北师大版八年级数学下册第三章专项突破：几何图形中的旋转综合问题（B测试）

专题几何图形中的旋转综合问题

目录

A题型建模•专项突破

题型一、线段绕某点旋转综合问题...........................................

题型二、直角三角形绕点旋转综合问题......................................

题型三、等腰直角三角形绕点旋转综合问题..................................

题型四、等边三角形绕点旋转综合问题......................................

B综合攻坚•能力跃升

综合攻坚•能力跃升

一、单选题

1.（25-26九年级下•广东惠州・开学考试）如图，将VA3c绕点A旋转得到使边恰好经过点C,

若ZAC3-75。，则上84〃的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】由旋转的性质可知，ABC^A^C,从而得到对应边、对应角相等.利用AC=4C得出△4CC

为等腰三角形，结合/ACB=NACB,求出等腰三角形的顶角NCAC.由旋转角相等，/BA&=NC4C,

从而得到答案.

【详解】解：:将VA8C绕点A旋转得到,

:.△ABCg△AB'C',NBAB'=ZCAC',

AAC=AC,ZACB=ZACB'=75°,

:./ACC=ZACC=15°,

:.ZCAC=180°-75°-75°=30°,

•・,/BAB'=NCAC,

/.ZR4B'=30°,

2.（25-26八年级上•山东济南•期末）如图，在RtZXABC中，AB=AC=2,N8AC=90。，点O,E为8c上

两点，^DAE=45°,F为YABC外一点,且=ZEAF=90°,有下列结论：

①CE=BF；

@BD2+CE2=DE2；

③5=；AO.所；

®BE1+CE1=2AE\

⑤近周长的最小值为1+2五.

则以上结论正确的个数是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】①证AfBW.AEC(SASj即可；②连接"/),证A也哙一AED(SAS)即可；③根据.//由gAEC,

可得S*8=S-由%"毛心所，得Ss>Ss得到心所，即可求证；④根据

BF?+BE?=FE?，FE2=AE2+AF2=2AE\即可求证；⑤由跖+8尸=3C=20，当点E在8C中点时,

AE±BC,AE=；BC=血,最小，EF=V2x>/2=2>最小，即可求证.

【详解】解：VZBAC=90°,ZEAF=90°,

ZBAC=90°,FAA.AE,ZZ^4E=45°

,^CAE+/BAE=ZBAF+NBAE=90°,

・•・ZCAE=ZBAF,

VAB=AC,AF=AE,

：.AFB^AEC(SAS),

：,CE=BF.故①止确.

②如图：连接FQ,

B

VZ£4F=90°,ZDAE=45°,

・•・AFAD=ZEAF-/DAE=45°，

:.ADAE=ZDAF=45°t

VAF=AE,AD=AD,

：,AFD^,AED(SAS)

JFD=DE,

VAB=AC,Zft4C=90°,

・•・/ABC=ZC=^(180°-NBAC)=45°,

由①知，AFB^AEC,

:・CE=BF,ZAfiF=ZC=45°,

・•・2DBF=ZABC+ZABF=90°,

,BD?+BF=FD?，

BD2+CE2=DE2.

故②正确.

③・，•

,,SAFB=SAEC，

••SACB=SAEB+SAEC=SAEB+SAFB=S&EBF»

VAF=AE,DF=DE,

・••AO垂直平分E/7,

•*,SQF=-A。,EF,

SAEBF=S.AEF+SBEF'^AEDF=AEF+SDEF»且REF>S[)EF，

,•Sr.tpcoij>—2AD•EF.

故③不正确.

④在Rt/9E中，BF?+BE?=FE?，

•:CE=BF,

:.CE2+BE2=FE2，

又•・•△A"是以E尸为斜边的等腰直角三角形,

'FE2=AE2+AF2=2AE2，

：・CE?+BE?=2AE?.

故④正确.

