2026年中考数学一轮复习学案：特殊的平行四边形

中考数学一轮复习学案18特殊的平行四边形

注意：梯形有的教材版本可以不用掌握。

知识清单:

■考点一矩形的判定及性质A

1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2）矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；

（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩

形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。

【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

3）矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对

角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。

4）矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分

别相等，找出各相等的边或角：（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）：（3）

折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形（不找以折

痕为边长的直角三角形），利川未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

■考点二菱形的判定及性质A

1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2）菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角

线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形

的对称轴是菱形对角线所在的直战，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

3）菱形的判定：（I）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四

条边相等的四边形是菱形。

菱形的判定思路：判定•个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对

角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。

4）菱形的面积：S二M-对角线乘枳的一半（其中。为边长，〃为高）；菱形的周长：周长。=4如

■考点三正方形的判定及性质A

D正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

2）正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；

（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角：

（5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45。；

（6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

3）正方形的判定：（1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；（2）矩形+一组邻边相等；

（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.

正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相

垂直：或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，

再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。

4）正方形的面积：S/方彩=〃2=对■角线乘积的一半；正方形的周长：C正方感=4a。

5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：

■考点四梯形A

1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

2）梯形的分类：一般梯形、等腰梯形、直角梯形。

3）等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；（2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；（3）等

腰梯形的两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

4）等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形：2）同一底边卜的两个角相等的梯形是等腰梯形：

3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形的判定思路：判定一个四边形是等腰梯形，必须先判定四边形是梯形，再证明同一底边上的两个角相等

或两腰相等或两条对角线相等。

5）梯形的面积公式：S=lx（上底+下底）x高。

6）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

（I）作高：使两腰在两个直角三角形中；（2）平移对角线：使两条对角线在同一个三角形中；

（3）延长两腰：构造具有公共凭的两个三角形.（4）等积变形：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长

交下底的延长线于一点，构成三角形.并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等；

（5）平移腰：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形；

（6）过上底中点平移两腰：构造两个平行四边形和一个三角形。

■易错提示A

1.定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是史角的四边形是矩形。

2.定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形。

3.在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的「

一、单选题

1.如图，在矩形ABCO中，对角线4C、BD交于点O,若AB=3,/-AOB=60°,则矩形/8C0的面积是

()

A.9V3B.3V3C.6aD.2五

2.下列图形中，对称轴最多的是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

3.如图，矩形4BCD中，对角线80的垂直平分线MN分别交4。，BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则

4.如图，8。是菱形ABCO的对曲线，点E在80上，过点E作II8C交CO边于点F,如果乙48c=50。,

那么乙产的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四功形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6.如图，已知正方形ABCO的边长为3,点P是对角线80上的一点，14。于点尸，「£1148于点£\连

接P0C,当PE：PF：=1：2时，则PC=()

A.V3B.2C.圾D.f

7.如图，菱形ZlBCD的对角线力C与BO相交于点。，且4C：=2,BD=4,则该菱形的周长是（）

4________

X

A.45B.8C.4V5D.16

8.如图，在AABC中，乙4cB=90。，分别以AB,AC为边作正方形ABPQ,ACFH,BP交FH

于点。.若BC=BF=2,则0P的长为()

P

AC

A.V5B.2V5C.V3D.2V3

9.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，且AE=AB,连结BE,DE,则NCDE的度数

为()。

aAD

A.20°B,22.5°C.25°D.30°

10.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC,AB于点D,F,BE_LDF交DF的延长线于点E,若

ZA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()。

c

4」

E

A.2>/3B.2\/2c.3V3D.3V2

11.如图，4MON=90。，矩形A8CD在乙MON的内部，顶点4,B分别在射线。M,ON上，AB=4,

BC=2,则点。到点。的最大距离是（）

"KID

OBN

A.272-2B.2y/2+2C.2而一2D.y/2+2

12.如图，正方形48C0,点尸在边48上，且力F:FB==1:2,CE1DF,垂足为M,且交4。于点E,AC与

DF交于点N,延长CB至G,使BG=28C，连接GM,有如下结论：®DE=AFt@AN=^AB>

③乙4DF=乙GMF;④SAANF：S四边形CNFB=1⑻上述结论中，正确的个数是（）

G

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

13.菱形。48c在平面直角坐标系中的位置如图所示，乙4OC=45°,OC=e，则点8的坐标

为.

