二元一次方程组的应用（6大题型提分练）解析版

2.4二元一次方程组的应用

A夯基础

题型一由实际问题抽象出二元一次方程组

1.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房

八客一房空诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，

那么就空出一间客房，若设该店有客房x间,房客y人，则列出关于X、的二元一次方程组正确的是（

)

7x-6=y

A.B

8.r-l=y｛宏总

7x+6=ylx+6=y

c•D.,

•8x-l=y18(x-l)=j

【详解】解：由题意可得：（1口

故本题选：O.

2.我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参

详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌“其

大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果

甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲,乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊），只，根据题意列

方程组正确的为（）

j2x+9=y-9Jx+9=2y-9

x-9=2y+92x-9=y+9

2(x+9)=j-9x+9=2(j-9)

D.

x-9=>'+9x-9=y+9

x+9=2(y-9)

【详解】解：由题意可得:

x—9=y+9

故本题选：O.

3.古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱,

苦果七个四文钱.试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一

文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了），个，

根据题意，可列方程组是（）

x+y=IOOOx+y=1000

A.4114B.97

—工+—)，=999—x+_y=999

197,1114，

[x+y=999fx+y=999

c.,D.，

llx+4v=10009x+7y=1000

x+y=1000

【详解】解：由题意可得：4

7+-y=999

97-

故本题选：A.

题型二常规类型的应用题

I.甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61

岁.”则乙现在为一岁.

【详解】解：设甲现在/岁，乙现在y岁，

y-U-y)=4x=42

由题意可得:解

x+(x-y)=61)，=23

故本题答案为：23.

2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7,若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所

得的数比原数大9,则原来的两位数是—.

【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为x,个位上的数字为），,

x+)'=7解得.卜=3

由题意可得:

l()y+x-(10x+y)=9>-[y=4

/.10x+y=10x3+4=34.

故本题答案为：34.

3.一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一

套糖果盒.现有35张铁皮，则用一张铁皮做盒身，一张铁皮做盒底，恰巧配套.

【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，

x+y=35x=15

由题意可得：解得:

2x20x=30yy=20

故本题答案为：15,20.

4.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上

一只鸽子对地上觅食的鸽子说「若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群畤若从树上飞下去

一只，则树上，树下的鸽子数一样多.”你知道树上有只鸽子，树下有只鸽子.

【详解】解：设树上有x只鸽子，树下有），只鸽子.

由题意可得:》'T=/+y）,解得：［*=7.

x-l=y+lla

故本题答案为：7,5.

5.某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小

相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分

钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生.

（1）平均每分钟一道正门和一道恻门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的

学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道

门是否符合安全规定？请说明理由.

【详解】解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，

x+2y=140（60

由题意可得：400，解得：一，八.

x+y=（y=40

答：平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生；

（2）符合安全规定，理由如下：

这栋大楼最多拥有学生数为45x8x4=1440（名），

10分钟可通过学生数为10x（l-20%）x（60x2+40x2）=1600（名），

VI6OO>I44O,

/.建造的这4道门符合安全规定.

6.如图，H，8两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到8地的距离是到A地距离的2倍，

现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到〃地，两次运输（第一次：A地->

食品厂，第二次：食品厂f3地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/

（千米・吨），铁路运费为1元/（千米・吨）.

（1）求该食品厂到A地，占地的铁路距离分别是多少千米？

（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？

（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出

的食品每吨售价是多少元？（利润=总售价-总成本-总运费）

,食品厂

----•-----9--------------•------

公路20km铁路100km公路3崛：

【详解】解：（1）设这家食品厂到A地的距离是X公里，到8北的距离是y公里，

=乙。+3。+加解得：x=50

由题意可得：

），=100,

/.5()-20=30,100-30=70,

答：这家食品厂到4地的铁路距离是30千米，到4地的铁路距离是70千米;

(2)设该食品厂买进原料机吨，卖出食品〃吨，

1.5x20•〃?+1.5x30•〃=15600Jw=220

由题意可得:解得:\n=200

1x30•///+1x70-/2=20600

答：该食品厂买进原料22()吨，卖出食品200吨;

(3)设卖出的食品每吨售价为a元，

由题意可得：200f-5000x220-156(X)-20600=863800,解得：a=l(XXX),

答：卖出的食品每吨售价是10000元.