@VAB=AC=2,NE4C=90°,

：•BC=y/AB2+AC2=2\/2，

VBF=CE,

BE+BF=BC=2五，

VAF=AE,ZE4F=90°,

：•EF=\/AE2+AF2=y/2AE，

当点E在〃。中点时，AEA.I3C,

此时，AE=-BC=42,最小，EF=&X0=2，最小，

:..九跳：周长的最小值为EF+B/+BE=2+2&.

，⑤不正确.

・•・正确的有①②④.

故选：C.

二、填空题

3.（25-26八年级上•山东淄博•期末）如图，在VA3。中，ZACB=90°,ZBAC=150,将VA4C绕点C按逆

时针方向旋转。（0。＜。＜90。）得到.OEC，设CO交A8于点尸，连接A。，当旋转角。的度数为

时，，/力/是等腰三角形.

【答案】40。或50。

【分析】先根据旋转的性质得到NOC4=a,CZ）=C4,再求出NCD4=/。。=3（180。-。）=92。-3。，进

而求出NO£4=NQC4+NB4C=a+15。，分=AF=AD,=/M三种情况讨论即可.

【详解】解：由旋转得：^DCA=a,CD=CAf

・••ZCDA-ZCAD-i（180o-a）-90°-ia,

•・•ND网是.CEA的一个外角，

・•・ADFA=ZDCA+NBAC=a+15。，

分三种情况：

当FA=FD,

・•・^CDA=ZFAD,

，90°--a=90°--a-15°,

22

此方程无解，故不存在；

当Ab=AD,

AZDM=ZCn4,

.\a+15o=90°--a,

2

Aa=50°,

当=ZM,

，功FA=QAF,

.\a+15o=90o--«-15°,

2

/.a=40°,

，当旋转角a的度数为40。或50。对，二A。尸是等腰三角形.

4.（25-26九年级上.海南省直辖县级单位.期中）如图，向ABC中，46=90。，点Q是斜边"的中点,

将VA8C绕点A按顺时针方向旋转，点。落在CO的延长线上的七处，点4落在尸处，若AC=4及，

8c=2J/。则A8的长为，CE的长为.

【答案】10y

【分析】通过勾股定理可直接计算出A8：作AG_LCE,垂足为G,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半可求出CO=!A8=5,使用等面积法求出力G=心，再使用勾股定理求出CG=¥，根据等腰三角

255

形三线合一的性质求出CE.

【详解】解：如图，作AG_LCE,垂足为G,

CA

在&A8C中，AB=y/AC2+BC2=^（4x/2）2+（2>/17=1（）,

丁点。是斜边人4的中点，

・・・CQ」A8=5,

2

:・S△仙=口△瓯=1x1J6*.5^=1x1x472x2V17=2x/34,

又7S2Mm=；8MG，

：.-x5xAG=2扃，解得/IG=士史,

2周

在心ACG中，CG=sjAC2-AG-=

由旋转的性质可得AC=AE,

VAG±CE,

：.EG=CGt

5

32

:.CE=EG+CG=—.

5

32

故答案为：10;y.

三、解答题

5.（25-26九年级上•湖北武汉•月考）如图，VABC是等边三角形，将..ABM旋转一定角度后得到CBN,

连接MMCM.

（1）旋转中心是」旋转方向是_（填顺时针或逆时针），旋转角度为_（取最小旋转角度）；

（2）若N4M4=150,求NMNC的度数；

【答案】（1）B点：顺时针；60°

（2）90°

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，

对干（1）,根据旋转的定义可得答案；

对于（2）,先根据旋转的性质得CBN,NMBN=ZABC=0）。，即可说明.eMN是等边三角形，进

而得出41NB=60°,再结合已知条件根据4MNC=NCNB-AMNB得出答案.

【详解】（1）解：TVABC是等边三角形，

:.乙46c=60°.

将_A8W绕点B顺时针旋转60。得到ACBN.

