平行线中的“拐点”问题 同步练习-2025-2026学年人教版七年级数学下册

模型专题平行线中的“拐点”问题

模型一“M”形拐点模型

1.模型说明

（1模型【

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:N3=Nl+/2.

（2膜型I【

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:/4+N5=Nl+/2+N3.

2.结论：遇到模型I和模型II两种图形时,所有开口向右的角（如模型【中/3;模型H中N4,N5）的度数和等

于所有开口向左的角（如模型I中NL/2;模型II中N1,N2,N3）的度数和.

1.如图,AB〃CD,NABM=30o,NCDM=45。,则NBMD的度数为（）

A.I050B.90°C.75°D.70°

2.如图,AB〃CD,点E在线段BC上.若/1=40。,/2=3（）。.则NCED的度数是)

A.50。B.II00C.60°D.70°

3.如图.若a〃b,则x二，

4.如图，含有30“角的直角三角尺的顶点A,B分别在直线a,b上若a〃b，且Nl=40。,求N2的度数.

模型二“二〉，，形拐点模型

1.模型说明

(1膜型I

已知:如图所示.AB〃CD.

结论:Nl+N2+N3=360。.

(2模型II

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:N1+N2+N3+N4=(4-1)X愀)=540’.

2.结论：在“。”形拐点模型中，两条平行线之间如果有n个拐点，那么n个拐点所有角的度数和为(n-1)x1

80°.

5.如图.直线a〃b点M,N分别在直线a,b上.P为直线a,b中间一点那么N1+N2+N3等于()

A.36O。B.3OO0

C.27O°D.180。

6.如图,按虚线在长方形纸片中剪两刀，并使Nl=U5o,AB_LCB于点B,那么N2的度数为二.

1\

________

C

7.如图，直线AB^CD，B^Z1=110°,Z2=120°,3<Z3的度数

8.已知直线AB〃CD,点E是直线AB,CD之间任意一点，射线EF经过点B.

【初步探究】

⑴如图①，若DE〃AC,NCAB=130o,NABF=8(T*NBED的度数.

【深入探究】

(2)如图②,若NCAB=a,NCDE=2NACD,NBED=140。,求NABE的度数(用含a的式子表示).

【拓展探究】

(3)如图③若/ABE的平分线与/CDE的平分线交于点Q,试写出/BED和NBQD的数量关系，并说明理由.

模型三“二/”形拐点模型

1.模型说明

如图所示,m〃n,“二，”形中出现了''拐点二且在平行线m,n的外部.

2.结论:N1=N2+N3.

9.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动一名同学抖空竹时的一个瞬间如图①所示.数学

老师根据该名同学抖空竹的瞬间抽象出一个数学问题:如图②，已知AB〃CD,NEAB=8(r,NECD=l10。,求NAEC的

度数.

E

A

模型四"彳"形拐点模型

1.模型说明

如图所示,m〃n，“子”形中出现了拐点，且在平行线m,n的外部.

2.结论:N3=N1+N2.

1。如图所示.直线a/7b,Z2=31°,ZA=28°,则N1=()

A.61°B.60°C.590D.58°

11如图，直线AB〃CD,NB=66)/D=37。,则NE的度数是()

A.29°B.30°

C.37°D.66°

12如图，已知AB〃CD.点E为射线AG上一点,AH平分NBAE,DH交AH于点H.交AE于点K.且NEDH

ZCDH=2:1,□力ED=20,D/7=30，求［JEKQ的度数•

模型专题平行线中的“拐点”问题

模型一“M”形拐点模型

1.模型说明

（1模型I

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:N3=N1+N2.

模型I图模型II图

（2原型II

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:N4+N5=N1+N2+N3.

2.结论：遇到模型I和模型II两种图形时，所有开口向右的角（如模型I中N3；模型II中N4,N5）的度数和等

于所有开口向左的角（如模型I中Nl,/2;模型II中/1/2/3）的度数和.

1.如图.AB〃CD,NABM=3（y\NCDM=45。,则NBMD的度数为（C）

A.I050B.90°C.75°D.70°

解析:因为AB〃CD,/ABM=30O,/CDM=45O3MU/BMD=NABM+NCDM=3()O+45口=75乙

2.如图.AB〃CD,点E在线段BC上右/l=4(T,/2=30”l_UCED的度数是(B)

A.50°B.1100C.60°D.70°

解析:因为/1=40。,/2=30。48〃。4所以C3=D2+D1=3O+40=70一所以「。七£>=180-口3=180-70=11

0

3如图，若a〃b,则x=72。.

