第一章 幂的运算 培优题（含解析）-2026年北师大版七年级下册数学

2026年北师大版七年级下册数学第一章幕的运算培优题

一.选择题(共8小题)

1.已知，+加什25是完全平方式，则机的值为()

A.10B.±10C.20D.±20

2.已知4=8131,b=273C=961,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b->cB.u>c>bC.D.b>c>a

3.已知Q=^X+20,b=i,Y»19,c=^v+21»那么代数式。2+/+。2・-儿-的值是()

乙U乙U4U

A.4B.3C.2D.1

4.已知«=2005x4-2004,/>=2005x+2005,c=2005x+2006,则多项式a2+b2+c2-ab-be-ac的值为()

A.0B.1C.2D.3

5.不论x、y为什么实数，代数式/+/+2「4卢7的值()

A.总不小于2B.总不小于7

C.可为任何实数D.可能为负数

6.若〃=3/-8孙+9y-4¥+6尹13(x,y是实数)，则M的值一定是()

A.零B.负数C.正数D.整数

7.若x满足(2021-x)2+(x-2020)2=2019,则(2021-x：(x-2020)的值是()

A.-1006B.-1007C.-1008D.-1009

8.已知(x-2021)2+(x-2025)2=34,贝1J(x-2023)2的值是()

A.5B.9C.13D.17

二.填空题(共4小题)

9.已知2m+5〃+3=0,则4加X32"的值为.

1(),若加2-5加+1=0,则—+今=.

11.如果(2ai261)(2ai2A-1)=63,那么aS的值为.

12.为了求1+2+22+23+・・・+220°8+22009的值，可令s=1+2+2?+23+…+220°8+22°09,则2s=2+22+23+24+…

+220叫22叫因此2S-S=22010・1,所以1+22+23+-+22009=22010-1仿照以上推理计算出l+5+5?+53+…

+52。09的值是.

三.解答题(共17小题)

13.已知2。=3,2b=5,2c=30,求a,b,c之间的关系.

14.已知x=3",，I=2-P,z=¥・27F,用x,y表示z的代数式.

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15.若(*+〃/3)(x2-3x+m)的乘积中不含f项和项，求小，〃的值.

16.回答下列问题

(1)填空：/+表=(x+i)2-=(x-i)2+

(2)若。+，=5,则a2+今=；

(3)若J-3a+l=0,求J++的值.

17.若°"=十(。＞0且uXl,，、〃是正整数整则/»=〃.利用上面结论解决下面的问题:

(1)如果8V=25,求x的值；

(2)如果2"2+2"1=24,求I的值；

(3)若x=5*3,尸4-25%用含x的代数式表示y.

18.我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,如⑵+6)(。+6)=2f+3"+序就能用图1或

图2等图形的面积表示:

(1)请你写出图3所表示的一个等式：

19.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2233的值.

解：设5=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘2得:

2S=2+22+23+24+25+—+220,34-22014

将下式减去上式得2s-S=220'4-1

即s=22014-1

即1+2+22+23+24+—+22013=22014-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+24+--+210

(2)1+3+32+33+34+…+3"(其中〃为正整数).

2().阅读下面的材料并填空：

①(1-1)(1+2)=1一金'反过来，得1一击=<1-1)<1+|)=|x|

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（2）（I—*）（1+^）=1-+,反过来，得1一+=（1一q）（1+［）—X

③（1一/）（1+》=1一白反过来,得1-^=-------------------=1x!

利用上面的材料中的方法和结论计算下题：

（1一击）（1-今）（1-表）……（1-薪T）（1-岛7）（1-薪T）

21.有一系列等式：

1X2X3X4+1=52=（I2+3X|+1）2

2X3X4X5+1=112=（22+3X2+1）2

3X4X5X6+1=@=（32+3X3+1）2

4X5X6X7+1=292=（42+3X4+1）2

(I)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8X9X10X11+1的结果

(2)试猜想〃(〃+1)(〃+2)[〃+3)+1是哪一个数的平方，并予以证明.

22.观察下列各式

(X-1)(x+1)=x2-I

(A-I)(f+x+l)=4-1

(x-1)(xV+x+l)=x4-1

①根据以上规律，则(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+l)=.

②你能否由此归纳出一般性规律：a-1)(z+y,-,+.-+x+i)=.

