为半径画弧,

交工轴的负半轴于点4,则点A的横坐标为()

C.-x/5D.-Vl3

【答案】D

【详解】解：•,•点尸坐标为(-3,2),

:.OP=>]22+32=713>

・,以点。为圆心，以。。的长为半径画弧，交x轴的负半轴丁点A，

：.OA=OP=yfi3,

又二.点A位于X轴的负半轴，

•・•点A的横坐标为-ja,

故选：D.

4.12025•贵州贵阳••模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具.如图是由七巧板拼戌的正方形,

将其放入平面直角坐标系中，若点A与点8关于原点成中心对称，且则点C的坐标为（）

B.（2,-2）

D.

【答案】A

【详解】解：由题意得，如图，建立直角坐标系,

则点C的坐标为（-2,2）.

故选:A.

5.（2025•江西赣州•一模）如图，坐标平面内有一个矩形4BC。，点A位于原点，点8、。在坐标轴上，点

。的坐标为（2,1）,现固定8点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为（3,0）,则旋转后。点

的坐标为（）

A.（2,3）B.（2,2）C.（3,3）D.（3,2）

【答案】D

【详解】解：如图,记旋转后的矩形为48旋。,

A*.---------,£/

-----------------iC

D•

I

I•

_______!I一

-OU)Bct

回旋转后。点的坐标为(3,0),

0点C'落在x轴上，

0C(2,1),四边形/W8是矩形，

05(2,0),4CQ=90°,

团旋转，

^Ciy=CD=AB=2,NQ'CO=90°,

团点以的坐标为（3,2）,

即旋转后点。坐标为（3,2）

故选:D.

6.（2025•江苏泰州三模）如图，己知矩形A8C。的顶点A,。分别落在大轴，6轴上,8=204=12,AO=3A8,

C.(4,14)D.(6,16)

【答案】C

【详解】解：过C作CE_Ly轴于E,

k团四边形人46是矩形，

国CD=A4,ZADC=90°,

EZADO+ZCDE=NCDE+NDCE=90°,

0ZDCE=Z4DO,

^^CDE^Z\ADO,

CEDECD

团---=---=---,

ODOAAD

0OO-2CM-12,AD-3AD,

图OA=6,CD:AD=-,

3

13CE=-OD=4,DE=-OA=2

33t

0OE=14,

（aC（4J4）,

故选：c.

7.（2025•河南周口•三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的。O与矩形A8CO的边AA8C都相切,

且经过顶点。，与边CQ相交于点E.若点A的坐标是（-5,3）,则点E的坐标是（）

A.（4,-3）B.（5,-3）C.（3,-4）D.（3,-3）

【答案】A

【详解】解：团（o与矩形A88的边A氏8C都相切,

团OGJLAB,OH1BC,

ENOGB=NOHB=9Q。,

(3矩形ABC。中NA=N8=90。，，

0Z4=ZOGB=9O°,

团AD〃x轴，

回点人的坐标是(-5,3),

自点。的纵坐标为3,

回QM=3,

回矩形A8COWCO〃43,

⑦？DMO180?2AGO90?,

^\OMA.DE,

0ME=DE=3,

连接O。，根据勾股定理得：OM=dOD?-DM2=4,

(3点七的坐标为(4,-3).

故选：A.

8.（2025•河北邯郸•二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴正半轴上，且3=1,点3在V轴

负半轴上，且OB=2.若点。（-1,3）,D是象限内的一点，则使得以A8,C,。为顶点的四边形是平行四边

形的点。的坐标为（）

B.(2,-5)C.(-2,1)D.(2,-5)或(-2,1)

【答案】D

【详解】团04=1,04=2

团A(l,0),8(0,-2)

如图，当A8是平行四边形的边时，CD〃AB且C£)=A8.

