江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣x2−3x−10≤0,B={x∣2<x<11}A．{x∣2≤x≤5} B．{x∣2<x≤5} C．{x∣−2≤x≤11} D．{x∣2≤x<5}2．已知复数z满足(1+i)z=3+i，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x+1)=f(x)−3，则f(−2)=（

）A．−6 B．6 C．−4 D．44．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A．1010 B．15 C．555．设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1(−c,0)，过F1A．2 B．10 C．102 D．6．如图，在△ABC中，BD=DC，E在边AC上，且BE⊥AC，若AD=8，BC=10，则AEACA．26 B．28 C．36 D．397．若a>1,b>10，且lna+1a=21,b+eA．-10 B．ln10 C．10 D．8．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA=b(sinB+sinA．(2,2) B．(1,3) C．二、多选题9．某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（

）A．中位数为7 B．众数为8 C．平均数为6.8 D．极差为410．已知函数f(x)=sin2x−πA．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点π6C．f(x)在−π12,5π12上单调递增 D．11．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，F1−c,0A．若PF2=FB．若c=3，直线PQ过点F2，且线段PQ的中点为1,−1，则C的短轴长为C．若c=1，PF2=2F2QD．若B为C的下顶点，PB≤2b，则C的离心率的取值范围是三、填空题12．某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________．13．已知cosα+π6=35，且α∈0,14．一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为V=π3(3R−h)h2，其中R四、解答题15．已知函数fx(1)设m=−5.（i）求曲线y=fx在点1,f（ii）求fx(2)若fx>x恒成立，求16．已知正项等比数列an满足a1=2(1)求an(2)若bn=log2ana17．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：EF//平面AB(2)在答题卡上，作出平面B1DF与(3)求平面B1DF与平面18．已知F1,0是抛物线Γ:y2=2pxp>0的焦点，过F的直线l与Γ交于A，(1)求p的值；(2)若AF=4BF，求(3)记O为坐标原点，E为x轴上异于F的点，且AE=AF，延长AE交Γ于点C，设直线OB，BC的斜率分别为k1，k19．某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有nn≥2(1)若n=2，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率．(2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p0<p<1，用kk∈N+，k≤n）表示事件A首次发生时的试验次数，且k的分布列为Pk=1−pk−1（i）求Xn的数学期望E（ii）证明：nln答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题》参考答案题号12345678910答案BABADDCCBCDABC题号11答案ACD1．B【详解】因为A=x∣x2所以A∩B={x∣2<x≤5}．2．A【详解】因为(1+i)z=3+i，所以z=该复数对应的点的坐标为2,1，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．3．B【分析】由奇函数性质得f(0)=0，令x=0，x=1求得f(2)=−6，最后结合奇函数性质求解f(−2)即可.【详解】因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，f令x=0，得f(1)=f(0)−3=0−3=−3．令x=1，得f(2)=f(1)−3=−6．所以f(−2)=−f(2)=6．4．A【详解】连接BC因为AD1//BC1，所以异面直线A1B与A因为AB=2,AD=AA1=1，所以AA1所以cos∠5．D【分析】根据题意，设直线MF1的方程为y=ab(x+c)ab=3，进而求得双曲线【详解】由双曲线C:x2a不妨设直线MF1的方程为令x=0，可得y=acb，即因为MF1=可得a2c2b2+c6．D【分析】根据题意，将问题转化为求AE⋅AC，再结合已知条件进一步转化为求AB⋅【详解】因为E在边AC上，AE⃗,AC所以AEAC因为AE=所以AE⋅因为BE⊥AC，所以BE⋅AC=0因为AB=AD+所以AB⋅因为AD=8,BC=10，所以AB⋅AC7．C【分析】由b>10，且b+e10−b=31，lneb−10+1eb−10【详解】由b>10，且b+e10−b=31，得b−10>0，且b−10+1e设f(x)=lnx+1当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，则因为a>1,e所以a=eb−10，所以b−10=ln8．C【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得A=2B，进而得ab=2cos【详解】因为asinA=b(sin因为a2=b所以c=b(2cosA+1)，所以因为sinC=所以sinAcosB+所以sin(A−B)=因为△ABC是锐角三角形，A,B∈0,π2所以A−B=B，即A=2B．因为sinA=所以a=2bcosB，所以因为0<B<π2,所以ab9．BCD【详解】数据已按从小到大的顺序排列，共10个样本．