③根据②求出：1+2+2?+…+234+235的结果.

23.某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计

算：

3(4U)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255.

请借鉴该同学的经验，计算：(1+4)(1+玄)(1+玄)(1+事)+热亏.

24,记,％i)=-2,MQ)=(-2)X(-2),3)=(-2)X(-2)X(-2),•••,%”=(-2)X(-2)X-X(-2)

n^-2相乘

(I)计算：A/(5)+M(6)；

(2)求2M(205+A/(2016)的值：

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（3）说明2M⑺与互为相反数.

25.如果〃=方，那么我们规定（a,b）=c,例如：因为2^=8,所以（2,8）=3.

（1）根据上述规定填空：（4,16）=,（5,I）=,（6,白）=:

（2）若（3,4）="，（3,6）=b,（3,96）=c.判断mb,c之间的数量关系，并说明理由.

26.先阅读下列材料•，再解答后面的问题.

般地，若a"=〃（a>0且aWl,力>0）,则〃叫做以a为底〃的对数，记为lug，（即1。&疝=〃）.如

34=81,则4叫做以3为底做的对数,记为Iog381（即log381=4）.

（1）计算以卜各对数的值：log24=,log216=,log264=.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log2中之间又满足怎样的关

系式；

（3）猜想一般性的结论：k）&M+log“N=（a>0且“Hl,M>0,N>0）,并根据幕

的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想.

27.认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）］=a+b,（a+b）

2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+力）2Ca+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,

下面我们依次对（。+力）〃展开式的各项系数进一步研究发现，当〃取止整数时可以单独列成表中的形

式：

(3+b)l...............................................11

(a+b)!...........................................121

(a+b[........................................1331

(a+b)t....................................1464I

(a+b)^..................................15101051

(a+b)6..............................1615201561

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题:

（1）多项式（a+h）〃的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（户。）〃展开式的各项系数之和.

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+8）〃（〃取正整数）的展开式的各项系数之和为3（结果用含

字母〃的代数式表示）.

28.（1）从图1〜3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，求关于。，力的等量关系.

（2）尝试解决：

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①已知a-3/）=3,ab=2,求（a+3b）2的值；

②已知（7-x）（8-x）=6,求（7-x）2+（8-x）2的值.

（3）填数游戏：如图4,把数字1〜9填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都

等于17,将每边四个数字的平方和分别记作力，B,C,已知力+4+C=299.若将位于这个三角形顶点

处的三个圆圈填入的数字分别表示为x,入户户则xy的值为.（直接写出答案）

29.阅读理解:

若x满足(30-x)(x-10)=160,求(30-x)2+(x-10)2的值.

解：设30-x=mx-10=/?,则(30-x)(x-10)=。6=160,a+b=(30-x)+(x-10)=20,(30

-x)2+(x-10)2=a2+h2=(a+b)2-2ah=2()1-2X160=80

解决问题：

(1)若x满足(2020-x)(x-2016)=2.则(2020-A)2+(x-2016)2=；

(2)若x满足(2021-x)2+(x-2018)2=2020,求(2021-x)(x-2018)的值；

(3)如图，在长方形4AQD中，4A=20,BC=\2,点与F是RC、CD上的点，且BE=DF=x,分

别以“、。石为边在长方形/BC。外侧作正方形C尸GH和。EWV,若长方形CK尸产的面积为160平方

单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位.

GH

B

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2026年北师大版七年级下册数学第一章幕的运算培优题

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

题号12345678

答案BABDACDC

一.选择题(共8小题)

1.已知f+mx+25是完全平方式.则机的值为()

A.10B.±10C.20D.±20

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.

【解答】解：•・・*+加什25是完全平方式，

m—±1(),

故选：B.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关犍.

2.己知4=8131,力=27，c=961,则。，b,c的大小关系是：)

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【分析】先把81,27,9转化为底数为3的舞，再根据箱的乘方，底数不变，指数相乘化简.然后根据

指数的大小即可比较大小.

【解答】W-：Va=813,=(3,31=3^4

Z)=274,=(33)41=3口3：

C=961=(32)6]=3122.

则a>b>c.

故选：A.

【点评】变形为同底数辕的形式，再比较大小，可使计算简便.

