相似三角形的判定 同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.1相似三角形的判定

第1课时相似三角形的判定（一）

易错点睛

如图,AB//CD//EF.则下列结论正确的是（）

口BCDFCDBC“CEAD

A丝=生B.­=一=D.­=一

'DFCECEAD'EFBEEFAF

【点睛】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段才能成比例，弄错对应线段就容易出错.

A基础题夯实

知识点1相似三角形

1.如图,△ABCsZ\AED,NAED=40)NA=60。,则NC的度数为

第4题图第5题图

2.已知△ABCs/\ABC,AB=8,AB=6,则皆；的值为

DC

知识点2平行线分线段成比例

3.（2025乐山中考）如图4IIl2//h,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为.

4.如图,AB〃CD〃EF,若各总则当的值为__________________.

CF3BE

知识点3平行于三角形一边的直线截三角形，对应线段成比例

5.（2025青海中考）如图，在△ABC中.DE〃BC,且AD=3,DB=2厕骨勺值是______________

/1C

6.如图,AB〃CD,BO=6,DO=3,CO=2,则AC的长是__________________.

知识点4用平行线判定三角形相似

7.如图，在口ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,E为OC的中点,EF〃AB交BC于点F.若AB=4厕EF的

长为_________

8.如图.在△ABC中,DE〃BC,AE=5,AD=3,CE=AB.求土的值.

B中档题运用

9.（2025长春中考改编）将直角二角形纸片ABC（NC=90。）按如图方式折叠两次再展开，则箓的值是.

I。如图,AB//CD//ERAF与BE相交于点G、且OG=2,Ok=8,黑泗AG的长为——

11.在」ABCD中,按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA,BC于点M,N；

②分别以点M,N为圆心，以大于八的长为半径作弧，两弧在/ABC内交于点O；③作射线B0,交AD于点E,

交CD延长线于点F.若CD=3.DE=2,则需=.

EF—

12.（2025湖」讶英拟）如图,E是^ABCD的边AD上一点，连接BE,AC相交于点F,过点F作AD的平行线，交A

B于点G.若BF=2FE.FG=2,求BC的长.

C综合题探究

13如图，在△ABC中.AB=ACAD平分NBAC点E在AD上、射线BE交AC于点F.若芸=；/8=10.求AF

ED2

的长.

A

/KX

B

D

第2课时相似三角形的判定（二）

易错点睛

在AABC与ADEF中、AB=4,BC=5,CA=6,DE=10,贝！］当EF=,FD=

时,△FDEs/kABC.

【点睛】解决此题的关键是弄清楚对应边，否则容易出错.

A基础题夯实

知识点1利用三边对应成比例判定两个三角形相似

1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和10cm,另一个三角形

的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

2.已知△ABC的三边长分别为2,5,6.若要使^DEFsaABC,则么DEF的三边长可以是（）

A.3,6,7B.6J5J8C.3,8,9D.8J0J2

3.有甲，乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为V2J,石，乙三角形木框的三边长分别为a2/I0,

则甲，乙两个三角形（）

A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断

4.如图.0是4ABC内部一点,D,E,F分别是OAQB,OC的中点.求证:△DEFs^ABC.

5.如图,已知卷=器=奈试判断/BAD和NCAE的大小关系，并说明理由.

ADDEAE

知识点2网格中相似三角形的判定

6.（2025莆田）如图,在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,匚/伤C和的顶点都在网格线的交点

上.求证:△ABC^ADEF.

D

B中档题运用

7.（2025大连攻口图，在正方形ABCD中,E是AD的中点点F在CD上，且CF=3FD.下列结论:①AABES/XE

BF;②△ABEsaDEF;③△EBFs2^DEF;④△EBFsaCBF.其中结论正确的是_____.(填序号)

8.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点EMC8和匚。（"的顶点都在格点

上，ED的延长线交AB于点F.

⑴求证：QACBZDCE;

(2)求证：EF\AB.

9.如图，在四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=45求证：ABJDC.

C综合题探究

10.（2025襄阳）如图是由25个边长为1的小正方形组成的5x5的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角

形称为格点三角形.如图中的《灰、为格点三角形.

（DD为小正方形的顶点，在所给的网格中画出格点.[QEE使口。暇叫48。,且相似比为&（画出一个即可）；

（2）直接写出所给的网格中与△ABC相似且相似比最大的格点三角形的个数，并画出其中一个.

