上海八年级数学上册-配方法解一元二次方程（同步练习）

17.2.3配方法解一元二次方程

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021・上海市培佳双语学校八年级期中）把方程源-3/1=（）变形为（x+〃）2=b的形式,

正确的变形是（）

331

A.（x--）2=16B.（x--）2=—

2416

C.2a-=）2=」D.2（X-2=16

4162

2.（2021.上海.八年级期中）将一元二次方程d+4x+l=0变形为"+加）2=4的形式，正确的是

（）

A.（X+2）2=\B.（x+2/=3C.。+2尸=4D.（X+2）2=5

3.（2020.上海市静安区实验中学八年级课时练习）一元二次方程一，内”=。在用配方法配

成。+，〃尸=〃时，下面的说法正确的是（）

A.m是p的gB.m是p的一半的平方

C.m是p的2倍D.m是p的g的相反数

4.（2019・上海•八年级课时练习）将代数式X2+4X-1化成（x+p）2+q的形式（）

A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4

二、填空题

5.（2021•上海市罗星中学八年级期中）一元二次方程V-6x+9=0的实数根是.

6.（2021.上海.八年级期中）当*=时，代数式丁+4”的值等于-3.

2

7.（2019•上海•复旦二附中八年级阶段练习）配方：x-jx+=（x_尸.

8.（2021.上海市罗南中学八年级阶段练习）=Cv-__）2

9.（2019•上海市黄兴学校八年级期中）配方：/_了+=（x_）2

10.（2018•上海浦东新•八年级期中）X2-5X+=（x-）2.

三、解答题

11.（2021•上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）用配方法解方程：/+6工-3=（）.

12.（2021・上海•八年级期中）用配方法解方程：2X2-3X-2=O

13.（2022・上海•八年级开学考试）用配方法解方程/-4x・2=0.

14.（2022.上海徐汇.八年级期末）用配方法解方程：V-4x-2=0.

15.（2022・上海•八年级期末）解方程：3x2-6x+1=0

16.（2021.上海市罗南中学八年级阶段练习）用配方法解方程：V+4-7=0.

17.（2021•上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x.

①,・,及0,

②・・・（x-2>0,

**•(A--)>o.

J

模仿上述方法解答：

求证：(1)对于任何实数x,均有公2+4.计3>0；

(2)不论x为何实数，多项式3/-5x-1的值总大于Zv2・34x・7的值.

18.(2019・上海•八年级课时练习)阅读题：分解因式：f_2x-3.

解：原式=/+2x+l-l-3

=(f+2x+l)-4

=(X+1)2-4

=(x+l+2)(x+l-2)

=(■+3)(x7).

此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方

法为配方法.此题为用配方法分解因式.

请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：4/+44-1.

【能力提升】

一、填空题

1.(202().上海市静安区实验中学八年级课时练习)方程/+川+乡=。"?—句之。)的根是

2.(2021•上海市泗塘中学八年级阶段练习)当工=一二次根式，2W+4x+10有最小值,最小

值为_.

二、解答题

3.(2020•上海市西南位育中学八年级期中)用配方法解方程：37+5x-l=0

4.（2022・上海松江•八年级期末）用配方法解方程：X2-2>/5A-=4.

5.（2022.上海浦东新.八年级期末）解方程：-2）=）?-2

6.（2021・上海•八年级期中）用配方法解方程：2X2-5A+1=0

7.（2021・上海•八年级期中）用配方法解方程：2/+公-5=0.

8.（2022・上海・八年级期末）用配方法解方程：2f—8.i+3=0.

9.(2021・上海•八年级期中)阅读材料：

用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题.例如：因为3a2工0,所以3a2+1

就有最小值1,即3a2+后1,只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为-3a2g0,

所以-3a2+l有最大值1,R|J-3a2+l<l,只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1.

(1)当4一时，代数式3(x+3)2+4有最小—(填写大或小)值为一.

(2)当x=时，代数式-2x2+4x+3有最大一(填写大或小)值为一.