3.已知。=4工+20,6=4牙+19,4工+21,那么代数式。2+川+。2--a的值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】已知条件中的几个式子有中间变量x,三个式子消去x即可得到：a-b=\,a-c=-\,b-c

=-2,用这三个式子表示出已知的式子，即可求值.

【解答】解：法一：a2+b2+c2-ab-be-ac,

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=a(a-b)+b(6-c)+c(c-a),

又由a=2o-v+2O,b=而x+19，c=加i+21，

11

得(a-b)=^g：v*2()—­20^^-19=1,

同理得：(b-c)=-2,(c-a)—1,

所以原式=4-2b+c=^r+20-2(-~t+19)+克t+21=3.

故选8.

法二：a2+b2+c2-ab-be-act

=i(2a2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac),

=}(a2-2ab+P)+(a2-2ac+c2)+Cb2-2bc^(r)]>

=(a-b)2+(a-c)2+(/>-c)2],

=1x(1+1+4)=3.

故选：B.

【点评】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为

简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键.

4.已知a=2005,v+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,则多项式a2+b2+c2-ab-be-ac的值为()

A.0B.1C.2D.3

【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解.

【解答】解：由题意可知a-b=-i>b-c--1>a-c=-2)

所求式=(2a2+2b2+2c2-2ah-2bc-2ca),

=3(〃2-2〃/)+/)2)+(/)2_2从+/)+(〃2_,

='(a-b)2+(b-c)2+(a・c)2],

=1[(-1)2+(-1)2+(-2)2],

=3.

故选：D.

【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平

第7页(共22页)

方公式的关键.

5.不论x、y为什么实数，代数式/+/+2%-卬+7的值(

A.总不小于2B.总不小于7

C.可为任何实数D.可能为负数

【分析】要把代数式f+f+214y+7进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围.具体如下：

【解答】解：x2+/+2r-4>H-7=(x2+Zv+l)+(/-4^+4)+2=(x+1)2+(y-2)2+2,

'：(x+1)220,(y-2)22()，

:.(x+1)2+(y-2)2+222,

tf+2x-4尸>722.

故选：A.

【点评】主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值

的范围.要求掌握完全平方公式，并会熟练运用.

6.若」必=3彳2-8xy+9y-4x+6yH3(x,y是实数)，则M的值一定是()

A.零B.负数C.正数D.整数

【分析】本题可将M进行适当变形，将〃的表达式转换为几个完全平方式的和，然后根据非负数的性

质来得出M的取值范围.

【解答】解：河=3/・8冷，+9)2-4/6、+13,

=(.¥2-4.v+4)+()2+6)斗9)-2(x2-4,v>»+4v2),

=(x-2)2+(>4-3)2+2(X-2y)2>0.

故选：C.

【点评】本题主要考查了非负数的性质，将M的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题

的关键.

7.若x满足(2021-x)2+(x-2020)2=2019,则(2021(x-2020)的值是()

A.-1006B.1007C.1008D.1009

【分析】i殳2021-%=。，x-2020=b,根据题意可得，M+"=2020,a+b=(2021-x)+(x-2020)

=1,将帅化成/(a+b)2-(〃2+川)]的形式，代入求值即可.

【解答】解：设2021・x=a,¥・2020=6,则(2021-x)2+(x-2020)2=a2+b2=2019,a+b=(2021

-x)+(x-2020)=1,

所以，(2021-x)(x-2020)=ab=1[(a+b)2-(a2+b2)]=1x(I2-2019)=-1009；

第8页(共22页)

故选：D.

【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键.

8.已知(x-2021)2+(x-2025)2=34,贝I」(x-2023)2的值是()

A.5B.9C.13D.17

【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解.

【解答】解：令/=x-2023,则原式可化简为(「2)2+(什2)2=34,则»-4什4+於+4什4=34,

解得：?=13,即(x-2023)2=3

故选：C.

【点评】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案.

二.填空题(共4小题)

9.已知2m+5〃+3=0,则4Mx32〃的值为.

8

【分析】都化成以2为底数的幕的运算，再根据同底数哥相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2〃?+力

=-3,再根据负整数指数次哥等于止整数指数幕的倒数进行计算即可得解.

【解答】解：4加X32”,

=22WX25W,

=22，〃+5〃，

2"1+5〃+3=0,

工26+5〃=-3,

.••4用义32"=2-3=1

故答案为："

O

【点评】本题考查了同底数暴的乘法，负整数指数次哥等于正整数指数哥的倒数的性质，要注意整体思

想的利用.