第3课时相似三角形的判定（三）

易错点睛

如图.D为XABC的边ABh—«§.AB=12.AC=15,AD=8.?FAC边卜取一点E,使A,D,E三点绢成的三角形

与4ABC相似，则AE的长是___________

【点睛】易漏解、注意分类：（1）AD与AB对应:（2）AD与AC对应.

A基础题夯实

知识点利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似

1.（2025福建模拟）如图在△EOF中,OE=4,OF=6,下列阴影部分的三角形与△EOF是否相似，说法正确的是（

A.只有甲相似B.只有乙相似

C.甲，乙都不相似D.甲，乙都相似

2.如图点D,E分别在AB,AC上若AB=2AE,AC=2AD,DE=5厕BC的长为.

3.（2025杭州）如图，已知0Aoe=12,OD=3,当OB=时,△AOB^ADOC.

4.如图,D是^ABC的边AB上一点,AD=3,BD=2,当AC=时,△ACDsaABC.

5.如图,AD_LBC于点D,BD=2CD,AE=ED,AB=2厕EC的长为

6.（2025湖北中考）如图在△ABC中,NACB=90。,将△ABC绕点C旋转得到^DEC点A的对应点D落在边A

B上，连接BE.求证:△BCEs/\ACD.

7.（2025广州模拟）如图，在△ABC中点D在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2.BD=6,求证:△ACDs^ABC.

B中档题运用

8.如图，在△ABC中,CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求证:△ABD^AACE.

9.如图，在四边形ABCD中,NACB=NADB=900,AC,BD交于点E,且NAEB=I2()。.

⑴求证:△DCE<^AABE;

⑵求方的值.

10.（2025黄冈）如图,AB_LBD,CD_LBD,AB=6,CD=4,BD=I4.点P在BD上移动，当以P.C,D为顶点的三角形与

△ABP相似时，求PB的长.

C综合题探究

11.(2025武昌区)如图，点E在仆ABCFtg,ZABC=ZEFC=90°,BC=2BA,FC=2FE.

⑴求证:NACE=NBCF;

(2)若NCAE+NCBE=90。,且BE=6,AE=36，求EF的长.

A

第4课时相似三角形的判定（四）

易错点睛

如图，在△ABC中,NA=90、NC=30o,D为AB边上一点过点D的直线与边AC交于点E.若△ADE与△ABC

相似则NADE的度数为__________

D

【点睛】根据△ADE与^ABC相似的对应情况，分类讨论:NADE与NB对应，或NADE与/C对应.

A基础题夯实

知识点1利用两角相等判定两个三角形相似

1.（2025黄冈）在&ABC与&A】Q+,ZA=50°,ZB=60°,ZA1=50。.当。=_时,△ABC^AAXB】Ci.

2.如图点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且NAED=NABC,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE的长为

3.（2025宜昌）如图》是4ABC的BCAC=2CF=2,ZCAB=ZCFA.5!lJBF=

4.（2025河北中考）如图，在九边形ABCDE中,AE/7BC,延长BA,BC分别交直线DE十点M,N.若添加下列一

个条件后，仍无法判定△MAE-ADCN,则这个条件是（）

A.ZB+Z4=180°B.CD〃ABC.Z1=Z4D.Z2=Z3

5.（2025盐城）如图在△PAB中，点C,D在AB上,PC=PD,NA=/BPD.求证:△APCs/\PBD.

知识点2两直角三角形相似的判定

6.如图在RtAABC中.NBAC=9（）o,AD是斜边BC上的高.

⑴求证：△ABD^ACBA;

（2）若AB=6,BC=10.求BD的长.

B中档题运用

7.如图.△ABC内接于G>O,AH_LBC于点H.若AC=10,AH=8QO的半径为7,则AB的长为,

8.已知NACB=90°J^aABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A(0.2),点C(I,O),点B的横坐标为4,求点

B的纵坐标.

9.如图.四边形ABCD为菱形.点E在AC的延长线上，且NACD二NABE.

(1)求证：4ABC^AAEB;

⑵当AB=6,AC=4时，求AE的长.

C综合题探究

10(2025连云港中考改编)如图，在△ABC中,NACB=9(T,AD平分NCAB.BEJ_AD,E为垂足

⑴若NCAB=45。.则S的值为

⑵若/CAB=30。,求［的值

DC.