解析:由题图可知01=180]-120=60.根据模型可知，口1+3。」+30=x+48□.解得x=72.

4.如图，含有3()。角的直角三角尺的顶点A,B分别在直线a,b上.若a〃b，且Nl=40。,求N2的度数.

解根据模型可知,NC=N1+N2,即60。=40+口2,所以N2=20。.

模型二“二〉，，形拐点模型

1模型说明

(1模型I

已知:如图所示,AB〃CD.

结论:/l+N2+N3=360。.

模型I图

(2模型n

已知:如图所示.AB〃CD.

结论:Z1+N2+N3+Z4=(4-I)x18()=540.

2.结论：在“。”形拐点模型中,两条平行线之间如果有n个拐点,那么n个拐点所有角的度数和为(n-1)x1

80°.

5.如图，直线a〃b点M,N分别在直线a,b上,P为直线a,b中间一点，那么N1+N2+N3等于

(A)

A.36O。B.300。

C.2700D.1800

解析:根据模型可知,Nl+N2+N3=(3-1)x180=360.

6.如图，按虚线在长方形纸片中剪两刀，并使Nl=115o,AB_LCB于点B,那么N2的度数为坨.

解析根据模型可知,Nl+/2+NB=(3-1户180口=360和115+90+02=360，所以/2=155。.

7.如图直线AB〃CD,已知N1=I10。,/2=120。,求/3的度数

解根据模型可知,N1+N2+/AFC=360。,即110+120+QAFC=360，所以NAFC=130。,

所以□3=180°-0JFO180130u=50]

8.已知直线AB〃CD点E是直线AB.CD之间任意一点,射线EF经过点B.

【初步探究】

⑴如图①，若DE〃AC,NCAB=130o/ABF=8()o*NBED的度数

【深入探究】

(2)如图②，若/CAB=a2CDE=2NACD,NBED=140。,求/ABE的度数(用含a的式子表示).

【柘展探究】

(3)如图③.苔/ABE的平分线与/CDE的平分线交于点Q,试写出/BED和/BQD的数量关系，并说明理由.

解⑴如图.过点E作EH〃AB,则NBEH二NABF=80。.

AB/7CD,ZCAB=130°,EH/7AB.FJTI^CJCZ)=180一口。8=50,EHCD.

因为AC〃DE,

所以NEDG=NACD=5O°.

因为EH〃CD,

所以ZHED=ZEDG=5O。，

所以ZBED=ZBEH+ZHED=130。.

(2)由模型可知,NABE+NBED+NCDE=360。.

因为AB〃CD,

所以□JCD=180n-nC/l5=180

因为NCDE=2NACD,

所以口。石=2(180口")=360口-2以

因为/BED=140。，

所以NABE=36()。一NBED—NCDE=360-140J-(360°-2a)=2a-140.

(3)NBED+2NBQD=36(尸.理由如下:如图，延长BQ交直线CD于点K.

设NABQ=x,NCDQ=y.

因为BQ平分NABEQQ平分NCDE,

所以NABE=2NABQ=2x,

ZCDE=2ZCDQ=2y.

因为AB〃CD,

所以NBKD=NABK=x,

所以12180/)=180□一口。0代180口一(180]-/810)—ZCDQ)=ZBKD+ZCDQ=x+y.

由模型彳导NABE+NBED+/CDE=360。,所以NBED=360°—ZABE—ZCDE=360-2x-2y,

所以口命。+2口〃。7>360-2,v-2y+2(x+y)=360°.

模型三“二/”形拐点模型

1.模型说明

如图所示⑪〃n"二Z”形中出现了“拐点”，且在平行线m,n的外部.

2.结论:N1=N2+N3.

9.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动.一名同学抖空竹时的一个瞬间如图①所示.数学

老师根据该名同学抖空竹的瞬间抽象出一个数学问题:如图②，已知AB〃CD,NEAB=8()o,/ECD=l10。.求NAEC的

度数.

WWM^RT^，ZECD=ZEAB+ZAEC.|a^ZEAB=80o,ZECD=110o,BTLUZAEC=ZECD-ZEAB=30o.

模型四"二"形拐点模型

1.模型说明

如图所示.m〃n,“号”形中出现了拐点，且在平行线m,n的外部.

2.结论:N3=N1+N2.

10如图所示，直线a〃b,N2=31。,/A=28。,则N1=(C)

A.61°B.60°C.59°D.58°

解析:根据模型可知,N1=NA+Z2=28+31口=59].

"如图直线人8/^口,/8=66。,/口=37。,则/£的度数是(A)

A.29°B.3O°

C.37。