10.若"3-5/w+l=0,则m?++=23.

【分析】由于mW0,把/-5〃?+1=0两边除以〃？可得到〃?+[=5,再把根+1=5两边平方得到

〃尸+2+3=25,变形即可得到加斗上的值.

【解答】解：・，〃2-5切+1=0,

••m-5+士=(),即m+士=5,

第9页(共22页)

•，・(//J+—)2=25,

m

.*.W2+2H---7=25,

.••)/+-L.=23.

故答案为23.

【点评】本题考查了完全平方公式：(。土b)2=a2±2ah+h2.也考查了代数式的变形能力.

11.如果(2a+26+l)C2a+2b-1)=63,那么。+b的值为±4.

【分析】将2〃+2b看作整体，用平方差公式解答，求出2。+2%的值，进一步求出(a+b)的值.

【解答】解：*/(24+2计1)(2a+2b-1)=63,

工(2a+2b)272=63,

JQ2a+2b)2=64,

2a+2b=±8,

两边同时除以2得，a+b=±4.

【点评】本题考查了平方差公式，整体思想的利用是解题的关键，需要同学们细心解答，把(2。+28)

看作一个整体.

12.为了求1+2+22+23+•••+22008+22009的值，可令5=1+2+22+23+…则2s=2+22+23+24+…

+22009+22010,因此2S-S=2201O-1,所以1+2?+23+…+220°9=22°1。-1仿照以上推理计算出1+5+52+53+…

52010_1

+52009的值是___^_.

【分析】根据题目所给计算方法，令s=1+5+52+53+…+52012,再两边同时乘以5,求出55,用5s7,

求出4s的值，进而求出S的值.

【解答】解：令S=1+5+52+5。…+52009,

则5S=5+52+53+—+52010,

55-5=-1+52010,

45=52010-1,

52010-1

则s=4•

52010_I

故答案为：~

4

【点评】本题考查了同底数箱的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键.

三,解答题(共17小题)

13.已知2。=3,2〃=5,2。=30,求a,b,c之间的关系.

第10页(共22页)

【分析】由2。=3,2力=5,2。=30,可得2%2〃=15,则可得2・2a-26=30,继而求得a,b,c•之间

的关系.

【解答】解：・・・2。=3,2b=5,2c=30,

.・・20-2b=15,

A2-2a-2b=30,

・'・a+b+1=c.

【点评】此题考查了同底数暴的乘法.此题难度适中，注意掌握指数的变化是解此题的关键.

14.已知x=3F,y'i=21'p,2=纳・27-%用x,y表示z的代数式.

【分析】由于N=V・279=(22)p*(33)(,=(2，)2・(3”)3,题目要求用工，y表示z,又x=3夕,

那么关键是用y的代数式表示2P.由，】=2=P,根据负整指数基的意义，可知2P=2y.

【解答】解：由/1=2「匕

得y=2PT=冬

所以2〃=2y.

Z="・27F=(22)P・(33)'*=(2〃)2・(3")3=(2j)2*?=4?/.

【点评】本题综合考查了塞的运算性质、负整指数塞的意义及代数式的恒等变形.本题能够由已知条件

=得出2〃=2y是解题的关键.

15.若(f+wx+3)(x2-3x+m)的乘积中不含f项和一项，求“3〃的值.

【分析】将已知的式子利用多项式乘以多项式的法则变形，合并后根据乘积中不含炉和丁项，得到这

两项系数为0,列出关于机与〃的方程，求出方程的解即可得到，〃与〃的值.

【解答】解:(f+wx+3)(X2-3X+/H)

=.r44-w.r3+3.r2-3x3-3nx2-9x-^mx2+mnx+3m

=/+(n-3)x3+(3-3〃+〃？)x2+(mn-9)x+3m,

•••乘积中不含x2和一项，

-3=0,3-3n+m=0,

解得：〃?=6,〃=3.

【点评】本题主要考查多项式的乘法，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关键，熟练掌

握运算法则也很重要.

16.回答下列问题

第11页(共22页)

(1)填空：/+3=(%+1)2_2=(x-i)2+2

(2)若a+工=5,贝ljq2+g=23；

Qaz

(3)若/-3〃+1=(),求cJ+/的值.

a1

【分析】(1)根据完全平方公式进行解答即可；

(2)根据完全平方公式进行解答；

(3)先根据M-34+1=0求出=3,然后根据完全平方公式求解即可.