、、24."点B可以看作是由点A先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的,

•••点。可以看作是由点C按同样的平移方式得到，或者点C是由点。按同样的平移方式得到，

•••点。的坐标为(-1T3-2)或(-1+1,3+2),即(-2,1)或(0,5).

当A4是平行四边形的对角线时，AA的中点与C力的中点重合,

同理可得52,-5).

又7点。在象限内，

二•点力的坐标为(一2,1)或(2,-5).

故选：D.

9.(2025•贵州黔东南,二模)如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点户的坐标为(-1,2),则点。

的坐标为.

【答案】（-3,4）

【详解】解：点。的坐标为（T4）.

故答案为：（-3,4）.

10.（2025・贵州•一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示

地球上的任何一个位置.在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为（-11），表示的经纬度为西经2（）。，北纬20。,

若乙的经纬度为东经40。，南纬40。，则乙的坐标为

【详解】解：建立平面直角坐标系如图,

因为乙表示的经纬度为东经4（）。，南纬40。,

所以乙的坐标为（2,-2）,

故答案为：（2,-2）.

11.（2025•河南•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是正方形，点4的坐标是（4,0）,P为

边AA上一•点，ZCPB=60°,沿b折叠正方形折叠后，点8落在平面内的点9处，则点疔的坐标

为_____

【答案】（2,4-26）

【详解】解：过点9作方。_LOC，如图所示:

叫功形04△。是F方形.点A的坐标是（4.0）,

.."=N8'DC=90°,C8'=CB=OC=OA=4,

.NCPB=60。，

ZBCP=90°-ZCPB=30°,

由折叠的性质可得：/PCE=N8CP=30。,

\7B0TD30?,

：.BD=-CB'=2,

2

在中，根据勾股定理得/C=，zrc2—B£＞，=26，

.\OD=4-2N/3,

即，点的坐标为(2,4-26)，

故答案为：（2,4-26）.

12.（2025•宁夏中卫•二模）如图在平面直角坐标系中，△QA8的顶点4,4的坐标分别为（3,6）,（4,0）.把

△045绕点。逆时针旋转使OB与＞轴重合得到.OCZ）,则点。的坐标为.

【答案】（-点3）

【详解】解：如下图所示，过点A作A时J_O8,过点。作@V_LOC,

:.ZAMO=ZDNO=90°,

二.点A的坐标是（3,JJ）,

/.0M=3，AM=6，

由旋转可知，AB（^DCO,

/.AO=DO,ZAOB=ZDOC,

/AMO=£DNO

在.AOM和,DON中，\/BOA=NDOC,

OA=OD

/.,■AOMMDON,

AM=DN=x/5，OM-ON=3,

二.点O的坐标为（-6,3）.

O\MBX

故答案为：(-x/3,3).

13.(2026♦山东临沂•模拟预测)如图，在直角坐标系中，点4的坐标为(2,0),点8的坐标为(0,-1)，将△043

绕点。旋转得到OC。，此时,M_LA8,则。点坐标为.

1

Ax

CB

(-445-245]

【答案】

【详解】解：延长DO交AB于点F,过点C作CE_Lx轴，垂足为点E,如图所示:

则/CEO=90。，

由题意知，04=2,03=1,

^AB=\IO^+OB2=>/5•

根据旋转可得：NCOD=ZAOB=90°,OC=OA=2,

^ODLAB,

0ZZ?ro=9O°,

⑦NCOD=NBFO,

团A8〃OQ,

0ZCOE=ZZMO,

回NC£O=NAO8=90。，

见ABCSOCE,

田空=旭=丝

COOECE

团立=2」

2OECE

解得：。6=拽。公小

55

回点。在第三象限

14.（2025・广东•二模）【阅读理解】

点「在平面直角坐标系中，记点r到x轴的距离为4,到y轴的距离为4,给出以下定义；若则称

4为点p的"微距值”;若4>W，则称4为点P的"微距值"；特别地，若点尸在坐标轴上,则点，的“微距

值"为0.例如，点尸（-3,5）到X轴的距离为5,到y轴的距离为3,因为3<5,所以点尸的“微距值”为3.

