江苏省南通市2025-2026学年高二年级上册期中质量监测 数学试卷（附答案解析）

2025~2026学年（上）高二年级期中调研测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有项是符合题目要求的.

1,直线工一=0的倾斜角为（)

兀712nc5兀

A.-B.-C.—D.—

6?

2.已知直线（：3x-4y+7=（）与/2：6.1（m+1）y+1-〃？=0平行，则山二（）

A.4B.5C.6D.7

3.若方程C：f+y「2x+4），+a=0表示圆，则实数”的取值范围是（）

A.（-oo,5]B.（-oo,5）C.（5,+oo）D.15,+8）

4.若空间向量/=（1,0,1）,力二（0,1,0）,则下列向量能与£佚构成空间的一个基底的是1）

A.p-（1,1,1）B.q=

12；

5.点A（2,l）关于直线工-3+1=0的对称点的坐标为（）

A.（3,0）B.（0,2）C.（0,3）D,（1,4）

6.已知JJA,一是空间三个不共线向量，则“向量岳,丁共面”是“存在三个均不为零的实数

P，q，r,使得画+力+/=0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.在正三棱柱四G中，AB=AA.=2,则直线A田与BC所成角的余弦值为（）

A.；B.4C.0D.—

4A

8.已知直线=0和圆+），2-2工+4），-4=0交于两点，设线段AB的中点

为M,O为坐标原点，则|。朋|的最大值为（）

A.3+.、/5B.2+.、/3C.J3+1D..「/+]

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知三条直线x+y+1=0,2【），+8=0和ai+3.y-5:0不能围成一个三角形，则实数a的

可能取值为（）

1

A.-3B.3C.-6D.-

10.已知圆G：a-a+/=1与圆。2：。-2）2+（），-2）2=4,贝IJ（）

A,圆心距Iccl二.、8

B.两圆的公共弦所在直线的方程为4+2〉・2=0

C.两圆的公共弦长为2屿

D.直线3x-4），-8=0是两圆的一条公切线

II.在棱长为2的正方体中，£尸分别是棱A&A。上的动点（不含躲点），

1LD,F±BIF,则（）

_>•••->1―

ARXF.+F.F+mJ=2/2

B.当且仅当上为A8中点时，AE=AF

C.存在E,F,使得AF/，BiE

D.直线AA|与平面4万r所成角的正弦值的最大值为g

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=（22〃-3,8）,〃二（4,2〃?+1,16）,且万//〃，则小=.

13.过点P(2,3)作圆三+：/+Zv+2y+1=0的切线，则切线长为.

14.已知两条直线“田+仇)，+1=0和“N+4)，-1=0都经过点4(1,1),则两点尸।(〃1,4)，

P心,bj间的最短距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知V八夕C的三个顶点为4(4,1),8(-6,3),。(3,0).

(1)求4B边上的中线CM的长；

(2)求VA8c的外接圆方程.

16.如图，在棱长为2的正四面体。■八8c中，己知E是线段3c的中点，点G在线段AE上，

且AG=2GE.

⑴用向量凉,31左表示6W:

(2)求「同；

(3)求向量5万与工片夹角的余弦值.

17.(1)过点P(2,3)作直线x+y・l=0的垂线，垂足为Q.

①求点Q的坐标：

②求以PQ为直径的圆被)，轴截得的劣弧的长度；

(2)已知点，(皿)，。)和直线/:4-+/+。=0(4"不同时为零)，证明；点F到直线/的距

离心也3妁

\IA2+B2

18.如图，已知正方形人BCD和矩形4C£尸所在平面互相垂直，AA=3,设A尸=，(/>0),

点M,N分别在线段ADCO上，且AM=%O,ON=/»C.

(1)证明：MEj_3N：

(2)若平面BEM_L平面EFN,求/的值：

(3)设直线8财与平面EFN相交于点K,求线段EK的长度(用，表示).

19.己知曲线C:(|x|-l)2+刎・1)2=4.

(1)求曲线C围成的平面图形的面积；

(2)若M,N是曲线。上的两个动点，求MN的最大值：

(3)是否存在直线y=［与曲线C至少有三个不同的公共点？若存在，求/的取值范围;

若不存在，请说明理由.