(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m,当花园与墙相邻的边长

为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

17.2.3配方法解一元二次方程（解析版）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021・上海市培佳双语学校八年级期中）把方程源-3/1=（）变形为（x+〃）2=b的形式,

正确的变形是（）

331

A.（x--）2=16B.（x--）2=—

2416

C.2a-=）2=」D.2（X-2=16

4162

【答案】B

【分析】先移项，再将二次项系数化为1,最后配上一次项系数一半的平方即可.

【详解】解：2X2-3x=-1,

,31

X丁一5

,39_19

/-丁什记=-5+记'

即

故选：B.

【点睛】本题主要考查配方法解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

2.（2021・上海•八年级期中）将一元二次方程d+4x+l=0变形为（x+加尸=攵的形式，正确的是

（）

A.（A+2）2=1B.*+2）2=3C.（x+2f=4D.（X+2）2=5

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的一般形式直接进行求解即可.

【详解】解：由题意得：

一元二次方程V+4x+l=0变形为一般形式为：5+2）2=3；

故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的

关键.

3.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）一元二次方程V+px+g=0在用配方法配

成（X+,“）2=〃时，下面的说法正确的是（）

A.m是p的/B.m是p的一半的平方

C.m是p的2倍D.m是p的g的相反数

【答案】A

【分析】利用配方法将原方程配方即可得出结论.

【详解】解：移项，得/+/”=-9

两边同时加上得/+3+(2=-。+(f]

呜j二-4q

・・・mJ

2

即m是p的g

故选A.

【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键.

4.(2019・上海•八年级课时练习)将代数式x?+4x-l化成(x+p)2+q的形式()

A.(x-2)2+3B.(x+2)2-4C.(x+2)2-5D.(x+2)2+4

【答案】C

【分析】将代数式前两项结合，加上一次项系数一半的平方即加上4,后面减去4保证与原

式相等.

【详解】根据配方法，若二次项系数为1，则需要配一次项系数的一半的平方，若二次项系

数不为1,则可先提取二次项系数,将其化为1后再计算.x2+4x-l=x2+4x+4-4-l=(x+2)2-5,

故选C.

【点睛】本题考查了配方法的应用.

二、填空题

5.(2021•上海市罗星中学八年级期中)一元二次方程f-6x+9=0的实数根是.

【答案】XI=X2=3

【分析】先把左边直接配方，得(X-3)2=0,直接开平方即可.

【详解】解：配方，得(X-3)占0,

直接开平方，得1-3=0,

，方程的解为X/=X2=3,

故答案为：X/=X2=3.

【点睛】本题考杳了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：

（I）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍

数.

6.（2021.上海.八年级期中）当尸时，代数式/+4工的值等于-3.

【答案】-1或-3

【分析】根据题意列出方程，X2+4X=-3,求解即可得出答案.

【详解】根据题意得：/+©=-3,

X2+4X+22=-3+22,

222

配方得：x+4x+2=-3+2f即（4+2）2=1,

开方得：工十2=±1,

解得：为=-1,马=-3.

故答案为：・1或-3.

【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

2

7.（2019・上海・复旦二附中八年级阶段练习）配方：x-^x+=。-尸.

【答案】iI

【分析】由于二次项的系数为1,所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半

的平方.

【详解】•••所给代数式的二次项系数为1,一次项系数为-,，等号右边正好是一个完全平方

式，

珞数项为1

I5J25

故答案为：白；!

【点口青】本题考查了完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1,常数项是一次

项系数一半的平方.

8.(2()21•上海市罗南中学八年级阶段练习)八十-(A-_)2

【答案】~~

164

【分析】根据完全平方公式：/-2岁+)，2=(1-)，)2即可得出结论.

【详解】解：^-1.r+(l)2=j2-1x+-^=(x-i)2

242io4

故答案为:与：，

164

【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键.

9.(2019•上海市黄兴学校八年级期中)配方：/-枭+一=(x-)2

【答案】||

【分析】根据题意，左边应该是一个完全平方式，则左边应该填一次项一半的平方(-g)2,

然后得到答案.