【知识应用】

⑴点A（2,-3）的“微距值”为：

（2）若点8®3）的“微距值”为2,求。的值；

⑶若点C在直线y=-34+6上，且点C的“微距值〃为2,求点。的坐标.

【详解】（1）解・：（3点4（2,-3）到x轴的距离4=k3|=3,到>粕的距离4=忸=2,且2<3,

•••点A的"微距值”为W=2,

故答案为：2；

（2）解：点8（°,3）到x轴的距离4=|3卜3,

⑦点8（«3）的“微距值〃为2,

（3点8到y轴的距离&=时=2,

二.a=2或a=-2；

（3）解：设点。的坐标为（x,y）,

.•点r在直线y=-3x+6上，

/.y=-3x+6

情况一:当44d2时,此时4=2,即3=2,

当y=2时，代入y=-3x+6,得2=-3x+6,

4

即3x=4,解得、，

此时&=w=p卜g,

..2>-

,3，

不满足4sd2,舍去；

当y=-2时，代入y=-3x+6,得一2=—3x+6,

Q

即女=8,解得/=工

3

I时&=国=|睛,

Q

2<1,满足4工4,

•・•点C坐标为件-2）；

情况二：当4>4时，此时W=2,即W=2,

当H=2时，代入y=-3x+6,

得y=-3x2+6=0,此时4=帆=0,

Q0<2,

.•.小满足4>4，舍去；

当工=一2时，代入y=-3x+6,

得y=-3x（-2）+6=12,此时4=|\=12,

Q12>2,满足4>内，

二•点C坐标为（-2,12）；

ZQ\

综上所述，点C的坐标为*-2或（-2,12）.

IJ7

题型二：点坐标的规律探索

❹觎

1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：

1）若点的坐标在坐标轴上或象限内循环（周期）变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出

所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；

2）点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存

在的规律.

2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：

D求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；

3）找算式中数字与序号间的变化规律；

4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规津（点的坐标题型首先用这一条）.

【中考母题溯源•学方法】

【典例2】（2025•黑龙江齐齐哈尔中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案,如图，在平

面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,以Q4为边作RtAOA小使/0叫=90。，乙404二30。，再以。4为

边作RtZXOAA，使/。4,4=90。，幺。4=30。，过点A,A，4作弧佻，记作第1条弧；以网为边

RtAOAA,使/。44=90°,ZAOA,=30。，再以0人为边作R3QA4,使/。儿儿=90°,ZA.OA4=30°,

过点外,4，4作弧44,记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点。的距离最小的点的坐标

【详解】解：根据题意可知：OA=2,

-悬^-2喋*-

_^m

0A==2x2=2X

cos30°V5

=2涉

团点A,A，&作弧A4为第1条弧,

点A”人作弧4A4为第2条弧,

团40so组成第2025条弧,

国第2025条弧上与原点。的距离最小的点为4Mli,

/2x404824cm24tM9

(30小=2*1而J=2x—=—

团Z4OA=30°,Z>41OA2=30°,/&。4=30°,/4。4=30。，

削2次操作循环•周,

E4048+12=337…4,

例/AQA404K=120°,

।,4049?4048

团OM=xcos600=-x—=—,

A〃.CA.2小12^X6

AgixM=0Alz8xsin6°=—x=―—»

团第2025条弧卜.与原HO的距离最小的点的坐标为

4W8

2的2X>/3

故答案为:―32024，-2024

【变式2-1】难点04周期变化性规律探索

（2025•山东•中考真题）取直线）上一点A（N，y），①过点A作X轴的垂线，交.'，=：于点4（七,为）；

②过点4作y轴的垂线，交y=—于点4（天,为）；如此循环进行下去.按照上面的操作，若点A的坐标为

（1,-1）,则点人心的坐标是____.