I.A

【分析】根据直线方程求出直线斜率.，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角.

【详解】，•8・8月=0可化为:y=4：・8,

••・直线的斜率为由,设直线的倾斜角6,则tanp=3

*.*0<^<7t,.

n

故选：A.

2.D

【分析】利用两直线平行的充要条件列式求解即可.

【详解】由直线乙：3x-4y+7=0与4:6A-(w+l)v+1-//«=0平行，

6-(〃7+1)1-〃7

得二=—―-~~-工----1所以〃？=7.

3-47

故选：D.

3.B

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

［详解】因为方程C：V+),2.2x+4y+«=0表示圆，

则有(-2)2+42-46/>0,解得：。<5,

故选：B.

4.D

【分析】根据给定条件•，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.

TTTTTT

【详解】对于A,〃="+/?,向量P，6共面，A不是；

对于B,q=a+—b,向量°,力,力共面，B不是：

对于c,，•=!a+加，向量;,G,〃共面，C不是；

x=1

对于D,假设:；二立+)工，则(1,1,0)二区)，/),于是彳歹=1，方程组无解，

x=0

即向量H工不共面，能构成空间的一个基底，D是.

故选：D

答案第1页，共15页

5.C

"xl=—l

晨3+0求解即可.

【分析】设对称点的坐标为（a,。，由题意可得

22

【详解】设对称点的坐标为（公〃）,

a=C

由题意可得•解得心.

b=3

所以点A（2,l）关于直线x-y+I=0的对称点的坐标为（0,3）.

故选：C

6.A

【分析】利用空间向量共面的基木定理结合充分条件、必要条件的定义判断即M求解.

【详解】因为实数〃■均不为零，所以。=一旦方-二乙

PP

此时向量共面，故必要性成立;

因为丁,人,屋是空间三个不共线向量，若向量〃一，人共面,

则存在非零实数x、y使得〃=A^+yc,则“--工心-户-=0,

取p=\,q=-x,r=-y,即有4厂+qb-+rc~-0,故充分性成立；

所以“向量「,好「共面”是“存在三个均不为零的实数小”，使得/-+ql3=（T”的充要条

件.

故选：A

7.B

innirinmr

【分析】利用正三棱柱的性质计算出8。，,再根据夹角公式即可求解.

【详解】由题意从产=J?=2上,同理可得与。二2・、5，

因为AA_L平面43C,8C-平面A8C,所以A|A_L8C,即彳彳.汨:0,

•・

一一_—・.,■•|・一■••一—・一■Ma•—■——■一・一

所以4几,BQ=（A/7+A园.（瓦卧=4/70用+A7.BC+ABB评+ABBC

二同忸司+网阐85（兀-//8（7户82+83<12,

一~>--»AB.BC__2J

所以cosA因，与。=巧］£>：:

|A6.&q2L,2x2\/24

故直线A4与BC所成角£勺余弦值为1.

4

故选：B

8.D

【分析】易知直线/过定点P（l,0）,且点P在圆C内，结合MP垂直于MC,可得动点”的

轨迹方程为（.1I》+G+1）2=1,由此容易得出PM的最大值.

【详解】将圆C的方程化为标准方程为（X-1）,+G+2）」=9,则圆心为C（L2），

直线/:x・“），-l=0,易知直线恒过定点0（1,0）

又（17）2+（0+2》<9,所以点P（1,0）在圆内，如图所示：

由于M/）垂直于MC,则点M的轨迹为以CP为直径的圆,

线段CP的中点坐标为N（L・1）,CN\=1,

所以动点M的轨迹方程为（一）+G+1），=I,

又。昨加+㈠『二'OA|-|<M<hv|+lt

可得、5-14|。W区.、5+1,

即0M的取值范围为［5-1,、/2+1_,

所以!0M的最大值为.、历+i.

故选：D

9.BCD

【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.

【详解】联立，A，可得〜，即两直线交点为G3,2）.

