集合及其运算（期末复习讲义5大重难题型+3阶分层过关）-高一数学上学期（人教A版）

专题01集合及其运算（期末复习讲义）

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

1.1元素与集能判断元素与集合的从属关系，并根常与集合互异性结合考查，基础题型，

合的关系据关系求解参数。易因忽略检验而出错。

能根据问题选择列举法或描述法表

1.2集合的表描述法理解易错，需注意代表元素的含

示集合，并实现两种表示法之间的转

示法义与取值范围。

化。

能利用确定性、互异性、无序性判断

1.3集合的三小题中常设“互异性''陷阱，忽略易导致

集合的合法性，并求解相关参数问

大特性多解或错解。

题。

能判断集合间的包含与相等关系，会

1.4集合间的空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽

求子集、真子集个数，理解空集的特

关系略空集导致失分。

殊地位。

能进行集合的混合运算，并运用数轴

1.5集合的交、高频考点，数轴分析参数范围是常见题

或Venn图解决含参不等式集合的运

并、补运算型，也是学生的主要难点。

算问题。

■记•必备知识.

知识点01元素与集合

1.集合的概念

一般地，我们把指定的某些对象的全体称为,通常用大写字母4,B,C,...表示，集合中的每个对象

叫做这个集合的，通常用小写字母力，c,...表示.

2.集合与元素的关系

一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素。在集合中A中，就说元索

a—集合A,记作,如果元素〃在不集合中A中，就说元素〃_集合A,记作.

3.集合的分类

含有有限个元素的集合叫作，含有无限个元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫

作，记作，

4.元素与集合

（1）集合中元素的特性：—、、.

（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.

（3）常用数集及其记法:

正整有理实数复数

数集非负整数集（或自然数集）整数集

数集数集集集

符号—N*或(N+)ZQRC

知识点02集合的基本关系

文字语言符号语言

集合A中任意一个元素都是

子集A____B

集合B的元素一

集合4是集合8的子集，且

基本关系一真子集集合B中至少有一个元素不A^B

在集合A中

集合48中元素相同•或集合

相等A=B

48互为子集

空集是任何集合的子集

空集

空集是任何非空集合的__________08且8彳0

必记结论：

（1）若集合4中含有〃个元素，则有____个子集，有2〃-1个非空子集，有2"-1个真子集，有2"-2个

非空真子集.

（2）子集关系的传递性，即Aq8,5qC=>A=

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑的情况，

否则会造成漏解.

知识点03集合的交集、并集、补集运算

文字语言符号语言图形语言记法

并{X\A^A,或

由所有属于集合A_____集合B的元素组成的集合—

集.奄B}

交{.r|也,且

由所有属于集合A―集合B的元素组成的集合

—

集点盼GE)

补{X|AQU,且

由全集U中一集合A的所有元素组成的集合—

集工例Z0

知识点04集合的运算性质

1.交集的性质：

①AM4：②Ar>8B；(3)AnA=；④Ac0=；⑤Ar>8BnA.

2.并集的性质：

①A班A：②AMB；③；④AE10=；⑤A勖BEL4.

3.补集的性质：

①[U([UA)=；®[UU=；③[U0=；

④Ac([(M)=；⑤施([勿)=；

⑥[U(AcB)=([UA)—([UB)；

⑦[U(版B)=([UA)—([UB).

知识点05德摩根公式

C/AnB）=（GjA）U（G"）

Q（AUB）=（QA）n（QB）

知识点06容斥定理之集合中元素个数

card(AU8)=card[A}+card(B)-card(AAB)

card(AUBUC)=card{A}+card[B)+card(C)-card(Afl5)-c〃d(ADC)

-card[BAC)+card(AD^OC)

■破•重难题型.

国题型一元素与集合的关系

解I题I技I巧

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,

此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

注意：结合互异性解题

【典例1】（24-25高一上•安徽铜陵•期末）下列关系中正确的个数是（）

①OwN：②百史Z；③;iR：④兀eQ

A.1B.2C.3D.4

【典例2］（24-25高一上•广西玉林•期末）若3e{l,2,6},则〃的值为（）

A.—>/3B.GC.一百或GD.0

【变式1】（24-25高一上•山东济南•期末）若集合A={#-2=0},则（）

A./AB.—\/2€.4C.0eAD.AcZ

【变式2］（24-25高一上•河南开封•期末）己知集合A={#N〈1},则（）

A.一I任BB.-1AuBC.leBD.leACB

【变式3］（24-25高一上•四川眉山•期末）已知集合A={1，。-2,2/+5〃},且一3wA.

