第七章 复数（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

第七章复数（思维导图+知识清单）

【人教A版（2019）］

复数的概念：我们把形如不砥ab£R）的数叫做短数，其中i叫做虚数单位

复数的表示；复数通常用字国-表示，即〃BR）,其中的“与小分别

数系的扩充叫做其数二的涮与虚部

厂和复数的概

念复数的分类：实数、虚数、纯虚数

复■

数复数的几何意义：①与点对应；②与向量对应

的

概复数的模：向量的模刚做复数二3历的模或绝对值，记作或日历

念

共侬数：一般地，当两个夏数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两

J复数的几何个基数叫做互为共匏复数

意义

复数的模的几何意义：复数二=广颂。力0K）的模：就是复数二加在夏平面

内对应的点ZS力）到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义

其数的加法运算及其几何意义、复数的减法运算及其几何意义、复数的乘

复法运算、其数的除法运算

数复数的四则

的厂运算复数运算的常用结论

WF

四

则A>0时，方程有两个不相等的买根；A=0时，方程有两个相等的实根;

△<0时，方程有两个虚根

运J复数范围内

算方程的根

Mcos分isin仍叫做直数■叶历的三角表示式，简称三角形式，其结构特征

是：模非负，角相同，余弦前，加号连

复复数的三角辅角的主值：我们规定在把小2”范围内的辐角的值为辐角的主值,通常记

「表示式

数作argz,即。三aigz<2n

的

复数乘法运算的三角表示：两个短数相乘，积的模等于各自数的模的积,

三

积的福角等于名总数的堀角的和

角

表复数乘、除复数除法运算的三角表示：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除

示运算的三角数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的想角所得的差

表示及其几

何意义复数乘法运筒的几何意义、复数除法运算的几何意义

〉知识清单

7.1复数的概念

【知识点1数系的扩充和复数的概念】

1.数系的扩充与复数的相关概念

（1）复数的引入

为了解决/+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我书引入一个新数i,规定：

①i2=—1,即i是方程/+1=0的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数4与i相加，结果记作a+i；实数力与i相乘，结果记作。i；实数。与加相加，结果

记作。+勿.注意到所有实数以及i部可以写成历（。力£R）的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.

（2）回数的概念

我们把形如"方i（〃，£R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={〃+历叫

做复数集.这样，方程/+1=0在复数集C中就有解尸i了.

（3）复数的表示

亚数通常用字母z表示，即z=a+63，〃£R）.以后不作特殊说明时，复数z="/?i都有其中的〃

与b分别叫做复数z的实部与虚部.

（4愎数的分类

对于复数a+〃i，当且仅当〃=。时，它是实数；当且仅当“A0时，它是实数0；当好。时，它叫做虚

数;当。=0且好0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R呈C.

复数z=a+6可以分类如下：

宜新］实数（"二°）

艮数1虚数（b芋0）（当a=0时为纯虚数）’

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.

2.复数相等

在复数集C={a+Z?i|a,/?£R}中任取两个数a+/?i,c+di（a力,c,d£R）,我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当

.二c且无"，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

【知识点2复数的几何意义】

1.复数的几何意义

（1）复平面

---•对应一一•对应

根据复数相等的定义，可得复数z=a+3i＜-------＞有序实数对（。力），而有序实数对3-------＞平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是儿复数z=〃+加可用点Z（a⑼表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

（虚轴）y

-----tZ:a+6i

I

I

除原点外，虚I

I

轴上的点都UI

I

表示纯虚数I

!（实轴）

o4）~S*

实轴上的点都表示实数

（2）复数的几何意义一与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一

----对应

的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数Z=4+〃i＜-------＞复平面内的

点Z（a,b）,这是复数的一-种几何意义.

（3）复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+/?i,连接。Z,显然向量0Z由点Z唯一确定；反过来，点

Z（相对于原点来说）也可以由向量0Z唯一-确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是••对应的（实数。与零向量对应），即复数z=〃+〃i

----对应一

«-------＞平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.

向量OZ的模「叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+b\是一个实数。，它

的模等于闷（就是。的绝对值）.由模的定义可知，\z\=\a+bi\=r=y/a^b2（r^0,reR）.

3.共匏复数

⑴定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共枕复数.虚部不等于0

的两个共扼复数也复数z的共挽复数用5表示，即若z=〃+bi,见£=”一〃.特别地，实数〃的共轲复数仍

是a本身.

（2）儿何意义

互为共规更数的两个更数在复平面内所对应的点关于实轴对称（如图）.特别地,实数和它的共也更数在复

平面内所对应的点重合，旦在实轴上.

①G)=z.

②实数的共挽复数是它本身，即z=z—z£R,利用这个性质可证明一个复数为实数.

4.复数的模的几何意义

(1)复数z="+伏〃力£R)的模团就是复数z=a+bi在复平面内对应的点ZS⑼到坐标原点的距离，这是复数

的模的几何意义.

(2)复数z在复平血内对应的点为Z,r表示一个大于。的常数，则满足条件|z|天的点Z组成的集合是以

原点为圆心，厂为半径的圆，|z|b表示圆的内部，|z|>/•表示圆的外部.

7.2复数的四则运算

【知识点1复数的四则运算】

1.复数的加法运算及其几何意义

(D复数的加法法则

设4=a+6i,Z?=。+小(4力《,4£阳是任意两个复数，那么Z|+Z2=3+历)+(c+4i)=3+c)+S+6/)i.

