几何图形初步-2024年七年级数学寒假提升（原卷版）

专题04几何图形初步

11]®®®

常常见的立体图形

见

的从正面看

立

从不同的方向看立体图形从左面看

体

图从上面看

形

立体图形的平面展示图

表示方法

特点

基本事实:两点确定一条直线

表示方法

射线-----------

几特点

何

表示方法

图

形

匕徽方法

的

线段基本事实:两点之间线段最短

初

步两点之间的距离

线段的中点

线段的和、差与画法

定义

表示方法

比较大小的方法

角互余

两角的特殊关系

互补

角的度量

角平分线

知识点1:认识平面图形、立体图形和图形分类

（1）几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一.物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容.像

长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、，点n三角形、梯形……它们都是几何图形.

（2）立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、1同柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一

平面内，它们是立体图形.

®SB（D

（3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各

部分都在同一平面内，它们是平面图形.

□□OZ7

n(

知识点2：立体图形的展开图

立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.

这样的平面图形称为立体图形的展开图.

如正方体的展开图有如下几种情况:

中间四个面，上下各一面：

祖||r~|j]।n,।।n।口।口11

中间三个面，一二隔河见：

中间两个面，楼梯天天见：中间没有面，两两连成线:

^^=1LLEF1

知识点3：点、线、面、体

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形.

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.

面：包围着体的是面，分为平面和曲面.

体：儿何体也简称体.

点动成线，线动成面，面动成体.

知识点4：直线、射线与线段的概念

端点

类型图例表示方法书写规范

个数

直线直线48或直线

10个两个大写字母无顺序

或直线/

AB

两个大写字母中的第一个表

一/一

射线射线CM或射线/1个

AB示端点

________1_______.线段AB或线段

线段2个两个大写字母无顺序

A8%或线段/

知识点5：基本事实

1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线.

2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短.

知识点6：基本概念

1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离.

2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点.

知识点7：双中点模型

C为线段力4上任意一点，M、N分别为AC.BC中点，则MN=-AB.

2

知识点8：角的概念

1.角的定义：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两

条边.如图1所示，角的顶点是点0,边是射线0A、0B.

B

/才

°B0始边_A

图1图2

(2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2

所示，射线0A绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角，起始位置0A是角的始边，终止

位置QB是角的终边.

注意：

(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.

(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时，所形

成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和0A重合时，所形成的角叫做周角.

~~------------------

BOALXA{B)

平角周角

图1图2

2.角的表示法：角的几何符号用，2”表示，角的表示法通常有以下四种：

①用数字表示单独的角，如/I,N2,N3等；

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如Na,ZP，Zy,NO等；

③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如NB,NC等；

④用三个大写英文字母表示任一个角，如/BAD,ZBAE,NCAE等.

注意：川三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧.

3.角的画法

(1)用三角板可以画出30。、45。、60。、90。等特殊角.

(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.

(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.

知识点9:角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是I。的角，I。的《为1分，记作

60

“「"，1'的为1秒，记作“1"”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角=360。，I平角=180。，1°=60\「=60".

知识点10:钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30。的知，分针1分钟转6。，时针每小时转30。，时

针I分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

知识点11:方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60。；射线OB的

方向是南偏西3（）。.这里的“北偏东60。”和“南偏西3（）。”表示方向的角，就叫做方位角.

（1）正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度来表示.

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60。”一般不说成“东偏北30。”.

（3）在同一问题中观测点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观测点的正

东、正西、正南、正北的方向.

（4）图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点.

知识点12：角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是NAOB

的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.

知识点13：角的运算

如图所示，NAOB是/I与/2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2：N1是NAOB与N2的差，记作：Zl=

（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）：②重合（一边与刻度尺上的零

度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根据角的和、差关系，还可以画出15°,75。，105。，

120°,135°,150°,165°的角.

知识点14：余角和补角

（1）余角：

如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余

角./A+NC=90。，NA=90。-/。NC的余角=90"NC,即NA的余角=90。-/人.

（2）补角:

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角.

ZA+ZC=I80°,ZA=180°-ZC./C的补角=180°-/C,即/A的补角=180°-/A.

（3）补角的性质：

同角的补角相等.比如：ZA+ZB=180°,ZA+ZC=180°,则NC=NB.