【详解】解：“2-,X+(T)2=(X-g)2,

，x2--x+-=(x--)2;

393

故答案为5,

【点睛】本题考查配方法的应用，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项

平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍.

10.(2018•上海浦东新•八年级期中)X2-5X+=(x-)2.

【答案】y|

【分析】由于二次项的系数为1,所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半

的平方.

【详解〉・•所给代数式的二次项系数为1,一次项系数为5,等号右边正好是一个完全平方式,

.♦•常数项为(5:2)2=F，

4

.*.x2-5x+^=(X-7)2.

42

【点睛】考查完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1,常数项是一次项系数

一半的平方.

三、解答题

11.（2021.上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）用配方法解方程：f+6x-3=0.

【答案】x=-3+2退，9=-3-2后.

【分析】按照配方法的步骤和方法解方程即可.

【详解】解：/+6工-3=0,

移项得，X2+6A=3,

两边加9得，A2+6.14-9=12,

*+3尸=12,

开方得，x+3=±2&,

内=-3+2>/^,x>=—3—2>/3.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法解方程.

12.（2021・上海•八年级期中）用配方法解方程：2A-2-3X-2=O

【答案】X[=2,x2=-^

【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】解：A-2-|X=1

222

x-|x+（1）=l+（1）

.5=2,x2=--

・••原方程的解为：菁=2,x2=~

【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较

常见的题目，难度不是很大.

13.（2022・上海•八年级开学考试）用配方法解方程/-4x-2=0.

【答案】Xl=2+y/6,X2=2-瓜

【分析】根据配方法即可求解.

【详解】解：x2-4x-2=0,

x2-4x=2,

x2-4x+4=2+4,

（x-2）2=6,

x-2=±V6,

解得xi=2+y/6,X2=2->/6.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边：

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍

数.

14.（2022・上海徐汇・八年级期末）用配方法解方程：父-4>2=（）.

【答案】%=2+瓜,9=2-、苗.

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得.

【详解】解：X2-4X-2=O,

X2-4X=2,

X2-4X+4=2+4,

2产=6,

x-2=±5/6,

x=2±A/6,

即X[=2+\/6,X2=2-\/6.

【点口声】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键.

15.（2022・上海•八年级期末）解方程：3x2-6x+1=0

【答案】xi=l+乎，X2=l-净

33

【分析】方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用

完全平方公式变形后，开方即可求出解.

【详解】解：方程变形得：x2-2x=-1

配方得：x2-2x+l=|

即（x-l）2=|,

开方得：x-l二土手，

解得：X]=l+—,X2=l-—

33

考点：解一元二次方程■配方法.

2

16.(2021•上海市罗南中学八年级阶段练习)用配方法解方程：X+4A-7=0.

【答案]内=一2+日，^=-2-717.

【分析】利用配方法求解即可.

【详解】解：x2+4x=7,

X2+4X+4=7+4,

*+2)2=11,

.*.x+2=±vrr，

X]=—24-y/T\,Xj=-2—A/TT.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

17.(2021.上海市建平中学西校八年级阶段练习)我们知道：对于任何实数x.

①•”之0,

・"+1>0；

②•・,(x-2>0,

•••(X-；)2+g>().

模仿上述方法解答：

求证：(1)对于任何实数x,均有Zr2+4x+3>0；

(2)不论x为何实数，多项式3f-5x-1的值总大于2F-4X-7的值.

【分析】(1)将代数式前两项提取2,配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等

于I,即对于任何实数x,代数式2，+4x+3的值总大于0,得证：

(2)证明3f-5x-l-(2r2-4.r-7)>0即可.

【详解】证明：⑴,・・2^+以+3

=2(r+2¥)+3

=2(/+2计1)+1

=2(.r+1)2+1>1>0.

「2/+41+3>()

(2);3/—5厂1一(2户4尸7)

=3x*2-5x-1-2x2+4x+7

二f一九+6

二(x-打+告0,

・,・多项式3x2~5x~1的值总大］'2x2-4x~7的值.