⑴求〃的值；

⑵写出集合4的所有真子集.

国题型二集合间的基本关系

解I题I技I巧

（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点.

（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运

用.

注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.

【典例1】（24-25高一上•广东梅州•期末）设集合M={〃，邛，N={1,2,3},则满足MqN的集合M有（）

种情况

A.1B.2C.3D.4

【典例2］（24-25高一上•云南昆明・期末）已知集合4=［-2,0,而},3={-2,6},414,贝朋=（）

A.0B.1C.0或1D.4

【典例3］（24-25高一上•江苏南通•期末）已知集合用={1,26+1}”={-1,加},且时=',则〃?=（）

A.-IB.1C.±1D.0

【典例4］（24-25高一上•广冻汕头•期末）设集合A={xeRKx+5）（x-4）N0},4={xeR»Y."2/〃}.

⑴若〃7=3,求低

（2）若BqQA,求实数〃?的取值范围.

【变式1］（24-25高一上•四川眉山•期末）若集合A={0,l,2,3},A的子集个数是个.

【变式2】（24-25高一上•甘肃甘南•期末）已知集合人={/,〃+2,—3},8+2x—3=。},且

则”的值为（）

A.IB.-1C.±1D.3

【变式3】(24-25高一上•贵州铜仁•期末)已知集合A={x|lvxv7},集合B=vx〈6/〃+l}.

⑴若〃?=3,求AB；

(2)若A=求座的取值范围.

【变式4](24-25高一上•海南•期末)设关于1的不等式加-(加+2)x+4v()的解集为A.

⑴求A;

⑵设集合8={X[—3<X<3CL5},其中若Bq'A,求实数〃的取值范围.

「题型三集合间的基本运算

【典例1】(24-25高一上•江苏南通•期末)已知集合人=卜卜-1|<2},8=Z，则()

A.{-1,0,1}B.{0,1,2)

C.{1,2,3}D.{1,2}

【典例2】(24-25高一上•广西钦州•期末)已知集合A满足QA=(-5,0),则人=()

A.(-oo,-5)B.。+8)C.(-oo,-5)U(0,+»)D.[0,”)

【典例3X24-25高一上•山东潍坊•期末)设集合〃=}1=2'"-€卜1,1]},N={x|y=log2(x—1)},则=

()

A.(1,2]B.C.[-1,-KO)D.[0,2]

【典例4】(24-25高一上•北京顺义•期末)已知全集U=R,集合A={x|犬+4x-520},B={x|x>/7/,/«eR).

(1)若〃7=0,求集合AB；

⑵若⑹A)?8?,求实数〃，的取值范围.

【变式1](2425•高一上•云南曲靖期末)已知全集U—{1,2,3,4,5},集合A-{1,3,5},8-{1,2},则

A.{1,2,4)B.{1,2,3)C.{1,2,3,5)D.{123,4}

【变式2】（24-25高一上•安徽亳州•期末）已知集合A=x），=ln二卜8=}|），=/+1},则A「8=（）

A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(1,2)D.(L+8)

【变式3]（24-25而一下•江西南昌期末）已知全集U=Nx<10,xeN'},集合是U的子集，若AP|B={2},

@A）Q8={5,7,9},阚|1（心）={6,8},则集合A=（）

A.{2,3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【变式4】（24-25高一上•广西玉林•期末）己知全维U=R,集合/4=次|/7一1240},集合

B={^3-k<x<3+2k].

⑴当&=1时，求AD8,AC（Q⑻；

（2）当攵>0时，若4B=B,求实数攵的取值范围.

「题型四Venn图及容斥原理的应用

【典例1】（24-25高一上•陕西榆林•期末）如图，已知U表示全集，A,8是U的两个非空子集，则阴影部

A.("A)C8B.Q,(Ac8)

C.⑹D.@(ACA))C(AD〃)

【典例2】（24-25高一上•江西赣州•月考）（多选）已知全集^={0,1,2,3,4,5,6,7},集合4={xcN|x<5},

^={1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{0,2,4}B.«(AC3)

C.AC@.8)D.(秒A)c(/)

【典例3］（24-25高•上•广东佛山・期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅

体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎

国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府〃嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节〃活动的情况进行了统