所以旋转中心是8点，旋转方向是顺时针，旋转角为60。；

故答案为：B点,顺时针，60°：

（2）解：由旋转的性质可知：ABMaCBN,NMBN=NABC=0）。,

:,BM=BN，ZAMB=NCNB.

•:4/BN=60°,

:.BMN是等边三角形,

・・・/MN3=60。.

,//CNB=ZAMB=l50。,

/.£MNC=4CNB—/MNB=90°.

6.（25-26九年级上•湖北武汉•期末）如图，等腰RtZ\ABC中，BA=BC,NA3C=90。，点。在AC上，将

△ABO绕点B顺时针方向旋转90°,得到△C8E.

⑴求NDCE的度数；

（2）若4。=1,CD=3,求BD的长.

【答案】（l）NZX?£=90。

（2）BD=yf5

【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，勾股定理.

（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得N7）CE的度数；

（2）根据旋转的性质可知，EC=AD=\,BD=BE,NOBE=90。，根据勾股定理求出。石的长，再根据

勾股定理即可得8D的长.

【详解】（1）解：•••n△A6C为等腰直角三角形，

•••NBAD=NBCD=45。,

由旋转的性质可知ZBAD=ZBCE=45°,

，Z.DCE=Z.BCE+ZBCA=45°+45°=90°；

⑵解：由旋转的性质可知：EC=AD=\,BD=BE,NDBE=90°,

VZ£>CE=90o,CD=3,

•*-DE=\IDC2+EC2=732+I2=Vio

•:BD=BE,NOB石=90。，

.・.BD=—DE=>/5.

2

7.（25-26九年级上•广东广州・期末）如图，在VA8C中，A8=AC,将V4BC绕点A沿顺时针旋转得到VAOE,

连接BD,CE,BD与CE交于点F.

(1)若AB=2,Z^4C=45°,AC//BD,求8。的长；

(2)求证：BCF^EDF.

【答案】⑴HD=2j5：

⑵见解析

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理等，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

(1)根据4。〃8。得到乙钻。=/84。=45。，结合旋转得出4ZX?=NA%)=45。，由勾股定理，可求得BD

的长；

⑵连接班:.根据旋转的性质先证明-AEC-AQB(SAS)则EC=8£),进而证明，Q丽一C纸(SSS),得

出NEDB=NECB,即可证明BCFqEDF(AAS).

【详解】(1)解：YAC//BD,

AZABD=ZBAC=45°,

由旋转可得AD=/W=2,

:.ZADB=ZA5D=45°,

・•・^DAB=90°,

由勾股定理，得8D=y/AD2+ABZ=Vl2+22=272:

（2）证明：连接BE.

•・•将VA8C绕点A沿顺时针旋转得到VAOE,

・•・AD=AB,AC=AE,DE=BC,ABAC=/DAE,

：.ADAB=^EAC,

又,：AB=AC,

AAD=AE,

・•・-A£C^_ADB(SAS).

EC=BD.

•：DE=BC，BE=BE,

・•・DE哙CBE(SSS).

・•・/EDB=zLBCE.

在乙瓦加和V8C『中，

NDFE=/CFB

4EDB=ZBCE,

DE=CB

・•・BCF迫EDF（AAS）.

8.（25-26九年级上•广东惠州•期天）在RtZXABC中，4c8=90。,8C=1,AC=2,将绕点8顺时

针旋转。（0°＜。＜180。），得到RtZ\£8O,连接8、AE,射线C。交AE于点〃.

®/BAE的度数是___________________

②求证：点尸为4E的中点；

小明经过思考给出下面证明过程：

证明：

如图1-1,过点A作4G〃OE交CO的延长线于点G,则NG=/EO厂,

由旋转的性质可得NCBD=/BDE=90\G4=DE,BC=BD,

・；/CBD=/BDE,

・•・BC//DE,

・•・BC//AG,

ZCAG=180-NACB=90,

*/HC=/?/),/CRD=90\

A180-ZCBD=45%

2

JZACG=90'-/BCD=45°,

工Z4CG=ZG=45\

:.AG=AC,

请将小明剩余的证明过程补充完整.