等角的补角相等.比如:ZA+ZB=180°,ZD+ZC=180°,ZA=ZD,则NC=NB.

（4）余角的性质：

同角的余角相等.比如：ZA+ZB=90°,ZA+ZC=90°,则NC=NB.

等角的余角相等.比如：ZA+ZB=90°,ZD+ZC=90°,ZA=ZD,则NC=NB.

囚时正应

»考点剖析

考点一：直线、射线、线段、角的相关概念

【典例1】下列说法错误的是（）

A,直线48和直线84表示同一条直线B.过一点能作无数条直线

C.射线力4和射线84表示不同射线D.射线比直线短

【变式1-1】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.线段的长度可以测量D.两点之间线段最短

【变式1-2］下列说法正确的是（）

OA

A.点。在线段片“上B.点、B是直线AB的一个端点

C.射线06和射线力6是同一条射线D.图中共有3条线段

【变式1-3］图中直线、射线、线段能相交的是（）

D.

【变式1-4］已知4、B、。三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（）

A.一定有三条B.只能有一条

C.可能有三条，也可能只有一条D.以上结论都不对

【典例2】下列说法中，止确的是（）

A.一个周角就是一条射线B.平角是一条直线

C.角的两边越长，角就越大D.也可以表示为N8O4

【变式2-1】如图所示，图中共有多少个小于平角的角（）

A.1（）个B.9个C.8个D.4个

【变式2-2】下列说法中，正确的是（）

A.两条射线组成的图形叫做角

B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

C.角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形

D.角的边越长，角越大

【变式2-3】图中角的个数是（）

思

A.3个B.4个C5个D.6个

【变式2-4】如图，下列说法正确的是（）

*一

R

A.Z1=Z2B图中只有两个角，即NI和N2

C.N2与表示同一个侑E）./I与/8OC表示同一个角

考点二：根据线段间的关系判断结论

【典例3】杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制

不同的火车票（）

A.20种B.15种C：.10种D.5种

【变式3-1】如图，在线段力。上有两点8,C,则图中共有条线段，若在车站。之间的线路中再

设两个站点8、C,则应该共印刷种车票.

I1II

ABCD

A.3,3B.3,6C.6,6D.6,12

【变式3-2】将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地

方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）

A.37B.36C.35D.34

【变式3-3】数轴上的点所表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随

意画出一条长为18厘米的线段48,则线段48盖住的整点数是（）

A.17个或18个B.17个或19个C.18个或19个D.18个或20个

【变式3-4】下列说法中，正确的是（）

A.在所有连接两点的线中，直线最短

B.线段44与线段4月是不同的两条线段

C.如果点P是线段川？的中点，那么力尸=心

D.如果”=BP,那么点〃是线段48的中点

考点三：根据线段间的关系求线段的长度

【典例4】如图,线段48=20,C是线段18的中点,。是线段8C的中点.

•------------------------------------•----------------•---------------•

ACDB

（1）求线段力。的长；

（2）在线段4C上有一点£CE=（BC,求4E的长.

【变式4-1】如图，线段48=20,50=15,点知是/C的中点.

11111

AMC.VB

（1）求线段4W的长度；

⑵在C8上取一点M使得CN:NB=2：3.求MN的长.

【变式4-2】如图，点石是线段的中点，C是EB上一点、,且EC:C8=1:4,JC=12cm.

⑴求,4"的长：

（2）若尸为C8的中点，求E户长.

考点四：钟表中的角度计算

【典例5】在上午8:30时，钟表上的时针与分针的夹角是（）

A.45°B.60C.75°D.90

【变式5-1］从8:13分到8:37分，时钟的分针转过的角度是（）

A.1480B.144°C.136°D.108°

【变式5-2】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【变式5-3】钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了度.