【点睛】本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非

负数的性质以及配方法的应用.

18.(2019・上海•八年级课时练习)阅读题：分解因式：Y-2x-3.

解：原式=/+2戈+1-1-3

=(X2+2X+1)-4

=(X+1)2-4

=(x+l+2)(x+l-2)

=(x+3)(x-l).

此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方

法为配方法.此题为用配方法分解因式.

请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：4/+4a-1.

【答案】(2«+1->/2)(2«+14-72).

【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可.

【详解】4a■"十4a—1—(2a+l)~—2—(2。十I—>/2+1+>/2j

【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.此方法是抓住

二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的

平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法

【能力提升】

一、填空题

1.(2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习)方程f+-叼20)的根是

［答案］

2*2

【分析】根据题意得出配方得出一尸伫上，开方得出：x+e=±五三，即可

24422

求解得出根.

【详解】解：Vx2+px+q=()(p2-4q>0).

，配方得出("竺。卡中,

•一"+J〃2-4q—P—、，—4q

・・N=2~­，&=2，

故答案为：x―〃+”4、「“J彩4”

12~2

【点睛】本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属

于基础题.

2.(2021.上海市泗塘中学八年级阶段练习)当工=—二次根式，2口+4工+10有最小值,最小

值为_.

【答案】-12正

【分析】把2/+4X+10配方得：2(x+iy+8,即可解决.

【详解】12/+4x+1()=J2(x+1>+8

2(%+1)220

・•・2(X+1)2+8>8

当产-I时，2(x+iy+8有最小值，从而也£+二+10有最小值,且最小值为次=28

故答案为：-1,2y/2

【点睛】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方.

二、解答题

3.(202()•上海市西南位育中学八年级期中)用配方法解方程：3f+5x-1=0

【答案】内=占短，12=三二巨

66

【分析】结合题意，根据完全平方公式和一元二次方程的性质，通过配方，得卜+告2=2，

I6)36

从而完成求解.

【详解】3/+5x-1=0,

3x2+5x=1,

x+-5)37

6j36

小。=±返

66

3Z,12=上叵

66

【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程

的性质，从而完成求解.

4.（2022・上海松江•八年级期末）用配方法解方程：X2-2V5A=4.

【答案】x/=4+3>X2=>/5-3.

【分析】根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到（X-6『=9,然后利用直接

开平方法求解.

【详解】解：f-26x=4,

/-261+5=4+5,即(x->/5)2=9,

•»x-#)—±3,

・、尤/=6+3,X2=\/5-3.

【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是

解题关键.

5.（2022.上海浦东新•八年级期末）解方程：2），（），-2）=），2-2

【答案】=2+72,y2=2-72

【分析】整理成一般式后，利用配方法求解可得.

【详解】2），（〉，—2）=/一2.

y2-4y+2=0,

配方，得：（），-2『=2,

开平方，得：y-2=&,或y-2=-&,

解得y=2+&,%=2-3

所以，原方程的根为：y=2+&,必=2-&

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

6.（2021・上海•八年级期中）用配方法解方程:2X?-5A+1=0

【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可.

【详解】解:2X2-5X+1=0,

系数化为1得：工2-，+；=0,

22

配方得：x-|x+(-j)-^|+1=0,

24lo2

LJrr/5)17

即：U--)-=—,

416

两边同时开平方得：x-：=±"，

44

【点睛】本题考查配方法解一元二次方程.配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需

熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系.

2

7.(2021・上海•八年级期中)用配方法解方程：2X+4A-5=0.

【答案】X,+.

2-2

【分析】利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得.

【详解】2/+4%-5=0,

2.?+4X=5,

X2+2X=-

X24-2x+l=—+1,

:一"

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键.

8.(2022・上海・八年级期末)用配方法解方程：2X2-8A+3=0.

【答案】玉=2-乎或毛=2十芈

【分析】根据配方法的步骤先两边都除以2,再移项，