计，统计结果如下表所示：

参与情况参与人数

参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演60

参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府"嘉年华活动89

参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动50

至少参与了其中的一个活动105

则下列说法正确的是（）

A.三项活动都没有参与的人数为15

B.三项活动都参与的人数最多为47

C.恰好参与一个活动的人数最少为21

D.恰好参与两个活动的人数最多为94

【变式I】（24-25高一上•江苏盐城•期末）已知U为全集，其三个非空子集4、B、C满足=则

下列集合为空集的是（）

A.（dA）cBB.（QB）cCC.&C）cAD.AcBcC

【变式2】（24-25高一上•福建龙岩・期末）若全集U=R,集合A={x|—2<x<3},八{中,>1},则图中

阴影部分表示的集合为（）

A.{也<-2}B.|.v|-2<x<0)

C.{X°vx<3}D.何-2<工<3}

【变式3】（24-25高一上•天津滨海新•期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛,

有15人参加趣味益智类比赛.有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和

田径比赛的有3人，I可时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.则只参加

趣味益智类一项比赛的人数为;同时参加田径和球类比赛的人数为

国题型五集合新定义

【典例I]（24-25高一上•河南开封•期末）设P,。为两个非空实数集合，定义集合4={4+"〃£/>力eQ},

若「={0,1,2},。={1,2,3},则集合A的子集的个数为.

（24-25高一上•四川眉山・期末）定义集合的商集运算为：!x=—,meAneB\已知集合

【典例2】yt

m

叼…卜则集合卜8的真子集个数是.

A={2,4},

2

【典例3】（24-25高一上•河南驻马店•期末）已知集合M={4，生,小，，4}（0工4<出<4<<«,P«eN+）

具有性质：对任意勺+q与%至少有一个属于“，则称M为“封闭集〃.

（1）若集合P={3,4.5},Q={0,3,6},判断P,。是否是“封闭集〃?并说明理由;

⑵若集合尸={4，/,/}（。44</</）是"封闭集"，且4=2024,求集合P；

⑶设集合4={4，生，6，＜生＜6v＜4,,〃24,〃£此）是"封闭集"，证明:

4+生+%+,,+/=，0

【变式1】（24-25高一上•湖南益阳•期末）如果对于非空集合A中的任意两个不同元素。也都有a+hcA且

abwA,那么这样的集合A称为封闭集合，例如集合R就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元

素且只有有限个元素的封闭集合.

【变式2】（24-25高一上•北京密云・期末）已知集合A包含有鹏wN‘）个元素•，X={x+y\x,yeA}.

(1)若A={0J2},写出A*；

⑵写出一个4，使得八=4;

⑶当〃=4时，是否存在集合A,使得4={2,3,5,6,7,8,10}?若存在，求出此时的集合A,若不存在，请说

明理由.

【变式3】（24-25高一上•浙江绍兴•期末）已知集合4={1,2,3,4,5,6,7},B={xeN.-1以+244。},记

AB=S,A（JB=T.

（1）求集合ST；

⑵对于只含有四个正整数阳，8，/，毛的集合P，若卜/2-±匕|的最小值是、则称集合?是”阶积差

四元集

（附若4=1,求"1阶积差四元集"C,且满足CqS；

5）若k=2,是否存在“2阶积差四元集"M,N,使得MuN=7?若存在，求出所有集合N；若不存

在，说明理由.

.过•分层验收.

期末基础通关练（测试时间：15分钟）

一、单选题

1.（24-25高一上•浙江温州•期末）已知集合A={疝<x<5},8={3,4,5},贝（）

A.{2,3,45}B.{2,3,4}C.{3,45}D.{3.4}

2.（24-25高一上•广东广州•期末）设全集u={123.4,5},集合人={1,2,3},8={3,5},贝（）

A.{4}B.{5}C.{3,4,5}D.{1,2,3,5}

3.（24-25高一上•山东聊城•期末）已知集合”={0,1},则集合N={（x,），）keM,.ywM}中所含元素的个数

为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25高一上•新疆昌吉•期末）已知集合人二{“9一1},8={-4,-2,—1,0,123},则（QA）c8=（）

A.{-4,-2}B.{0,1,2）

C.{-4,—2,-11D.{-1,0,1,2}

5.（24-25高一上•山西•期末）已知集合4=口/-44+340},B={x\0<x<a},若则实数"的取

值范围是（）

A.（3,+8）B.（1,3]C.[3,+oo）D.（f3]

二、多选题

6.（24-25高一上•安徽合肥•期末）若集合A={xwN2x+10>3/},则下列结论正确的是（）

A.2夜色AB.8aAC.{4}eAD.{0}cA

7.（24-25高一上•四川成都•期末）已知集合人={1,々+2},4={1,2,/},若AqB,则。的值可以为（）

A.-1B.0C.1D.2

三、填空题

8.（24-25高一上•江苏苏州・期末）已知集合4=卜卜=2左—LZeN1,集合4=凶2"8卜则AcB的子集

个数是.