题型三以几图形为背景的应用题

1.在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和

为()

A.48B.44C.36D.24

【详解】解：设小长方形的长为x?cm,宽为y?cm,

由题意可得：+解得：

x+y-2y=6[y=2

即小长方形的长为8cm,宽为2cm，

二.阴影部分的面积为14x(6+2x2)—6x8x2=44(c〃?2).

故本题选：B.

2.在长方形ABC。中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为CH.

【详解】解：设小长方形的长为XM,宽为ycm,

则AO=x+3y,AB=x+y=5+2y,

即x-y=5

x+3y=13t=7

由题意可得:，解得：.

x-y=5b=2

即C£=2a〃.

故本题答案为：2.

题型四以表格数据为背景的应用题

1.李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三

次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：

购买甲商品的数量购买乙商品的数量购买总费用

第一次55900

第二次671180

第三次981064

（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？

（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的?

【详解】解：（1）设甲商品的标价是x元，乙商品的标价是y元，

5X+5），=900x=80

由题意可得:,解得:

6x+7y=1180y=100

答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元；

（2）设商场是打机折出售这两种商品的，

由题意可得：9x80x0.bH+8xl（）0x0Jw=1064,解得：m=1,

答：商场是打7折出售这两种商品的.

2.某铁件加工厂用如图I的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖

式与横式两种无盖的长方体铁容潜（加工时接缝材料忽略不计）.

（1）填表：

长方形铁片张数正方形铁片张数

1只竖式无盖铁容器中

1只横式无盖铁容器中

（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式

长方体铁容器各有多少个？

（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒.现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来

加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张K方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张K方形铁片和2张正

方形铁片.问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒?

长方形铁片张数正方形铁片张数

1只竖式无盖铁容器中41

1只横式无盖铁容器中32

(2)设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个,

4x+3y=300x=60

由题意可得:解得:

x+2y=100y=20

答：可加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个；

(3)设用切块铁板裁成长方形铁片，〃块铁板裁成正方形铁片,

则用(35-/〃-〃)块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，

由题意可得：3…5-7…)=4"2(35-…,

42

6

：.n=—m-2i,

5

m,n,(35-m-n)均为非负整数，

m=25[w=20

〃=9[n=3

当m=25,〃=9时，3.+(35=3x25+(35-25-9)=19：

44

.P.QHi.3机+(35—m—n)3x20+(35—20—3)

44

.•.最多可以加工成19个铁盒.

题型五方案选择问题

1.小明购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据如表，解决下列问题:

学习用品单价数量金额(元)

中性笔326

自动铅笔4.5••

记号笔6••

笔记本•210

圆规13.51•

合计952

（1）小明购买自动铅笔、记号笔各几支？

（2）若小明再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同的购买方案？

【详解】解：（1）设小明购买x支自动铅笔，y支记号笔，

由题意可得:6：lXX13.5x1=52-解得:；：；

答：小明购买1支自动铅笔，3支记号笔;

（2）设购买〃?支中性笔，〃本笔记本，

由题意可得：3/n+—H=33,

2

33—5〃

m=-----,

3

乂•」，〃，〃均为正整数，

in=6..m=1

或，9

〃=3H=6

共有2种购买方案，

方案1：购买6支中性笔，3本笔记本:

方案2：购买I支中性笔，6本笔记本.

2.因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125

名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众.

（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众?

（2）若安排〃?艘小型船和〃艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案.

【详解】解：（1）设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐），名群众,

3x+2y=125x=15

由题意可得:解得:

x+3y=135y=40

答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众;

（2）由题意可得：15/n+40/7=500,

100-8/7

整理得:m=------

3

〃为非负整数,

m=28in=20..m=12,,m=4

〃=2或〃=5或或

n=8n=\\

有4种方案，分别为:

①安排28艘小型船和2艘大型船;

②安排20艘小型船和5般大型船;

③安排12艘小型船和8艘大型船;

④安排4艘小型船和11艘大型船.