当。=3时，直线x+），+【=（）和直线ar+3y-5=0平行，不能围成三角形；

当〃二・6时，直线2犬-），+8=0和直线以+3），-5二0平行，不能围成三角形；

当时，宜线or+3），-5=0经过点（-3,2）,三线共点，不能围成三角形；

当a=-3时，二条直线两两相交且不共点，可以围成二角形，不符合题意.

故选：BCD

10.ABD

【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在

直线方程，再在其中•个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是

否分别等于各自半径，可判断D.

【详解】根据两圆方程，可知圆G的圆心坐标G（l，0）,半径n=1,圆G的圆心坐标G（2,2）,

半径々=2.

对于A：|C£|二J（2-l）2+22=故A正确;

对于B：由A可知，1=<|GG1<4+4=3,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程

可由两圆方程相减得到，即将（XT》+y=1减去（x-2『+（,y-2）2=4,

得到2x-3+4），-4=-3，整理化简得x+2y-2=0,故B正确：

对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心G（l，（））到公共弦

x+2），-2=0的距离=?■故弦长/=211-故C错误；

对于D：圆心Cd1.0）到直线3.14），-8=0的距离《=/一「二1二不圆心G（2,2）到直线

J乎+42

3x-4y-8=0的距离4=上图==2=人故直线标一4)，一8二0是两圆的一条公切线，故D

正确.

故选：ABD.

11.ABD

■■■一—■・

【分析】以。为原点，建立坐标系,设E(2,〃,0)，网肛0,0),根据。产.与尸=0,求得〃?二〃，

由6了+£7一+，。二=(一2,2,0),可判定A正确；由|荏卜口可求得〃?=1,可判定B正确：

_T.T

由列方程方程组，可判定C错误：过A作/LWJ_EF,证得上4M4即为直线他

与平面4山F所成角，求得tan上为m=2\2巩二_2)+4'利用换元法和函数的单调性，可

判定D正确.

【详解】以。为原点，以D4OC,。"所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示,可得以(2,2,2),2(0,0,2),42,0,0),4(2,0,2),

■■■—•■■■—•

设七(2,几0),尸侬0,0),其中0<见〃<2可得RE=(2,〃,一2)，/尸=(/«—2—2,-2),

因为。IE_LBF,则RE.BF=2(/n-2)-2n+4=0,

可得用=n,所以E(2,m,0),F(九0,0),

对于A,由+3F+/D.'=(pjfi—2,-2)+(川一2-f?,0)+(―/n,0,2)=—(i—2,0),

可得届F而二。J=2S二,所以A正确；

对于B,由了、=。肛0)%/=(m—Z0,0)，可得|阔二阳，|"|二2-〃？

若AE=AF,可得4E卜力5।所以〃？=2—in,解得机=1,

即已尸分别为AB,4。的中点，所以B正确；

---->

对于C,由A/=(w—2,0,-2),B]E=(0,〃?-2,-2),

若4尸/佃E,可得儿》//8卢，则存在实数/H吏得，

m-2=0

可得｛0="加一2):可得〃!=2,因为0<m<2,所以切不存在，

-2=-2Z

所以不存在E,产使得A尸〃所以C错误;

对于D,过点A作连接4也，

在正方体48C。一4四G俱中，可得J_平面ABCD,

因为E尸L平面ABC。，所以AA|_L£7"

又因为AMCIAAi=A,且AMA4「平面人人〃,所以£5J.平面八八附，

因为EFL平面A/产，所以平面4AM±平面A/尸，

所以上AMA即为直线A4与平面A石尸所成角，

在直角△/比”中，由AE=7Ab=2—〃?，可得EF=JAE^=）厂

AEAF

所以AM二-------二•/二）

EF_2出2-4加+4j2m（/w-2）+4

AMAMfit2-m）

在直角为AM中,可得如n上4.二石:行二?"-2）+4，

倒;41肝4碎力2（阳_|）金，其中0<〃？<2,

可得正［及,2］，且加〃［-2）=二，所以gnjL4M4=U=L（t-r）：

/drdt

由函数Z（/）=±-，在/6［应.2'上单调递减，

所以当f=S时，/〃）陋=/（拉）=及，所以tan上4MA的最大值为由,

4

所以sin上AMA的最大值为g,所以D正确.