(2)当。/90。时，(【)中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)©45。；②见解析

(2)成立，证明见解析

【分析】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知

识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

(1)①由旋转的性质得出/48石=90?A5=8E,由等腰直角三角形的性质得出N8AE=N4EB=45?；

②过点6A作AG〃。后交的延长线于*G,则NG=NED产,证明二八GF"£Dr(AAS),由全等三角

形的性质得出八尸=印；

(2)过点6A作AMDE交♦CD的延长线于.M,则=尸，证明AM=AC=OE,证明

&AMF乌EDF(AAS),由全等三角形的性质得出AF=即；

【详解】(1)解：①解：I将Rt/XABD绕点B顺时针旋转a(0°<avl80°),得到R3EBD,a=90?,

AZABE=90?,AB=BE,

：./BAE=ZAEB=451,

故答案为：45?；

②解：AAG=DE,

•・•ZG=Z.EDF,ZAFG=4EFD,

工MGF^AEDF(AAS)

・•・AF=EF,

即点”为AE的中点;

（2）解：成立，

证明：过点A作AM〃。石交C。的延长线于M,则NM=NEDF,

CB

由旋转的性质可得/女”=/必九=90?.BC=RD.

CA=DE,Z.CBD=a,

*：2CBD=a,BC=BD,

l«09-a1

/BCD=NBDC=-=90?-%,

22

VZBDE=90?,

・•・NEDF=180?-NBDE-NBDC=180?-90?—（90，a）=ga,

*/ZACfi=90°

.・.乙ACM=90?一’0?—ga）=ga

/.ZACM=/EDF=AM,

AM=AC=DE,

又♦:ZAFM=NEFD,ZG=NEDF,

・•・AAMF^AEDF（AAS）

:.AF=EF,

即尸为4E的中点.

9.：25・26九年级上•江西上饶♦期末）【课本再现】（1）如图1,V48C和.CDE都是等边三角形,且点8、C、

E在一条直线上，连接4。和AE相交于点P,线段4。与AE的数量关系是「请你用旋转的性质说明上述关

系成立的理由.

图1图2图3

【深入探究】（2）如图2,将石绕点。逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同.

①线段与AE的数量关系是二

②/OPE的度数为_.

【拓展应用】（3）如图3,VA8C是等边三角形，ZADC=30°,AD=6,80=10,求边CO的长度.

【答案】（1）BD=AE;理由见解析（2）①BD=AE;②60。；（3）8

【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得A4CE绕点C逆时针旋转60。得到△BCD,即可得到或）=他；

（2）由（1）可知，AC%BCD：则8£>=AE,/BDC=ZAEC,再根据等边三角形的性质和角之间的等

量代换，易得NBDE+ZAED=120°,从而可求NOPE；

（3）将..AS绕点。逆时针旋转6（）。得到.ACE,连接OE,易得。E是等边三角形，由旋转的性质知

ZBEC=ZADC,从而可得N8EZ）=90。，再根据勾股定理，计算即可.