【解答】解：(1)2、2.

(2)23.

(3)・・・4=0时方程不成立，

・・"0,

'：cr-3a+l=。

两边同除。得：。-3+《=0,

移项得：。+5=3，

-2=(a+J)2■2=7.

azQ

【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟冻掌握完全平方公式.

17.若""=/(a>0且aW1,〃?、〃是正整数)，则〃?=〃.利用上面结论解决下面的问题:

(1)如果即=25,求X的值;

(2)如果2/2+2、”=24,求I的值：

(3)若》=5由-3,y=4-25/s,用含工的代数式表示y.

【分析】(1)根据哥的乘方运算法则把8、化为底数为2的第，解答即可；

(2)根据同底数昂的乘法法则把2"2+2刈=24变形为2、(22+2)=24即可解答；

(3)由x=5〃-3可得”=户3,再根据幕的乘方运算法则解答即可.

【解答】解：⑴8V=(23)j2"=25,

:.3x=5,

解得x=I；

(2)V2x+2+2r+1=24,

A2V(22+2)=24,

第12页(共22页)

.,.2V=4,

(3)Vx=5/W-3,

/.5w=x+3,

Vy=4-25n,=4-(52)m

=4-(5"|)2=4-(x+3)2,

.*.y=-x2-6x-5.

【点评】本题考查了同底数'哥的乘除法以及冢的乘方与积的乘方，掌握利用'幕的乘方与积的乘方对式子

进行变形是关键.

18.我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如｛2a+b)(a+b)=2『+3"+必就能用图1或

图2等图形的面积表示：

(1)请你写出图3所表示的一个等式：(〃+2b)(2a+b)=242+5〃升2户.

a2+4ab+3b~.图1图2图3

【分析】(1)由题意得：长方形的面积=长义宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法,

即可得出等式：

(2)已知图形面枳的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形.

【解答】解：(1)•・•长方形的面积=长乂宽，

22

・••图3的面积=(a+2b)(2a+b)=2a+5ab+2bf

故图3所表示的一个等式:("2b)(2a+b)=2a2+5ah+2b2,

故答案为：(a+2b)(2a+b)=2ai+5ab+2h2；

(2)・・,图形面积为:(i+))(a+36)=/+4。什3%

，长方形的面积=长、宽=(“+力)(〃+36),

由此可画出的图形为：

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【点评】本题考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型.

19.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+2233的值.

解：设5=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘2得：

25=2+22+23+24+25+—+22013+22014

将下式减去上式得2s-5=2刈4-1

即5=22014-1

即l+2+22+23+244—•+22013=22014-1

请你仿照此法计算：

(1)l+2+22+23+24+-+210

(2)1+3+32+33+34+…+3〃(其中〃为正整数).

【分析】(1)设5=1+2+22+23+24+…+2叱两边乘以2后得到关系式,与已知等式相减，变形即可求出

所求式子的值：

(2)同理即可得到所求式子的值.

【解答】解:(1)is：S=l+24-22+23+24+―+210,

将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+—+21°+211,

将下式减去上式得：2S-S=2U-1,即S=21i-1,

则l+2+22+23+24+―+210=2"-1；

(2)设S=1+3+32+33+34+・・・+3”①，

两边同时乘3得：3s=3+32+33+34卜…+3”+3〃+1②，

②■①得：3S-S=3〃+1・1,即S=4(3田-1),

则1+3+32+33+34+…+3"=々(3田・1).

【点评】此题考查了同底数昂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键.

2().阅读下面的材料并填空：

①<1-1)(1+2)=1一金'反过来，得1一击=<1-1)<1+|)=|x|

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②（1一/）（1+/）=1一看,反过来，得1一金=（1一/）（1+＜）=—32-X—§4—

③（1一/）（1+a二1一看‘反过来,得1一看二—豆•一扛q+立一=lxl

利用上面的材料中的方法和结论计算下题：

（1一击）（1一今）（1一表）……（1-20^）（1-20T7^）（1-20T8^）

【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案.