12.-##3.5

9

【分析】根据向量平行可知存在实数&,使得五=kb,结合向量坐标运算求解即可.

【详解】因为向量方=（22〃一3,8）,b=（42"+1,16）,

若万//葭则存在实数3使得5二4=（软机+1）k16。，

4A=2k=-

可得（（2〃7+1*=》〃-3,解得2

7,

16Jt=8"7=一

2

故答案为：

2

13.2/6

【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即

可.

【详解】方程/+y+2v+2y+1=。可化为G+l）'+（y+l）’=1,圆心M（—1,T）,半径r二I,

222

所以切线长为.、Mpi_r2=<3+4-1=2/6.

故答案为：2、’6

14.、5

【分析】确定尸（七仇），自（。2也）分别在直级v+），+l=（U+y—1=。上，由平行线间距离

即可求解.

【详解】因为两条直线0X+/V+1=0和。3+83一1=0都经过点/1（1，1），

所以卬+4+1=0,见+仇T=0,

所以Pi（0,d），户/电也）分别在直缀+y+I=OK+y—I=0上，

所以两点八（的曲），3（@也）间的最短距离为两平行线间距离，即1=喟"=拒

故答案为：.、

15.（1）2is

（2）r+/+x-9y-\2=0

【分析】（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.

（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.

【详解】（1）由中点坐标公式得八8的中点M（—1,2）,

由两点间距离公式得CM=J（3+1尸+（0-2V=2石

（2）设三角形外接圆方程为f+炉+D.r+Ey+F=O,（D2+E2—4F>0）,

17+4D+E+F=0D=\

因为点A,及C在所求的圆上，可得卜5-6。+3£+£=0解得•

E=-9

9+3。+b=0F=-12

则VABC外接圆的方程为x2+/+x—9)，-12=0.

16.⑴元=:以+；。月+（01

⑵半

【分析】（I）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解:

（2）利用向量的模与数量积的关系求解即可;

（3）利用向量的夹角公式计算即可求解.

一、-"一---Q••—>-•，一••—>一•\1*O*.

【详解】⑴OC=O£+A4=O4+£E=OA+^\OE—OA)=3OA+3OZ

112(1-*1—T)l--1->1—*

=~OA+~\7~OB+~OC=~OA+OB+-PC；

331(22,333

⑵|o6卜J

+OB+OC+2OA.OB+2OA.OC+WB.OC

If11|A

I-4+4+4+2x2x2x-+2x2x2x-+2x2x2x-

M222)

2/6

(3)因为。+/C,AB=08—OA,

所以4月=(；0启+/才)ipB-OA卜,A+^OCOB-9月。二^C-OA'

=—x22+—x2x2xcos———x2x2xcos——x2x2xcos—

?732227

=2+1—1—1=I

由正四面体O—八BC的棱长为2,可得0E=.、/3）B=2,

—一->OE.AB1,、口

所以OOS<OEA^>=----一

O1\AH2/36*

17.⑴①刎）；②与；⑵证明见解析

【分析】（1）①求得直线PQ的方程，联立方程求解即可：②求得圆的方程，由勾股定理可

得上MCN=3计算即可求解.；

（2）方法一：求得过点?（.他为）和直线/:Ar+为，+C=0垂直的直线方程，联立方程组求得

交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点尸分别作y轴、x轴的垂线，

分别与/相交于Mtn,yo）,N（xo,），J,由等面积法计算即可得证.

【详解】（1）①因为直线r+>-1=0的斜率A=—I,

所以其垂线的斜率即Q=1,

所以直线PQ的方程为x—y+1=0.

联立解得Q（0,l）.

|/一»+1=0

②因为P（2,3）,Q（O.I）,

所以以PQ为直径的圆的圆心C（l,2）,半径

所以圆。的方程为（x—I）?-2）2=2.

设圆。与y轴交于M.N两点，则MN=2Jr—=2,

所以MM=CM2+CM,

,八、/27r

所以上MCN=：：所以所求弧长为士.