【答案】（1.一1）

【详解】解：13点A的坐标为（1,-1）,

（3点4的横坐标为1,

团点4的坐标为（1,1）,

0点4的纵坐标为I,

团点4的坐标为（T』），

同理点儿的横坐标为一1,

同点4的坐标为（一1,一1）,

点4的坐标为

团四个点•个循环,

团2025+4=506余1,

国点%)25的坐标与点A相同,是

故答案为：(L-1).

【变式2-2】难点05点的分组探索

(2025•宁夏银川•三模)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，kP2,......

均在格点上,其顺序按图中“玲〃方向排列，如：4(0,0),g(0,l),6(1,1),/>(-1-1),*1,2)，……，

根据这个规律，点6口”的坐标为

【答案】(-506,-506)

【详解】解：团4(0,0),巴(0,1),T),4(71)，己(T2),6(2,2),/>(2,-2),/?(-2,-2),

%(—3,3),6(3,3),%(3,-3)….，

由此发现：点已在第四象限的角平分线上，点4+i在第三象限的角平分线上，点4+2在直线y=-x+i(x<。)

的图象上，点日田在第一象限的角平分线上，

国2025+4=506…1,

回点/25在第三象限的角平分线上，

回点/25(-506,-506).

故答案为：(-506,-506).

【中考模拟闯关•练提分】

3x+l(x为奇数)

1.(2025・四川内江•中考真题)对于正整数X,规定函数小为偶数).在平面直角坐标系中，将

点（也”）中的〃?，〃分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中〃J〃均为正整数）.例

如，点（8,5）经过第1次运算得到点（4,1可.经过第2次运算得到点（2,8）,经过第3次运算得到点（1,4）,经

过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点（2,1）经过第2025次运算后得到点是（）

A.（2,1）B.（4,2）C.（1,2）D.（1,4）

【答案】A

【详解】解：初始点：（2,1）（第。次运算）.

第1次：横坐标2为偶数，/（2）=|=1；纵坐标1为奇数，/（l）=3xl+l=4；得到点（1,4）.

第2次：横坐标1为奇数，/（l）=3xl+l=4；纵坐标4为偶数，/（4）=^=2；得到点（4,2）.

第3次：横坐标4为偶数，/（4）=?=2；纵坐标2为偶数，/（2）=|=1；得到点（2,1）,与初始点相同，

即三次一循环，

2025+3=675,

回第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2,1）.

故选：A.

2.（2025・河南漂河•三模）如图，已知A（3,-73）,4（4,0）,4（6,0）,4（7,6），A（9,G）,

A（10,0）,A（H,-X/3），…，依此规律，点&。”的坐标为（）

A.（2890,0）B.（2891,-6）C.（2893,-x/3）D.（2895,6）

【答案】B

【详解】解：•••AA（3,-^）,A.（4,0）,4（6,0）,4（7,时,4（9,X/3）,A（10,0）,,

.•・可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，4”的坐标为（1。〃,。），冬川+仆+2（1。〃-3,-6）

•.•2024+7=2891,

・•・A叨4的坐标为(2891,-6).

故选:B.

3.12025•广东广州•三模)在平面直角坐标系中，对于点?。；)，)，我们把P(-)叶1/+1)叫做点P的幸运点,

已知点A的幸运点为A2,点4的幸运点为4,点4的幸运点为人，......，这样依次得到A，A2，A，A&........,4,

若点A的坐标为(。，2)则点儿⑼的坐标是()

A.(0,2)B.(-IJ)C.(0,0)D.(U)

【答案】A

【详解】团A的坐标为(0.2),

团4(一1/)，4(0,0),4(1,1),4(0,2)……

以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

团2025±4-506.......1,

团点4O25的坐标与A的坐标相同，为(0,2).

故选:A.