【解答】解：①（1—（1+g）—1—击，反过来，得1—（I—（1+*）=

（1+春）=1等得1-表=（1-1）(i+b24

②(1反过来,=3xr

(1+》得1-表=（T）(1+235

③(1=T，反过来，=4X4

利用上面的材料中的方法和结论计算下题:

3一击)(1一袅(1一表)……(1~2016^>(，-2017^)(1-20l8^)

1324320172019

=2X2X3X3X4X，，，X20i8X20l8

2019

=4036,

2411

故答案为：鼻，鼻，(1-4)<1+4).

【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键.

21.有一系列等式:

1X2X3X4+1=52=(12+3X1+1)2

2X3X4X5+1=112=(22+3X2+1)2

3X4X5X6+1=192=(32+3X3+1)2

4X5X6X7+1=292=(42+3X4+1)2

（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8X9X10X11+1的结果89?

（2）试猜想〃（〃+1）（〃+2）5+3）+1是哪一个数的平方,并予以证明.

【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解；

（2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3

倍再加上1然后平方.

【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8X9X10X11+1=（82+3X8+1）2=892；

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故答案为:89?；

(2)依此类推：n(〃+1)(〃+2)(〃+3)+1=(/?2+3??+1)2,

理由如下：等式左边=("+3可)(层+3〃+2)+1=W4+6W3+9/72+2W2+6/?+1=/J4+6TI3+11/?2+6??+1,

等式右边=(/+3〃+1)2=(w2+l)2+2・3〃・(n2+1)+9〃2=〃4+2〃2+1+6/+6〃+9〃2=〃4+6〃3+I1//+6”+1,

左边=右边.

【点评】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘

法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算.

22.观察下列各式

(x-1)(x+1)=?-I

(X-1)(f+x+l)=--1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x4-1

・♦♦

①根据以上规律，则(X-1)(》6+/+X4+/+、2+、+1)=".

②你能否由此归纳出一般性规律：(X-1)C/+/F+…+X+1)-1.

③根据②求出：1+2+2?+…+234+235的结果.

【分析】①观察己知各式，得到一般性规律，化简原式即可；

②原式利用得出的规律化简即可得到结果：

③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果.

【解答】解:①根据题意得：(X-1)(x6+x5+x4+.?+x2+x+l)=X7-1：

②根据题意得：(x-1)(/+/-+…+x+l)=/*-1；

③原式=(2-I)(1+2+22+-+234+235)=236-1.

故答案为：①，-1;②—I-1;③236-1

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.

23.某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4・1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计

算：

3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255.

请借鉴该同学的经验,计算：(1+4)(1+/)(1+专)(1+击)+最能

【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果.

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【解答】解：原式=2(1—4)(1+；)(1+*)(1+*)(1+*)+2Yg

1、1

=2(1-/)+正

=2.

【点评】此题考查了平方差公式的应用，弄清题意是解本题的关犍.

24.记M])=-2,M(2)=(-2)X(-2),M3=(-2)X(-2)X(-2),…,%〃产(-2)X(—2)x…x(—2)

n个一2相乘

(1)计算：M<5)+M(6)；

(2)求2M(2015)+A/(2016)的值：

(3)说明2Mg与一"|)互为相反数.

【分析】(1)根据M®=(-2)x(—2)x…x(—2),可得历(5)，M(6),根据有理数的加法，可得答

n个-2相乘

案；

(2)根据乘方的意义，可得必(20%，M(20E，根据有理数的加法，可得答案；

(3)根据乘方的意义，可得必⑺，.”(〃+»根据有理数的加法，可得答案.

【解答】解：⑴M⑸+M,6)=(-2)5+(-2)6=-32+64=32；

2016

(2)2^,2015)+^(2016)=2X(-2)2015+(_2)=-(-2)X(-2)2015+(_2)2016=_(_2)

2016+(_2)2016=0;

/,+,,,+1

(3)2M(H)+M(n+1)=-(-2)X(-2)"+(-2)〃+1=-(-2)+(-2)=0,

**•2M⑺与M(»+1)互为相反数.

【点评】本题考查了同底数暴的乘法，利用了同底数哥的乘去，相反数的性质：互为相反数的和为零.

25.如果不=从那么我们规定(a,b)=c,例如：因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定填空：(4,16)=2,(5,I)=0,(6,白)=-2；

(2)若(3,4)=a,(3,6)=b,(3,96)=c.判断a,h,c之间的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)根据新运算的定义计算即可；

(2)根据新运算的定义和同底数幕的乘法、塞的乘方与积的乘方运算法则计算即可.