/9

（2）法一：设4H0,8声0,过点P（xo,），o）作直线/的垂线，垂足为G,

则过点P(e,%)和直线/：/U+为+C=0垂直的直线方程为Bt—Ay二A%一A%.

_B~x0—ABy0—AC

联/k+B)%,+C-=0J解得A2.+B2-,

y(i=42,D2

x——AC-ABx+~BC

所以点G的坐标为Q(i

A2+B2，J2+B2,

](-ARx()+片yQ-BC

所以PG=

x°-77^汽

[(A、。+A8.V。+AC)](A8%+81%+BC)-

=Vl(A?+#+|(A2+B1,

|AYA%+By0+C)"G.v0+By。+C1

2T

q(4.若(«.B2)

：Ax0+By0+C—r0,+B*+c|

=\A'B:=\Q：B?

当AH0,8=0时,

A%+q尸。+B%+a

d二X。

4-一A、A?+4

当A=0,BW0时,

CBy.+C

7+7=

B、A?+B2

所以点p到直线/的距离d=.

法二：过点P作PG_L/,垂足为G.

当A=0,3H0时，

过点P分别作y轴、x轴的垂线，

分别与/相交于“(不,先),/(10,y2).

由A。+8Vo+C=0,Av0+By2+C=0,

得寸白工行专二

所以PM=归_%|=当士"迎，

A

i-井七区

D

因为PG是Rl△尸MN斜边上的高，

而p「1尸犯网.M•叫IA))圾。二q

N=\MN\=dPM；+PN?=yjA2+B2

即点P到直线/的距离"=包:领土』

xlA2+B2

当4/0,8=0时,

小器=包区「回汉1

AAJA2+R2

当A=0,8X0时,

B\IA?+B2

综上，点P到直线/的距离4=.”+勤士口.

IA2+B2

18.(1)证明见解析

(2)/=3

m/T137

⑶卜T

【分析】(I)利用面面垂直的性质可得A/^_L平面A8CD,进而利用线面垂直的性质可得

AF±AD,AF±AB,建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论：

(2)求得平面6EM的一个法向量和平面E/W的一个法向量，利用向量法可求，的值；

___5

(3)设方】二力雇工~,求得KN=(3-431-2,°),利用向量法可求得1=7,进而可求解•

【详解】(1)因为平面A8CQ_£平面AC£下，平面A8CDCI平面AC"=AC,

在矩形ACE尸中，AC_LAF,AF（-^ACEF,所以A”J_平面ABC。.

又因为平面4800,48—平面48CQ,所以4尸_L力。,4产_LA8.

以|诟，万，而｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，

则B（O,3,O）,M（l,O,O）,E（3,3,f）,N（3,l,O）.F（O,Oj）.

所以於二(23”鼠V=(3,20),

所以加一工彘=2x3+3x(-2)=0,

所以ME_1_6N.

⑵BE=(3,0,/),B.W=(1,-3,0\EF=(-3,-3,0}EN=p,-2,-/).

设平面6EM的一个法向量为修=（孙y,zj,

BM-W1=0X]-3y）=00

则僻3=0，即&+弓=0,令）L-,二产：

所以平面6£M的一个法向量为裙=3」,一，）

设平面EFN的一个法向量为=（^2,>2/2），贝U

EF^=0卜3七-3%二02

J加一Z即一2；-尸-0：令与=1，得力二・1，0=7

ENn2=0（物•

所以平面EFN的一个法向量为无.

一•一

若平面8EM±平面EFN,则勺.%=0,

1Q

得3-1一?=0解得r=9,

r

因为1>0,所以/=3.

（3）设展晨此1户,则K（A3・3A0）,所以K%=（3-43犬-2,0）.

由（2）可知，平面EFN的一个法向量%=J一1，：）所以底2:2二0,

得3-A~3A+2=0,解得力=].

⑵2、5+4

（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解;

（2）分M,N都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨M在第一象限（或坐标轴正半轴），N

在第二象限（或y轴负半轴）时，不妨〃在第一象限（或坐标轴正半轴），N在第三象限