【详解】解：（1）BD=AE,理由如下：

V4BC和「.6E都是等边三角形，

AAC=BC,ZACB=60。，CE=CD,ZECD=60°,

.NACE=ZACD+ZECD,/BCD=ZACD+ZACB,

ZACE=ZBCD,

将AACE晓点。逆时针旋转60。得到ARCD,

BD=AE；

（2）®BD=AE；②60°

理由：由（I）可知AACE绕点C逆时针旋转60。得到△BCD,

则.ACE"BCD,

•••BD=AE,/BDC=ZAEC；

，•等边三角形.CDE,

ZCDE=ZCED=600,

ZCED=ZAED+ZAEC,

NBDE+ZAED=NBDC+NCDE+ZAED=ZAEC+ZAED+600=ZCED+60°=120°,

...NDPE=180°-（/BDE+ZAED]=180°-12（）°=60。；

故答案为：①8O=AE；②60。：

（3）如图所示，将.48绕点。逆时针旋转60。得到，/C£,连接OE,

BE=AD=6,CD=EC,ZDCE=60。，

・•.CQE是等边三角形,

DE=CD,NCW=60°,

由旋转的性质知NBEC=ZADC,

Z4£XL'=3(F,

•••ZBEC=30°,

ABED=NBEC+/DEC=90。，

在中，由勾股定理得/)£=，坊力一4寸=川02一6〉=8,

CD=DE=8.

10.(24-25九年级上•吉林松原•期末)综合与实践

某兴趣小组成员选取了两个完全相同的含30。角的三角尺如图①摆放，其中/ACR=/A,CRf=9O0,

NB=N£=30。,AC=AC=2.保持V48c不动，将△A'3'C绕着直角顶点。顺时针旋转一个角度

a(0°<a<l20°).

(1)如图②，边A9与边BC交于点。.

①当。=30。时，判断此时△A'CO的形状并证明；

②当0。<。<90。时，若△EC。是等腰三角形，则夕=；

(2)如图③，当△A"C继续旋转至点B'、4、B在同一条直线上时，连接A9,直接写出A8'的长.

【答案】(1)①△ACD是等边三角形，理由见解析；②30。或75。

(2)2X/7

【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定

理，含30。角直角三角形的性质；

(1)①当a=30。时，乙4'=60。，44'。。=60。即可判定八4'€7)是等边三角形；

1QA0_30°

②分类讨论：当DC=06'时，a=N4CB'=N4'=30。；当O3'=ZTC时，a=NB'DC=NB'CD=--------；

2

(2)延长B'C交A8于〃，利用含30。角直角三角形的性质可得39=6,AH=3,再利用勾股定理可得答

案.

【详解】(1)解：(1)①当a=30。时，△AC。是等边三角形，理由如下：

Va=30°,即Z4C4'=3()。，

/.ZACD=ZACB-ZACA1=90°-30°=60°,

又「44'=60。，

•••△48是等边三角形.

@VI^C=BC>DC,

・•・若△6'CD是等腰三角形，则只有OC=DB'或=B'C,

当。。=。8'时，a=4BCB'=4H,

'：ZBr=30°,

Aa=30°,

当D9=8'C时，a=/B'DC=/BCD,

VZBf=30°,

,aJ80f0。…

2

故答案为：30。或75。.

(2)解：延长8'C交48于”，

VZACT=90°,ZABC=30°,AC=2,

/.A!Bf=AB=2AC=4,

VBC=BC,ZA'B'C=ZABC=30°,

；・NZRC=NCBA'=30°,

・•・NBCB'=180。-NKBC-NCBH=120°,

・•・ZBC4f==1200-90°=30°,

:.NCBA'=N4GY,

/.A'B=AC=2,

，88'=AB+A'8'=2+4=6,

*/ZABB'=ZABC+NCBB'=30O+30°=60°,

=180°-60°-30°=90°,

2

・•・B/=BE-BH2=27,

•:AH=AB-BH=4—3=1,

工Atr=ylAH2+fTH2=2x/7•

11.（25-26九年级上•湖北襄阳•期末）综合与实践

在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题.

如图1,在RtZSABC中，ZAC^=90°,AC=BC=4,D,£分别为4C,4c的中点，将,CDE以点C为

旋转中心，顺时针方向旋转。°（0＜。＜360）后得到二CMN（点O,E的对应点分别为点M,N）,连接A例，

BN.

【初步感知】

（1）如图2,当B,N,M三点恰好在同一条直线上，且点N在线段8W上时，NCAM的度数为

.（用含。的式子表示）

（2）如图3,在旋转过程中，试判断线段AM和8N之间的数量关系和位置关系，并说明理由.