【解答】解：(1)V42=16,5°=1,6姿=妄，

1

(4,16)=2,(5,1)=0,(6,­)=-2.

36

故答案为：2,0,-2.

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(2)a,b,c之间的数量关系为2a+6=c.理由如下：

•・•(3,4)=a,(3,6)=b,

工3"=4,3『6,

,：(3,96)=c,

.*.3c=96=42X6=32a*3A=32tf+/,,

2a+b=c.

【点评】本题考查同底数塞的乘法，掌握同底数塞的乘法、暴的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键.

26.先阅读下列材料，再解答后面的问题.

一般地,若a”=b(a>0且aWLb>0),则"叫做以a为底b的对数,记为1。劭b(即log疝=〃).如

34=81,则4叫做以3为底做的对数,记为k)g381(即地卸=4).

(1)计算以下各对数的值：1。%4=2,log216=4,10.64=6.

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，Iog24、log216、log264之间又满足怎样的关

系式；

(3)猜想一般性的结论：log,M+log“N=log”(MN)(a>0且aWl,M>0,N>0),并根据幕的

运算法则：以及对数的含义证明你的猜想.

【分析】(1)根据材料叙述，结合22=4,24=16,26=64即可得出答案；

(2)根据(1)的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式;

(3)设log“A/=4，lo&,N=b2，贝Ijah="，力2=N,分别表示出MV及4+历的值，即可得出猜想.

【解答】解：(1)log24=2,lag216=4,log264=6；

(2)Iog24+log216=logz64；

(3)猜想logaA/+logzzN=log。(MN).

证明：设log<”W=6i，logaN=bz，贝ija'i=M,ab2=N,

故可得MM=abi,ab2=》+勾，b\+b2=\oga(MN),

即lognM+log^W=loga(MN).

【点评】本题考查了同底数幕的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学

们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息.

27.认真阅读材料,然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：(。十人)1=。十匕，(。十/>)

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2=a2+2ab+b2^（a+b）3=（tz+6）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3>…

下面我们依次对（。十方）〃展开式的各项系数进一步研究发现，当〃取正整数时可以单独列成表中的形

式：

(a+b)!.......................11

(a+b)!.....................121

(a+b[....................1331

(a+b)t..................14641

(a+b六..................15101051

(a+b)6.................1615201561

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察''杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题:

（1）多项式（a+b）〃的展开式是一个几次儿项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）〃展开式的各项系数之和.

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）”取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含

字母〃的代数式表示）.

【分析】（1）由题意可求得当〃=1,2,3,4,…时，多项式（a+b）〃的展开式是一个几次几项式，第

三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；

（2）首先求得当〃=1,2,3,4…时，多项式（a+b）〃展开式的各项系数之和，即可求得答案；

（3）结合（2）,即可推断出多项式（a+b）〃（〃取正整数）的展开式的各项系数之和.

【解答】解：（1）•・•当〃=1时，多项式（a+b）］的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=苧,

当〃=2时，多项式（a+/>）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1二季，

当〃=3时，多项式（武力3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=竽，

当〃=4时，多项式（〃+〃）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=争，

・•・多项式（a+b）"的展开式是一个〃次〃+1项式，第三项的系数为：若已

（2）预测一下多项式（〃+〃）”展开式的各项系数之和为：2,

（3）•・•当〃=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21

当〃=2时，多项式（0十b）2展开式的各项系数之和为：1十2十1=4=2?,

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当〃=3时，多项式（〃+6）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23,

当〃=4时,多项式（武力）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24,

・•・多项式（a+b）〃展开式的各项系数之和：S=2〃.

【点评】此题属于规律性、阅读性题目.此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关

键.

28.（1）从图1〜3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，求关于b的等量关系.

（2）尝试解决：

①已知。-3方=3,ab=2,求（q+3b）2的值；

②已知（7-x）（8-x）=6,求（7-x）2+（8-x）2的值.

（3）填数游戏：如图4,把数字1〜9填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都

等于17,将每边四个数字的平方和分别记作儿B,C,己知力+4+C=299.若将位于这个三角形顶点

【分析】(I)观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；

(2)①根据(a+3h)2=(a-3b)2+12ab代入求值即可：②