CB

OAx

14.如图，已知E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的

周长是

15.已知四边形ABCD是矩形，AB=5,点E是边BC的中点，连接AE和BD相交于点F,若BF=BE,

则矩形ABCD的面积为.

16.如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处,

折痕为FH,则线段AF的长是cm.

17.如图，在菱形48。。中，乙ABC=60。,4B=8,点E为AD边上一点,B.AE=2,在BC边上存在一

点F,C0边上存在一点G,线段EF平分菱形/BCO的面积，则AEFG周长的最小值为.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形48CD的顶点48分别在％轴，y轴的正半轴上，顶点。在反比

例函数y=[(k>0,%>0)的图象上.若484。=30。,人8=240,08=2百，则k的值为.

19.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连结CE,

EF,AFo若DE=DC,EF=EC,则NBAF的度数为。

20.如图，直线h,313分别过正方形ABCD的三个顶点A,D,C,且相互平行。若h,b的距离为

2,L,b的距离为4,则正方形的对角线长为。

三、综合题

21.如图，在△48C中，D是8C的中点，E是40的中点，过点A作AF||8C交CE的延长线十点F.

(2)连接8F,若48=AC,求证：四边形力。8尸是矩形.

22.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上，满足NEAO=

ZDCO.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.

23.如图，在△ABC中，。是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF||BC,AF与CE的

延长线相交于点尸，连结BF.

(1)求证：四边形AFBD是平行四边形.

(2)将下列命题填写完整，并使命题成立(图中不再添加其他的点和线).

①当△48C满足条件AB=AC时，四边形AFBD是形；

②当△48C满足条件时，四边

形AFBD是正方形.

24.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G分别为AO,DO,BC

的中点，连结BE,EF,FGo

图1

(1)求证：四边形BEFG为平行四边形；

(2)如图1,若BD=2AB,求证：BE1AO；

(3)如图2,当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=gAB,AB=8,求四边形BEFG的面积。

25.如图I为正方形48C。和正方形AEFG,连接DG,BE.

(I)正方形4EFG绕点A旋转，如图2,线段0G与BE之间有怎样的关系？请说明理由；

(2)如图3,若四边形48CD与四边形4EFG都为矩形，且4。=2A=2AE,猜想DG与BE的关

系，并说明理由；

(3)在(2)问的情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GEII48,且A8=而，AE=1,求0G的

长.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，・・・AO=BO,

9：LAOB=60°,

是等边三角形，

=3,

AAO=BO=3,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAC=2AO=6,BD=2OB=6,

：.LABC=90°,OA=OB=^AC>

VZABC=90°,

/.AB2+BC2=AC2,

：・BC=>JAC2-AB2=V36-9=3V3，

，矩形的面积•8C=3x36=9x/3.

故选：A.

【分析】先说明AAOB是等边三角形，再根据矩形的性质可得AC的长度，根据勾股定理可得BC的长

度，最后利用矩形的面积公式即可得出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可得对称轴最多的是正方形.

故答案为：D.

【分析】平行四边形是中心对称图形，没有对称轴，矩形、菱形只有2条对称轴，正方形有4条对称

轴，故对称轴最多的是正方形.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：连结BM,

VBM垂百平分BD,

・・・BM=MD,BODO,ZBON=ZDOM=90°.

•・•四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,ZA=90°.

AZDMO=ZBNO,

.*.△BNO^ADMO(AAS).

AMD=BN=2.

.*.BM=DM=2,AD=AM+MD=3.

又AM=1,

故答案为：A.

【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD,再通过证明△BNOgZXDMO,得出MD的长，然后利

用勾股定理求出AB,最后利用勾股定理求出BD.

4.【答案】A

【蟀析】【解答】解：•・•四边形是菱形，AABC=50°,

:.乙DBC=^/.ABC=25。，

'：EFIIBC,

：.LDEF=Z.DBC=25°.

故选：A.

【分析】根据菱形性质可得408c=2乙48。=25。，再根据直线平行性质即可求出答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；

B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用正确的命题是真命题；利用平行四边形的判定定理，可对A作出判断；利用矩形的判定定

理可对B作出判断：利用菱形的判定定理可对C作出判断：利用正方形的判定号理，可对D作出判断.