(2)帆数的加法满足的运算律

对任意Z],Z2,Z3、C,有

①交换律：Z|4-z2=z2+;

②结合律：(Z|+Z2)+Z3=Z|+(Z2+Z3).

(3)复数加法的几何意义

在复平面内，设.=a+bi,22=。+03力,("/£不对应的向量分别为。21,OZ2,则。乙=5力),OZ2

二(cd).以西，5Z对应的线段为邻边作平行四边形0Z/Z2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得

OZ=OZ,+次=(〃力)+(c,d产(a+c力+d),即z=(a+c)+S+d)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+3+d)i

对应的向量.

2.复数的减法运算及其几何意义

(1)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+a+)，i)=4+6的复数

x+>i(x,yWR)叫做复数。+切(〃力eR)减去复数c+Ji(c,dwR)的差,记作3+〃i)-(c+Ji).

根据复数相等的定义，有c+ka,d+y=b,因此x=a-c,y=O-d,所以x+.yi=3-c)+(Z?-")i,即3+〃i)-(c+di)

二(a-c)+(/"")i.这就是复数的减法法则.

⑵复数减法的几何意义

两个复数Z|=a+bi,22=。+山(好9,</£对在复平面内对应的向量分别是02],OZ2,那么这两个复

数的差窈-22对应的向量是左一必，即向量方.

如果作方=五三，那么点Z对应的复数就是马一马(如图所示).

这说明两个向量酝与近的差为N就是与复数(〃-c)+S0i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3.复数的乘法运算

(1)复数的乘法法则

设Zi=a+Ai,Z2=c+di(a力,c,d£R)是任意两个复数，那么它们的积3+历)(c+di)=ac+〃ci+〃di+儿市

=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与

虚部分别合并即可.

(2)区数乘法的运算律

对于任意Z],Z2,Z3EC,有

①交换律：Z[N2=Z2ZI；

②结合律：(Z[Z2)Z3=Z](Z2Z3)：

③分配律：Z】(Z2+Z3)=Z]Z2+Z|Z3.

在复数范围内，正整数指数基的运算律仍然成立.即对于任意复数Z,Z1,Z2和正整数利〃，有Z""=Z"，+"

（ZmY=Znin,（N|Z2）”=Zf能.

4.复数的除法

⑴定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(。+5)。+皿=4+加(。+加和)的复数.叱田叫做复数〃+切除

以复数c+di的商，记作(a+〃i)：(c+Ji)或:十(a,b,c,d£R,且c+出翔).

(2)复数的除法法则

/口・、•/〜/、a+b\(a+5i)(c-di)(acbd)(be-ad}\acbdbe-ad日

c+r/i(c+di)(c—di)c2-\-d~c~+d-c--\-d-

c+diM).

由此可见，两个复数相除(除数不为o),所得的商是•一个确定的复数.

5.|z-zol(z,zi)ec)的几何意义

设复数Z|=a+bi,22=。+田(。力,。,"£1<)在复平面内对应的点分别是发(《力),Z2(C,G，则IZZH

y/(a-c)2+(b-d)2,又复数为一z?=(4-c)+S“/)i,则Z-%|=y/{a-c)2[b—d)2.

故I乙Z2|=Z—Z2|,即E-z1表示复数zi，Z2在复平面内对应的点之间的距离.

6.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(l+i)2=2i^=>y1^=l+i；

②(1—i)2=-2i<=>2：=1—j-=>2，=-14-i；

1—11—1

77

(3)(14-i)(1—i)=2-<=>]+=1—i<=>]_j=1+i；

⑤j4"+l=i,i4"+2=-],i4"+3=-j,/"=](〃£z).

(2)常用公式

(«+Z)i)(a-bi)=a2+b2；

(a±bi)2="+〃±2abi；

(a±bi)3=标—3ab?±(3a2b—b3)\.

【知识点2复数范围内方程的根】

1.复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程加+/M+C=0(1#0,且4"c£R),则当AX)时，方程有两个不相等的实根

一力+\/h2—4ac_-h—\/h2—4ac

X,=%，不=无；

当A=0时，方程有两个相等的实根汨=不=一卷；

22

当AVO时，方程有两个虚根为=—-/?+=iA/-4t-z-c--—--b-，超=-—-h-----iv\/4a-c--—--b--,且两个虚数根互为共挽

复数.

2.复数的方程的解题策略

⑴对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

7.3复数的三角表示

【知识点1复数的三角表示式】

1.复数的三角表示式

(1)复数的三角表示式

如图，我们可以用刻画向量大小的模厂和刻画向量方向的角〃来表示复数Z.

i般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos〃+isinO)的形式.

概念名称概念的说明

模r「是复数Z的模，从)

0是以1轴的非负半轴为始边，向量方所在射线(射线OZ)为终边的

辐角0

〜r八a.八b

角，f[cost/=—,sin^=—

r(cosO+isin。)叫做复数z=〃+8i的三角表示式，简称三角形式，该式

三角形式

的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连

⑵事角的主值

显然，任何一个不为零的兔数的辐角有无限多个值，且这些值相差2兀的整数倍.例如，复数i的辐角是

々+2既，其中A可以取任何整数.对于复数0,因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复

数()的辐角也是任意的.我们规定在0W火2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值.通常记作argz,即0Wargzv2TL

(3)二角形式卜•的复数相等

每一个不等于零的复数有唯一的模与幅角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非

零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

【知识点2复数乘、除运算的三兔表示及其几何意义】

1.复数乘法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数乘法运算的三角表示

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

Z|z2=n(cos0