中位数为7+72众数为7，故B错误；平均数为5+6+6+7+7+7+8+8+9+1010极差为10−5=5，故D错误．10．ABC【分析】对于A，直接求解最小正周期判断；对于B，根据fπ6=0【详解】对于A，f(x)的最小正周期为2π对于B，因为fπ6=0，所以f(x)对于C，当x∈−π12,5π12因此f(x)在该区间单调递增，故C正确；对于D，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)=因为g(x)是奇函数，图象关于原点对称，不关于y轴对称，所以D错误．11．ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用点差法可判断B选项；利用余弦定理结合椭圆的离心率公式可判断C选项；利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】对于A选项，因为PF2=F2所以△PQF1的周长为对于B选项，设点Px1,若直线PQ⊥x轴，则线段PQ的中点在x轴上，不符合题意，所以直线PQ的斜率存在，由题意可得x1+x由x12a所以y12−y2又因为直线PQ过点1,−1和F2c,0，所以因为c=3，所以b2a2=12，且故该椭圆的短轴长为2b=6，B错；对于C选项，因为PF2=2F2Q，不妨设故2a=QF1由余弦定理可得cos∠由余弦定理可得F1所以2c=433对于D选项，设点Px,y，则−b≤y≤b，易知点B因为PB≤2b，当且仅当y=b时，等号成立，因为二次函数fy=−c当y∈−b,b时，函数fy在y=b处取最大值，所以b3c2故a≥2c，故该椭圆的离心率为e=ca≤因此椭圆的离心率的取值范围是0,2故选：ACD12．0.6/3【详解】设事件A=“该同学答对所有选择题”，事件B=“该同学答对所有填空题”．由题意知P(A)=0.8,PBA=0.7513．−725/−0.28【分析】根据题意，结合α+π6∈π6,2【详解】因为α∈0,π2因为cosα+π6因为2α+π所以cos2α+π3=sin2α+因为2α+π所以sin=2414．7【分析】先根据正四面体的性质求出外接球的半径，球缺的高，代入公式可得答案.【详解】如图，记正四面体PABC外接球的球心为O，半径为R，△ABC外接圆的圆心为O1因为O1C=3，所以PO1=6所以球缺的体积V=π故答案为：715．(1)（i）y=−4x+10；（ii）fx的单调递增区间为e4,+(2)m∈【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令f′x>0（2）（方法一）根据题意得lnx+m+11x>1，再令gx=ln【详解】（1）函数fx=xln若m=−5，则fx（i）f1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−6=−4x−1（ii）令f′x>0，得x>e4令f′x<0，得0<x<e4（2）（方法一）若fx>x恒成立，则lnx+m+设gx=ln当x>11时，g′x>0,g当0<x<11时，g′x<0,g所以gx则−m+1<1+ln11，即m>−ln11，所以（方法二）设hx则h′令h′x<0令h′x>0则h(x)得m∈−16．(1)a(2)2−【分析】（1）设等比数列an的公比为q(q>0)（2）结合（1）得bn【详解】（1）设等比数列an的公比为q(q>0)因为2a1,因为a1=2，所以2×2+3×2q=2×2q解得q=2或q=−1因为q>0，所以q=2，故an的通项公式为a（2）由（1）知bn记数列n2n的前n项和为Pn因为12所以两式相减得12所以Pn因为数列{2n−1}的前n项和为(1+2n−1)n2所以Sn17．(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)32【分析】（1）根据题意，证得EF//BC，得到EF//B（2）延长B1D交BC延长线于点G，连接FG交AC于点H，证得FG⊂平面（3）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面B1DF和平面ABB1A【详解】（1）证明：因为CE=2EA,BF=2又因为BC//B1C因为EF⊂平面AB1C1，且B1C（2）解：如图所示，延长B1D交BC延长线于点G，连接FG交AC于点因为G∈B1D，且BD⊂平面B1DF又因为F∈平面B1DF，所以FG⊂平面B1DF，所以H为平面（3）解：以B为坐标原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x，y，如图所示，则B1(0,0,2),D(0,3,1),F(2,0,0)，可得设平面B1DF的法向量为m=(x,y,z)令y=1，可得x=3,z=3，所以m=(3,1,3)又由y轴垂直平面ABB1A1，可得平面设平面B1DF与平面ABB1A可得sinθ=1−cos故平面B1DF与平面ABB18．(1)p=2(2)4x−3y−4=0(3)2【分析】（1）由抛物线Γ:y2=2pxp>0（2）由（1）得抛物线的方程，设直线l的方程为x=ty+1，并与抛物线方程联立，求出点A,B的坐标，即可得参数t，从而得到直线l的方程；（3）设直线l的方程为x=ty+1，Ax1,y1，Bx2,y2，联立抛物线方程，得A,B坐标关系，进而用点A坐标表示k1；用A坐标表示出点E【详解】（1）因为F1,0是Γ的焦点，所以p2=1（2）由（1）知，抛物线Γ的方程为y2由题意可设l的方程为x=ty+1，Ax1,由y2=4x,x=ty+1,则y1+y因为AF=4BF，所以由y1>0，解得y1则t=34,l（3）由题意可设l的方程为x=ty+1，Ax1,由y2=4x,x=ty+1,则y1+y由E为x轴上异于F的点，且AE=AF，得则直线AC的方程为y=y即x=1−x1由y2=4x,x=则y1y3则k2由y1y2又k1所以k1当且仅当y1=2时，等号成立，故k19．(1)1(2)（i）EX【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解；（2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式.【详解】（1）甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为2×1（2）（i）设Xi表示在甲已获得第i−1种类型的卡片后，获得第ii∈N甲第一次购买玩具