6.【答案】C

【解析】【解答］解:连接AP

丁四边形ABCD是正方形

AAB=AD=3,ZADB=45°

•••PF1AD,PE1AB,^3AD=90°

・•・四边形AEPF是矩形

•••PE=AF,乙PFD=90°

PFD是等腰直角三角形

APF=DF

VPE：PF=1：2

AAF：DF=1：2

AAF=1,DF=2=PF

AAP=JAF?+PF2=V1+4=V5

VAB=BC,/.ABD=/.CBD=45%BP=BP

：,&ABP^ACBP(SAS)

A.4P=PC=V5

故答案为：C

【分析】连接AP,根据正方形性质，矩形的判定定理可得四边形AEPF是矩形，则七乙PFD=

90。，可得4PFD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得PF=DF,可求出AF,DF的

长，再根据勾股定理，全等三角形的判定定理可得△ABPg^CBP,即可求出答案.

7.【答案】C

8.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•四边形ABPQ,ACFH为正方形，

/.PB=AB,AC=CF=CB+BF=4,

ZF=ZC=90°,ZPBA=90°,

AZFOB+ZFBO=90°,ZABC+ZFBO=90°,

AZFOB=ZABC,

FOB^ACBA,

.AC_BC

••诉=于'

畔=蔡

AOF=1,

在RsFBO中，由勾股定理得，

OB='OF?+BF2=Vl2+22=病，

在RSABC中，由勾股定理得，

AB=yjBC2+AC2=V22+42=2述，

：・0P=PB-0B=衣,

故答案为：A.

【分析】根据正方形的性质得到△FOBsaCBA,根据相似三角形的性质得到OF,利用勾股定理分别求

出OB,PB进而可求.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形，

AB=AD,AADC=90°,H4c=45°,

vAE=AB,

AD=AE,

•••/-ADE=Z-AED=67.5°,

•••"OE=90。-67.5。=22.5。.

故答案为：B.

【分析】根据正方形的性质得到NDAC=45。，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出NADE,

然后根据角的和差解答即可.

10.［答案】A

【解析】【解答】解：・・・AF二BF,即F为AB的中点，又DE垂直平分AC,即D为AC的中点，

ADF为三角形ABC的中位线，

1

DE||BC,DF=-^BC,

又NADF=90°,

AZC=ZADF=90°,

乂BEJ_DE,DE_LAC,

/.ZCDE=ZE=90°,

・•・四边形BCDE为矩形，

1

BC=2,:.DF=BC=1,

在RsADF中，ZA=30°,AF=BF=BC=2,

A.40=>JAF2-DF3=V3,

CD=AD=V3,

则矩形BCDE的面积，S=CD-BC=2通.

故答案为：A.

【分析】根据三角形的中位线定理得到DF〃CB,DF=BC，然后根据平行线得到/C=90。，根据垂直

得到/CDE=/E=90。，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30。角的直角三角形

的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可.

11.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，取力B的中点E,连接。E、DE.OD.

・・・0E=衬8=2.

在Rt△OAE中，DE=y/AD2+AE2=2VL

\'DE+OE>OD,

，当0、E、。三点共线时，0。可以取得最大值，最大值=0E+0E=2鱼+2.

故选：B.

【分析】取力8的中点E,连接。£\DE、OD,根据自.角二角形斜边上的中线性质可得OE,根据勾股定埋

可得DE,再根据边之间的关系即可求出答案.