【延伸探究】

（3）如图4,当a满足135vav225时，连接AN,BM,若设△ACN与.8CM的面积之和为S,则S是否

存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）45-a

（2）AM=BN,AMLBN,理由见解析

（3）8

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解.

（1）根据线段中点的定义可得CD=CE,再由旋转的性质可得CM=CN,NMCN=/ACB=90'，

NBCN=ZACM=a,CM=CN,由等边对等角可得NCMN=NOVM=45"，证明,则由三

角形外角和定理可得NC4M=NC8N=45'-a：

（2）延长8N交AM于点F,交4c于点。，由（I）知△ACM丝△&77,则NC4M=/C3N,AM=BN,

则可推导乙4R?=/BCO=90,臼此得到线段AM和8N之间的数量关系和位置关系；

（3）连接AM,BN,二者交于点T,由（1）得S,SC=〈ACIC=1X4X4=8,S,,仆=JMCNC=：X2X2=2,

证明△ACM四△BCN,则AM=BN,推导AMA.BN,鼠边形,小，=S心+SMliN=；BN?,当BN有最大值，

S四边形八外加有最大值，△ACN与.8CM的面积之和S有最大值，当B、C、N三点共线时，4N有最大值，

由AAGV与LBCM的|fl|枳之和S的最大值为S四边形A8MM-SABC-SMCN即口J解答.

【详解】（1）解：N4CB=90。，AC=8C=4,D,E分别为AC,8C的中点，

:.CD=-AC=2,CE=-CB=2,

22

:.CD=CE,

由旋转的性质可得，CM=CD,CN=CEt/MCN=ZACB=90，乙BCN=/ACM=a,

:.CM=CN,

NCMN=NCNM=4$,

：.NCBN=/CNM-ct=45-c,

又AC=BC,

.•…ACMgBCN（SAS）,

ZCAM=/CBN=45-a;

（2）解；AM=BN,AMA.BN,理由如下，

如图，延长BN交AM于点F,交AC于点。,

由（1）知AACMq八BCN,

:"CAM=4CBN,AM=BN,

又ZAOF=ZBOC,

ZAFO=180°-ZCAM-ZAOF=180-NCBN-ABOC=NBCO=90,

:.AMLBN,

综上所述，AM=BN,AMYBN；

(3)解：如图，连接A用，BN,二者交于点7,

由（1）知S八腔=gAC.BC=；x4x4=8,S八伫丫=（MCNC=gx2x2=2,

/ACB=4MCN=%,

ZACB+ZMCB=ZMCN+ZMCR,

ZACM=NBCN,

又AC=BC,CM=CN,

.♦.-ACM，8C7V（SAS）,

:.AM=BN,4CMA=4CNB,

设/MCB=x,则NACM=90+i，ZACN=360-90-90-x=180°-x,

ACAM+NCM4=180-ZACM=180-（90+x）=90-x,

ANAC+ZANC=180-AACN=180°-(180-x)=x

/.NCAM+ZCNB=90-x，

ZNAC+^ANC+ZCAM+NCNB=.r+90-x=90，

即/NAT+ZANT=90,

.­.ZA77V=l80°-90=90\

.-.AMI.BN,

5双边形ABMN=SABN+SMBN

=-BNAT+-BNMT

22

=^BN（AT+MT）

=-BNAM

2

=-BN2

2

「•当4N有最大值，S四边WN有最大值，AACM与.8CM的面积之和S有最大值，

BNWCN+CB=2+4=6,

.••当8、C、N三点共线时，8V有最大值，最大值为6,

,，,%边形ABMN的最大值为5X6x6=18,

.ZACN与8cM的面积之和S有最大值，此时S=S四边形A8MLsAHC-SWW=18-8-2=8.

12.（25-26九年级