考点五：根据角与角之间的关系判断结论

【典例6】如图，两个直角/4OC和/有公共顶点O,下列结论：

①/AOB=NCOD；

②N4O8+NCOQ=90。；

③N/00+N80C=180。；

④若06平分/4OC,则OC平分/8O。；

⑤40。的平分线与280。的平分线是同一条射线.其中正确的有（）

【变式6-1】已知/1=30。18',Z/?=30.18o,ZZ=30.3°,则相等的两个先是（）

A./［=//B.Na=NyC.乙B=乙丫D.无法确定

【变式6-2］在下列说法中，正确的是（）

A.比较角的大小就是比较角的度数大小

B.从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

C.若N4OC=-AOB,则OC是N4O8的平分线

2

D.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大

【变式6-3】如图，。。为内一条射线，下列条件中能确定OC平分/4O8的是（）

A.£BOC=-^AOCB.AAOC+4cOB=4A0B

2

C.4AOB=24AOCD.Z.COB=Z.AO3-Z.AOC

考点六：根据角与角之间的关系求角度

【典例7］如图，已知是/力。。的角平分线，。力是N8OC的角平分线.

（1）若乙4。£=70。，ZCOD=20°,求的度数;

(2)若NDOE=45。,且乙40。+N80C=180。，求的度数.

【变式7-1］已知：如图乙403=150。，在NNO8内部有/CO。=20。(ZAOC<Z1AOD).

(1)如图1,求/力OO+N8OC的度数；

(2)如图2,OM平分/8OC,ON平分400,求/M0N的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，当NCOD从乙40c=10。的位置开始,绕着点。以每秒2。的速度顺时针旋

转，秒时，使/8。河=^//°'，求'的值.

【变式7-2］如图，已知直线AB和CD相交于点O,在NCOB的内部作射线OE.

(1)若N/OC=36。，NCOE=90。,求/灰切的度数；

(2)若NCOE：ZEOB：ZBOD=4：3：2,求N4OE的度数.

【变式7-3】加图，O在直线上，射线。。平分),4OC,射线OK在1AOC内.

(1)若NOOE=90。，求证：射线久是N80C的平分线;

⑵若NC0£=§N£08,NQ0£=4H。，求NE04的度数.

考点七：线段中的分类讨论思想问题

【典例8】点C是线段44的中点，点。是线段44上一点，C/)=；BC,若线段4c=9,则

AD=.

【变式8-1】点力、B、C在直线/上，线段48=4,线段/C=6,则线段4C的长是()

A.10B.2C.2或5D.1()或2

【变式8・2】已知线段48=18cm,点。是线段4?的中点，直线上有一点C,且CO=28。，则线段CO=

考点八：角度中的分类讨论思想问题

【典例9】将直角三角板0MN的直角顶点。放在直线14上，射线OC平分/力ON.

(1)如图，若NBON=60。,求/力0.”的度数;

(2)若ZAOM=2ZCOM,求/AON的度数;

(3)洛直角三角板OA/N绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当/4ON=120。时，求NCOM的度

数.

【变式9-1】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧，已知乙408=100。，射线

OE,。尸分别是N/0C和NCCM的角平分线.

图2图3

(1)如图1,若射线0c在的内部，且乙4OC=30。，求NEO产的度数;

(2)如图2,若射线OC在“力。8的内部绕点O旋转，则/月。尸的度数;

(3)若射线OC在ZAOB的外部绕点。旋转(旋转中ZAOC,NBOC均指小于180。的角)，其余条件不变,

请借助图3探究ZEOF的大小.

»过关检测

一、选择题

1.如图，是一个圆柱体模型，若从这个圆柱的左边向右看，则得到的平面图形是（）

BI

A-口"I।，.国

2.如果一个角的补角是i2（r,那么这个角的余角是（）

A.30°B.40°C,50°D.60

3.如图，将一张长方形纸片48CD沿防折叠，点4、8分别落在点处，若/1=55°,则乙4£。的度数

4.如图所示，O是直线AB上的一点，ZAOC=ZFOE=90°,贝!图中NEOC与NBOF的关系是（

A.相等B.互余C.互补D.互为邻补角

5.下列图形中，能用NABC,ZB,/I表示同一个角的是（）

6.如图，已知OC是“408的平分线，则下列结论：①NAOB=NBOC；②/力0C=/40C；③

ZAOC=^AOB；④N/O8=2/8OC.其中正确的有（）

0

A.②③®B.®®®C.①②③D.①③④

7.如图，通常我们描述点B和点C的方向，分别为（）

A.南偏东25。,北偏西60。