12.【答案】C

【解析】【解答】

解：•••四边形4BG)是正方形，

：.AD=AB=CD=BC,乙CDE=乙DAF=90°,

VCE1DF

:亿DCE十乙CDF=Z.ADF+Z.CDF=90°,

：.LADF=乙DCE,

在AAD尸与△DCE中，

(^DAF=乙CDE=90°

AD=CD

^ADF=(DCE

：.LADF三△OCE(ASA),

：,DE=AF,故①止确；

V.45||CD,

,AF__AN_

••而一加

*：AF:FB=1:2,

：.AF:AB=AF\CD=1:3,

.AN_1

•,两=可

,AN_1

，，4C=4，

V.4C=垃AB,

.j4/V_1

:・AN=^AB，故②正确；

作G”_LCB于〃，设4F=DE=Q,B尸=2Q,则<B=CO=BC=3Q,EC=Wa，BG=>,

G

.:乙DCE=LDCM,Z.CDE=Z.CMD=90°,

/.△CMDs匕CDE,

.CM_CD

，，CD=CE，

・-9710

••CM=J。a，

■:乙DCE+乙DEC=(DCE+乙HCG=90°,

:•乙DEC=乙HCG,

又♦:乙CDE=ACHG=90。，

A△GHC〜△COE,

,CH_CG

一炉二蕾

.ru9710

1

:・CH=MH=打加，

乙

":GH1CM

：.GM=GC

：.LGMH=Z.GCH

•・•乙/MG+乙GMH=90°,乙DCE+乙GCM=90°,

C.LFMG=乙DCE

9：LADF=乙DCE,

：.LADF=^GMF,故③正确；

设A4NF的面积为m,

V.4F||CD,

:端=带=/4AFNfCDN,

「・AAON的面积为3m,AOCNH勺面积为9m,

的面积fABC的面积=12m,

=

:.sAANF：S四边胶NFB1:11,故④错误;

综上①②③正确，共3个，

故答案为：C

【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相以三角形的判定和性质结合题意对

①②③④逐一判断，进而即可求解。

13.【答案】（1+或,1）

14.【答案】8V5

【蚱析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O,

----------------71C

,/四边形ABCD为正方形,

•••BD1AC,OD=0B=0A=OC,

•/AE=CF=2,

・•・OA-AE=0C-CF,即OE=OF,

J四边形BEDF为平行四边形，且BD^EF,

.••四边形BEDF为菱形,

•••DE=DF=BE=BF,

・“"8。=8,。1"=窈=2,

由勾股定理得DE=y/OD2+OE2=V42+22=275,

••・四边形BEDF的周长=4DE=4x275=875.

故答案为：8-/5.

【分析】连接BD交AC于点0,根据正方形的性质得到四边形BEDF为菱形，然后根据勾股定理求出

DE长即可解答.

15.【答案】10V5

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形

，AD〃BC

/.△ADH^AEBF

・・・E为BC中点

.AD_DF_、

••丽-乔一/

设BE=BF=x,则AD=DF=2x

ABD=3x

在RsABD中，由勾股定理可得AB2+AD2=BD2

即52+(2x)2=(3x)2

解得：％=遥

・,・矩形ABCD的面积为AB•4。=5X26=IOA/5

故答案为：10遍

【分析】根据矩形性质可得AD〃BC,再根据相似三角形判定定理可得△ADFsaEBF,则桨=辟=

2,设BE=BF二x,则AD=DF=2x,BD=3x,根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积

即可求出答案.

16.【答案】?

【解析】【解答】解：・・•四边形ABCD是正方形，

AB=AD=6cm.

•・・E为AB的中点，

/.AE=EB=3cm.

由折叠性质得：EF=DF.

设EF=DF=xcm,贝UAF=(6-x)cm.

在RSAEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,

A32+(6-x)2=x2,

9

15丁_

4-

故答案为：I

【分析】根据正方形性质可得AB=AD=6cm,根据线段中点可得AE,再根据折叠性质可得EF=DF,设

EF=DF=xcm,则AF=(6-x)cm,根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

17.【答案】4V3+2V21

18.【答案】18+3V3

19.【答案】22.5°

【解析】【解答】解：如图，连接AE,

VBD为正方形ABCD的对角线，

AZBDC=45°,

VDE=DC=AD,

・•・ZDEC=ZDCE=180°-45°=67.5。，

2

VZDCB=90°,

/.ZBCE=90°-ZDCE=90°-67.5°=22.5°,

VEF=EC,

.•.ZFEC=180o-ZEFC-ZECF=180°-22.5o-22.5°=135°,

VZBEC=1800-ZDEC=180°-67.5°=112.5°,

AZBEF=135°-112.5°=22.5°,VAD=DE,ZADE=45°,

180°-45°

•••Z.AED=--------5-----6-7--.5°,

AZBEF+ZAED=22.5°+67.5°=90°,

AZAEF=180°-90°=90°,

在4ADE和仆EDC中，

AD=DE

Z-ADE=乙EDC,

DE=DC

/.△ADE^AEDC(SAS),

・・・AE=EC,

・・・AE=EF,

即AAEF为等腰直角三角形，

AZAFE=45°,

VEF=EC,

.\ZBFE=ZBCE=22.5°,

/.ZAFB=ZAFE+ZBFE=45°+22.5°=67.5<>,

VZABF=90°,

AZBAF=90°-ZAFB=90°-67.50=22.5°,

故答案为：22.5°.