AB

27.2.1相似三角形的判定

第I课时相似三角形的判定（一）

易错点睛

A

基础题夯实

1.80°2.j3.64.|

5.为.67.1

8解:设CE=AB=x,

•・・DE〃BC,

竺=竺

-CE~DB-

匚°=5,解得x=7.5,

xL3

VDE/7BC,

/.△ADE^AABC,

DE_AE_5_2

5C-^C-5+7.5-5*

中档题运用

9.-310.y14ll.j3

12解:四边形ABCD是平行四边形.・•・AD//BC,

"=竺=i

~FC~~BF~2i

匚元一5，

VAD/7FG,

AFG//BC,

•••△AFGS/XACB,

l—FG=—AF=—1

BCAC3'

ABC=6.

综合题探究

13解:如图过点D作DH〃BF,交AC于点H,

VAB=AC,AD平分NBAC,

:.BD=DC.

•・・DH〃BF,

lC"CD.

FHBD'

/.FH=CH,

VBF/7DH,

ED~FH'

lAE1

ED2'

lAF1

FH2，

AFH=2AF,

.\CH=FH=2AF,

VAB=10=AF+FH+CH=5AF,

・・・AF=2.

第2课时相似三角形的判定（二）易错点睛

128

愚出题夯实

1.D2.B3.A

4.证明:〈DEF分别是OAQBQC的中点，

ADE,DF,EF分别为△ABO,AACO,ABCO的中位线,

BPDE:AB=DF：AC=EF：BC=1：2,

•••△DEFs^ABC.

5.解:/BAD;NCAE.理由如下:

AB_BC_AC

而一防一耘，

.,.△BAC^ADAE.

/.ZBAC=ZDAE,

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

AZBAD=ZCAE.

6•证明：琮=忘=近，

=V2,

BC2

竺二号=应

*杼7，

DE_EF_DF_内

A/y

ABBCAC'

/.△ABC^ADEF.

中档题运用

1.®®®

&证明:⑴□那小黑渭,徐瑞丹,

AC_BC_AB

~DC~~EC~"DE'

/.△ACB^ADCE；

(2)VAACB^>ADCE,

AZA=ZEDC.

又•・•NE+/EDO90。，

/.ZE+ZA=90°,

AZEFA=90°,gPEF±AB.

9.证明:*/AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5,

丝=,=2"=2

8C一6-3'8。-3'

8D=—3=一2

CD4.53'

AB_AD_BD

1JD~'BC~CD,

.,.△ADB^ABCD,

AZABD=ZBDC.

AAB/7CD.

综合题探究

10解:⑴如图,△DEF即为所求;⑵8个，如图,△A】BiCi即为所求.

第3课时相似三角形的判定（三）

易错点睛

10或y

基础题夯实

1.B2.103.44.VT55.1

6.证明:•・•将△ABC绕点C旋转得到仆DEC点A的对应点D落在边AB上,

AAC=CD,CB=CE,

ZACD=ZBCE.

AC_CD

CB~CEf

AABCE^AACD.

7.证明:丁点D在AB边上.AC=4,

AD=2,BD=6,

・・・AB二AD+BD=2+6=8,

l—AC=—AD=一1

ABAC2'

VZA=ZA,

AAACD^AABC.

中档题运用

8.证明:TCD=CE.

/.ZCDE=ZCED.

AZADB=ZAEC

V2AD=3AE,2BD=3CD,

包=竺=吧=3

~AE~~CD~~CE~V

AAABD^AACE.

9>:(1)VZAEB=12O°,

ZADB=ZACB=90°,

.\ZDAE=ZCBE=30°,

DE_CE_1

~AE~2y

又•••/DEC二NAEB,

/.△DCE^AABE;

⑵•••△DCES^ABE,

DC_DE_1

AB~AE~2"

1()解:设DP=X,则BP=BD-X=14-X.

VAB±BD,CD±BD,

AZB=ZD=90°,

当需牌力ABP-ACDP,

加°=士一

解得T

Oft

C5P=14-Y=8.4;

当梦髀ABPs^PDC,即:竽

整理得X2-14X+24=0,

解得.项=2司=12,

・•・BP=14-2=12或BP=14-12=2,

APB的长为8.4或2或12.

综合题探究

11^:(1)・・・BC=2BA,FC=2FE,口*篇

又：ZABC=ZEFC=90°,

AAABC^AEFC,

AZACB=ZECF,

・・・/ACE=NBCF;

⑵连接BF.

由⑴知4ABC^AEFC,

lCF_CB

CE~CAf

XVZACE=ZBCF,

/.△BCF^AACE,

匚口8斤口%及爷=*,

VFC=2FE,ZEFC=90°,

一CF_2

一无一不

竺=2_

耘一忑，

"产=寻375=6,

VZCAE+ZCBE=90°,

AZCBF+ZCB