9.（24-25高一上•安徽合肥•期末）已知集合人=伊五-4x+l=0,awR}只有一个元素，则”的取值集合

为.

四、解答题

10.（24-25高一上•陕西•期末）设全集为R,集合A={x[l<x<4},B={x\\-m<x<2m],其中〃?eR.

⑴当〃?=3时，求AD（48）；

⑵若AB=B,求实数机的取值范围.

11.（24-25高一上•新疆吐鲁番•期末）已知集合4={小＞2.+1},集合B=W（x-8）（x+l）＞0}.

（1）当〃=-3时，求Ac4；

（2）若AB=B,求实数。的取值范围.

期末重难突破练（测试时间：30分钟）

一、单选题

1.（24-25高一上•江西赣州•期末）若集合A={x|x=2〃,〃eN},B={x|x2-5x-60）,则Ac3=（）

A.{2,4}B.{0,2,4}C.{2,4,6}D.{0,2,4,6}

2.（24-25高一上•上海普陀•期末）若集合用=3|），=2}。=卜卜=1。&21）＞/1^},则McP=（）

A.（0,8）B.C.（|,11D.仔/）U（1，8）

3.（24-25高一上•江苏泰州•期末）若{〃力,。）7（-3,-2,-1,1,2,3},则a—»—3c的最大值为（）

A.12B.13C.16D.18

4.（23-24高一上•湖北十堰•期末）集合M={x|x=502,AeZ）,P={x|x=5"+3,〃eZ},

S={x|x=10/n+3»mwZ}的关系是（）

A.SqPqMB.S=PjM

C.S《P=MD.P=McS

5.（24-25高一上•陕西榆林•期末）给定数集M,若对于任意都有x+），eM,且工-蚱”，则称

集合M为闭集合，则下列说法正确的是（）

A.自然数集是闭集合

B.无理数集是闭集合

C.集合M={x|x=3A/eZ}为闭集合

D.若集合/%,例2为闭集合，则Ml“2也为闭集合

二、填空题

6.（24-25高一上•河南洛阳・期末）已知集合A={x|0vxva},6={x|log2（x-l）<0},若BqA,则实数。

的最小值是.

7.（24-25高一上•上海•期末）已知集合A=,lk+3HA■—4怛〃对任意xeR恒成立},8={才J：/}，

则A「B=.

8.（24-25高一上♦山东济宁•期末）已知函数/*）=/_1+〃?，非空集合A={X|/*）=X},4={x|“〃x））=x},

若A=B,则实数加的取值范围是.

三、解答题

9.（24-25高一上•广西河池•期末）已知集合。={123,5,7,9},4={2,3,5},B={1,3,5,9}.

⑴求AcR淞）,（u4）c（?uB）；

⑵若集合。={成尸2）（l-々）=0},是否存在实数。，使得AuC=4?若存在，试求出实数〃的值；若不存

在，请说明理由.

10.（23-24高一上•北京海淀•期末）已矢口集合4={乂X2一］一2<（）}.5=<Xx-［之5,•

、/

（1）求AB,A低孙

⑵记关于x的不等式一（2〃-4卜+,〃2+4/〃工。的解集为区若BM=R,求实数，〃的取值范围.

11.（24-25高一上•安徽宣城•期末）已知函数/（/）="^7+k）g2（x+l）的定义域为集合A,集合

B={x|^<21<8}.

⑴求集合AB；

(2)设集合C={x|l-〃”xW1+〃?},若Cc(4u8)=C,求实数，〃的取值范围.

12.(24-25高一上•安徽铜陵・期末)对于非空集合U,记。={1b^U}.若集合AqC,且满足如下两个

条件：①对任意的M.NWA,有MJNWA；②对任意的MGA,有4，MeA.则称集合A为集合U的一

个“完美子集类

(1)若集合U={123}，试写出集合U的所有“完美子集类”；

⑵已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明：

(0)0GA；

(E)对任意的M.NwA,有MONeA.

期末综合拓展练（测试时间：15分钟）

一、单选题

1.（2025•北京•高考真题）已知臬合知=（川21-1>5},'={123},则M[N=（）

A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

2.（2025•天津•高考真