题型六以表格呈现题干的应用题

1.根据以下素材，完成任务.

如何生产纸盒

素材I某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸

盒(单位cm)35

5()

50

35

45

竖式无盖横式无盖

素材2TJ仓库内现存有35a7?x35a〃的正方形纸板15()

张，35cmx50cm的长方形纸板300张，用库存纸35

板制作两种无盖纸盒.

素材3库存纸板用完后，采购部重新采购J'如图规格的

纸板，甲纸板尺寸为50(771X70(7〃，乙纸板尺寸为

8570

35cmx85cm，内纸板尺寸为35cmx7(kv«.采购70

甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被

50

墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不

甲乙丙

清，只知道百位和十位数字分别为1和4.纸板

裁剪后可制作两种无盖纸盒.

任务一若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板张，长方形纸板一张.

任务二根据素材1、素材2,求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完?

任务三根据素材I、素材3,若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完.请你能帮助

工厂确定丙纸板的张数.

【详解】解：(1)由题意可得：

•・•一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面：

2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面,

，共需要正方形纸板5个面，长方形纸板10个面，

故本题答案为：5,10；

(2)设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，

由题划得：］:解得:x=30

y=60

答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个；

(3)设竖式无盖纸盒。个，横式无盖纸盒。个，丙种纸板为(140+c)张,

4a+3b=400x2+300...”，8c

由题意可得：,解得：〃=244+空,

2b=(140+c)x2+3005

•.》，c为止整数，&9,

二.c=5或c=0，

.•.丙纸板为145或140张.

2.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计板材裁切方案？

素材1图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫

及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背40cm

尺寸为40(777X15(777»座垫尺寸为J靠背15cm

40cmx35cm.图2是靠背与座垫的尺寸

//।座垫35cm

示意图.

140cm

ffll图2

素材2因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，

只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫.已知该板材长为240。〃，宽为

40(7??.(裁切时不计损彩)

我是板材裁切师

任务一拟定裁切方案若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切

方法(可设裁切靠背〃?张，座垫〃张).

方法一：裁切靠背16张和坐垫。张.

方法二：裁切靠背一张和坐垫一张.

方法三：裁切靠背一张和坐垫一张.

任务二确定搭配数量若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？

任务三解决实际问题现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还

需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一

种裁切方案.

【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背，〃张，坐垫〃张,

由题意可得：15m+35〃=240，

48-3m

：.n----------->

7

,.•w,〃为非负整数,

m=16in=9

n=0n=3

.•.方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；

方法三：裁切旅背2张和坐垫6张；

故本题答案为：9,3；2,6；

任务二：50x240=240（张），

35+15

该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；

任务三：设x张靠背9张和坐垫3张.张靠背2张和坐垫6张,

9x+2y=500卜=42

由题意可得:3.r+6y=5(X)-8'”|^=61

•.•42+61=103（张），

.•・需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐

垫6张.

1.列春是甲型流感病毒的高发期.为做好防控措施，我校欲购置规格200加的甲品牌消毒液和规格500〃?/的

乙品牌消毒液若干瓶.已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液

和4瓶乙品牌消毒液需要110元.

（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；

（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000加，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两

种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；

（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使

用10加的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？

【详解】解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为X元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元,

由题意可得:解得

答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价珞为25元;

（2）设需要购买甲品牌消毒液〃?瓶，购买乙品牌消毒液〃瓶,

由题意可得：200〃7+500〃=4000,

整理得：m=20--n»

2

当〃=2时，m=20—*x2=15,

2

当〃=4时，"7=20-3x4=1。，

2

当〃=6时，=20—』x6=5，

2

方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；

方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；

方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；

（3）设购买甲品牌消毒液〃瓶，购买乙品牌消毒液q瓶，设使用/天,

10〃+25夕=2500①

由题意可得:

200〃+500〃=1000()/②

由①得：〃=缚£至③，

f2f

把③代入②得：200X州；54+5D0q=]00001,解得：，=5,

答：这批消毒液可使用5天.

2.根据以下素材，探索完成任务.

设计奖项设置和奖品采购的方案

某学校举