4.(2025•广东•三模)如图,A(1,1),A(2J),4(3,2),4(4,2),4(5,3),4(6,3),…,按此规律，点

A.(19,12)B.(20,12)C.(20,11)D.(20,10)

【答案】D

【详解】解：团A(l，l)，4(2,1),4(3,2),4(4,2),A(5,3),4(6,3),…,

团A.的横坐标为〃，

当"为偶数时，儿的纵坐标为

当〃为奇数时，4的纵坐标为等；

团点演的横坐标为20,其纵坐标为]=10,

囹点&的坐标为（20,10）.

故选：D.

5.（2025•山东聊城•三模）如图,已知

A（Z0）M（2,-2），A（4,-2），A（4,0），A（4,2），4（6,2），4（6,0），4（6,-2），4（8,-2），….依此规律，则点

40普的坐标为.

以

2.Ar—46~~~

_____4-740__________________

~O-14X

，2-I___

，2/3力849

【答案】（1352,2）

【详解】解：&2,0）即A（4x1-2,。），

A（2,-2）[{[JAy（4x1—2,—2）,

4（4,-2）!![.'&（4x1,-2）,

4（4,o）即A（4x1,0）,

A（4,2）即A（4x1,2）,

4（6,2）即4（4x1+22）,

A（6,0）即4（4x2-2,0）,

4（6,-2）gp40x2-2,-2）,

A,（8,-2）即A（4x2»-2）,

观察坐标序列，发现每6个点为一组循环，每组对应规律：

A”“（4〃-2,0）,

A/2（4〃-2,-2）,

A”.3（4〃，-2）,

Ae（4〃，0）,

A,H（4〃，2）,

Am（4〃+2,2）,

2025+6=3373,说明&咫是第338组的第3个点.

对于第338组第3个点，横坐标为4x338=1352,纵坐标为-2.

二/5的坐标为。352,-2）,

故答案为：（1352,-2）.

6.（2025•河北邯郸•三模）两个反比例函数），=2,），=9在第一象限内的图像如图所示，点/，斗，鸟出

xx

在反比例函数y=£的图像上，它们的横坐标分别是否，与，&，…，鼻”，纵坐标分别是1，3,5,......，共2025

X

个连续奇数，过点42，B，，4心分别作了轴的平行线，与），=上的图像的交点依次是

X

Q（*1'）3）,。2（辱，2）,。3（&,%）,-、。2025（/25，，2025），则为＞25。2）25的长为♦

【详解】解：.・第2025个奇数为2x2025—1=4049,

的坐标为（^^，4049）,

玛025。202s平行丫轴，

・••0025的横坐标为痣，

4049

的纵坐标为6

4049

4()49

・・・々2502025=4049-2024.5=亍，

故答案为40一49.

7.12025・河南驻马店•三模)在平面直角坐标系中，规定点(用冷口勺“豫点〃是(y+2,-x+2),例如：点M(l,2)

的“豫点”是(2+Z-1+2)即M(4,l)；点M(4,l)的“豫点〃是(1+2-4+2)即%(3,-2)；…，则M202s的“豫点”

的坐标是_____.

【答案】(3,-2)

【详解】解：依题意，点M(l,2)为“豫点〃是(2+2,-1+2)即M(4,l)；

点M(4.1)的“豫点〃是(1+2.-4+2)即M2(3,-2)：

点扬2(3,-2)的“豫点”是(-2+2,-3+2)即蟆(0,-1)

点"(O，T)的“豫点”是(T+Z0+2)即M/L2)

点刈(1,2)的“豫点”是(2+2,-1+2)即％(4,1)

点材$(4,1)的“豫点”是(1+2,-4+2)即以-2),……

4次一循环，

020254-4=506……1

团M2025的“豫点”的坐标是(3，-2),

故答案为：(3,-2).