【分析】连接AE,根据SAS证△40“三得出AE=CE二EF,再证△4EF为等腰直角三角形，得

出/8=67.5°,艮『可求出2845的度数.

如.【答案】2<10

【解析】【解答】解：如图，作CF团乙2,垂足为F，AE［仙2,垂足为E,连接AC,

:•乙FCB=乙EBA,

又；AB=CB/AEB=Z.CFB=90°,

•••△AEB=△BFC(AAS),

AEB=CF=4,

-AE=2,

•••AB=yjAE2+BE2=V22+42=275.

•••AC=y/2AB=2%lo；

故答案为：2“U.

【分析】先作圈42,再利用AAS得到△AEBg^BFC,即可得至ljBE=CF=4,然后根据勾股定理

解答即可.

21.【答案】(1)证明：「NF||BC,

C.LAFE=乙DCE,

,・,点E为AD的中点，

：.AE=DE,

在"EF和△EZ)C中,

/.AFE=LDCE

乙AEF=cDEC，

IAE=DE

i^EAF=LEDC（AAS）;

A.4F=CD,

VCD=BD,

：.AF=BD；

（2）证明：•••AF||8D,AF=BD,

・・・四边形是平行四边形，

V.4F=AC,BD=CD,

：.LADB=90°,

，平行四边形4尸BO是矩形.

【解析】【分析】3）先根据平行线的性质即可得到〃FE=2DCE,进而根据题意得到AE=DE,运用

三角形全等的判定与性质证明三△EOC64AS）即可得到进而结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的判定证明四边形4FB0是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。

22.【答案】（1）证明：在4AOE和^COD中，

Z-EAO=Z-DCO

AO=CO

LG4OE=乙COD

•••△AOE三△COOG4S4）.

，OD=OE.

又,.,AO=CO,

，四边形AECD是平行四边形.

（2）VAB=BC,AO=CO,

ABO为AC的垂直平分线，BO1AC.

，平行四边形AECD是菱形.

•・・AC=8,

CO=^AC=4.

在RtACOD中，CD=5,

•••OD=>JCD2-CO2=V52-42=3，

：.DE=2OD=6,

,,,$爱形4ECO=]OE.4C=2x6x8=24,

，四边形AECD的面积为24.

【解析】【分析】（1）先证明△40E三△C00Q1S4）,再求出OD=OE,最后证明求解即可；

（2）先求出B0为AC的垂直平分线，BO1AC,再求出0D=3,最后计算求解即可。

23.【答案】（1）证明：E是AD的中点，

AE=DE.

vAF||BC,

•••乙AFE=乙DCE.

LAEF=乙DEC,

•••△AEF=△DEC.AF=DC-

•••D是BC中点，BD=DC.

AF=BD.

又%-AF||BC,即AF||BD,

•••四边形AFBD是平行四边形.

（2）矩；AB=AC,"AC=90。（LABC是等腰直角三角形，且匕8AC=90°）

【解析】【解答］解：（2）①当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AFBD是矩形：

②当△48C满足条件AB=AC,Z.BAC=90°（AABC是等腰直角三角形，且乙B4C=90°）时，

四边形AFBD是正方形.

故答案为：矩；AB=AC,ZBAC=90°

【分析】（1）先利用AAS证明A4E尸三△OEC,根据全等三角形的性质可得AF=DC,再根据线段中点

的意义，得出BD=DC,这样就有AF二BD,再根据AF//BD,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形证得结论成立；

（2）①通过推理，得出结论；②利用结论，找出需要的条件.

24.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是nABCD,

：.AD=BC,AD||BC,

•・•点E,F,G分别为AO,DO,BC的中点，

：.EF||AD,EF=^AD,BG=』BC,

：.EF||BG,EF=BG,

・♦・五边形BEFG是平行四边形；

(2)证明：VaABCD,

・・・AC,BD互相平分，

:・BD=2B0,

\'BD=2AB,

:・B0=AB,

・•・点E为AO中点，

/.BE1AO；

(3)解：过点E作EHJLBC于点H,

BD=43AB,AB=8,---BD=8百

••喽形4BC0•••AC1BD.BO=^BD=4A/3

••5血。=器=竽=字二血。=60。.・・△府为等边三角形

AOAC

AC=AB=8,^ECH=60°CE=6

•••AE=-52-=-47-=2

EH=CExsin60°=3V3

，四边形BEFG的面积=EHxBG