8.(2025•四川眉山•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点。为公共顶点的相似三角形组成

【答案】卜，64利、

【详解】解・：回图案是用12个以点0为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案,

团403=当-=30。，

12

00.4=1,NQ4B=90°,

团AB=0A-tan30。=正，08=248=拽，

33

0ZBOC=3O°,

OB2

团OC=述x

cos30°耳’

依次类推：OG=¥xj，］=孚、号=号：

3397327

则点G的坐标为卜捺，0）；

故答案为：卜称

9.（2025・山东济宁•三模）如图，直线），=Gx,点A的坐标为（2,0）,过点A作k轴的垂线交直线于点用,

以原点。为圆心，。用长为半径而弧交x轴于点儿；再过点七作x轴的垂线交直线于点与，以原点。为圆

心，。区长为半径画弧交x轴于点4,…，按此作法进行下去，点/”的坐标为.

【答案】（22025,。）

【详解】解：团直线y=Gv，点4的坐标为（2,0）,过点A作X轴的垂线交直线于点片,

.•湾（2,2石），

在放。/\片中，出=2,4耳=2有,

;.OBI=JOK+AB；=4,

团点人的坐标为（4,0）,

・•・々（4,4回

在放0AM中，。％=4,4员=4后，

OB2=JQ&I儿屋=8，

回点A,的坐标为（8,0）,

同理，可得出：点4的坐标为（16,0）,

由此可知4的坐标为（2”,0）,

故点4。25的坐标为（220”,。），

故答案为：（22皿,0）.

io.（2025•江苏扬州•一模）已知一次函数），=乎1+1的图像与y轴相交于点A，以。A为边作等边，。4修，

点队在第一象限内，过点4作），轴的平行线与该一次函数的图像交于点4,与X轴交于点G，以G4为边

作等边G4层（点4在点4的左边），以同样的方式依次作等边CA/,,等边△C3AA，L,则点&的

纵坐标为.

【详解】解：如图，过点用作8Q_LA。过点当作小£，4G「E，过点名作8/_LA，G「尸,

团A(o,i),

00.4,=1,

巴。A4是等边三角形，8QJLA。，

^OD=-OA.=-,OBi=()A=T,

ZZ

©BQ=4OB：-OD2=J而当

把“邛代入丁=冬+1,得y=Ex立十1=3,

"322

3

团AC〕=—,

*2

肌G4%是等边三角形，B2E±4G»

13AC3

团CE=,4C=w，82G=A2G=5,

曾册哈

团BF=JB＜；—CE，=、

陪以

把X不代入二冬+i,得产鸟也+1=2

344

9

团AC=—,

-24

"GA易是等边三角形，B.F±AyC2,

9

r19>/391

8*8r

(3点用的纵坐标为,=

22,

点4的纵坐标为。=2，

42“

点多的纵坐标为

L,

(3点纥的纵坐标为军，

2.

团点/2S的纵坐标为^2025>

[2024

故答案为：泰西•

11.(2025•山东泰安•一模)三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图

案，如图在平面直角坐标系中，笔腰三角形。勺C，0(0,0),C(2,0),NOC耳=120。.将△OB。沿轴正方

向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点片的对应点为与，称点片为第一个“玉兰

花”的花瓣，点当为第二个“玉兰花〃的花瓣；……；按此规律，-OBC滚动2025次后停止滚动，则最后一个

“玉兰花〃的花瓣的坐标为.

【答案】(2703+1350^,0)

【详解】解：如图所示，过点用作gQ_Lx轴于C,

0C（2,O）,

iaoc=2,

回AOBC是等腰三角形，且NOCB|=120。，

团OC="C=2,

同NCOB\=NCB\O=世［20。=30°:

0ZDCB,=180°-ZOCB,=60°,

OO

0ZCT1D=9O-6O=3O°,

0CD=-CB.=1,

2

L3OD=OC+CQ=3,/£）=J4c2_"=6

0B,（3,N/3）,O&=240=2。

由题意得CB?=C用=2,

mOB2=OC+CB2=4.

EH（4,0）；

回民的横坐标为4+26+3=7+2",纵坐标为G，

由题意得，反用的纵坐标为G，且员2毡52M（〃为正整数）由三角形向右滚动3次得到的，相当于点

沿x轴的正方向平移（7+2石-3）=（4+2石）个单位长度得到点打向，

团2025+3=675,

团，。瓦C滚动2025次后，最后一•个“玉兰花"的横坐标为3+675x（4+2。）=2703+13506,纵坐标为

氏0B£滚动2025次后，最后一个"玉兰花"的坐标为（2703+13506,0）,

故答案为：（2703+13506,0）.

12.（2026•江苏连云港•模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和

大于。的点称为“可余点〃.将某"可余点”平移，每次平移的方向取次于该点横、纵坐标之和除以3所得的余

数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位

长度.

例：”可余点〃P（2,l）按上述规则连续平移3次后，到达点虫2,2）,其平移过程如下.

右上左

尸（21笈IN）京旦（3,2%£（2,2）

若“可余点〃。按上述规则连续平移20次后，到达点Qo（-5,16）,则点。的坐标为.

【答案】（3,6）或（5,6）

【详解】解:根据已知:点1（2,2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位得到虫2,3）,

此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位得到［（1,3）,此时横、纵坐标之和除

以3所得的余数为1,又向上平移1个单位……，因此发现规律为：

①若"可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为。时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向.上、

向左不断重复的规律平移；

②若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为1时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平

移；

③若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为2时，则按照向左、向上，向左、向上不断重:复的规律平

移；

若“可余点〃。按上述规则连续平移20次后，到达点Qo（-5,16），则按照“可余点〃5,16）反向运动20次

即可，可以分为两种情况：

若按照②或③方式：则Qo（-5/6）向右平移10次，向下平移10次即为“可余点”。，M（2（-5+10,16-10）,

即2（5,6）；

若按照①方式：则Q2n（-5』6）需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则。（-5+9-1,16-10）,

即。（3,6）,

综上：点。的坐标为（3,6）或（5,6）

故答案为：（3,6）或（5,6）.

13.（2025♦安徽亳州•一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点。为公共顶点的相似三角形组成形如

海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若。AT，NOM-90。.

⑴填空：①点4的坐标是：②点4的坐标是；③点A）的坐标是：④点小的坐标是

；（结果可保留乘方形式）

⑵观察（1）中的结果，发现规律，求点Am的坐标.

12

0,,0

:④~T~

【详解】（1）解：由题意知，12个以点。为公共顶点的直角三角形相似,

团每个三角形中以0为顶点的内角均为昔=30。,

在RtZXOAA中，。4=-2^_=毡，

“cos3003

在RtZXOAA,中，。4=_24_=

■cos30°

在为△。4人中，

cos30°

在RtZ\QAA4中，04=01_

cos30°

OAn,（26丫

・般地：OAn=

cos30°3

12⑸，毡：。］：点4的坐标是［。,庭

0点4的坐标是。,-；点4的坐标是一；点42的坐标是

3”亍"V

(243}

,0

3

故答案为:①。，管［；②-律H③样口;④伸

（2）解：由（1）知，04'=且12次一个循环,

20254-12=1689,

j-\2O25

则点402s与点4•样落在.V轴正半轴上，0/25=¥

2025

团点&O25的坐标为。，

14.（2025・广东广州•二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，（））、点4的坐标为（2,0）、点&的

坐标为（3,0）、…，过点A、&、4、…、分别作九轴垂线，交直线y=x于点4、B?、%、...，AQAS覆盖

的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为6,面积的值记为5：△。4层覆盖的整点的个数记为6，

面积的值记为52；△。&仄覆盖的整点的个数记为八，面枳的值记为s>...

【参考公式：连续『个正整数和的计算公式：1+2+3+…+工-1+.1=巫4】

2

IQ

⑴由题意可知：