初中数学专项练习-二次根式的应用问题-专项培优

二次根式的应用问题-重难点培优

1.（太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的

行进速度可按公式V=再计算，其中V表示海啸的速度（〃而），d为海水的深度（/〃），g表示重力加

速度9.8〃”，.若在海洋深度98（）〃,处发生海啸，求其行进速度.

2.（普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：5=

Jp（P—a）（p—b）（p—c）（其中a,Ac为三角形的三边长，〃二""S为三角形的面积）.利用上

述材料解决问题：当。=遍，b=3,c=2花时.

（1）直接写出〃的化简结果为.

（2）写出计算S值的过程.

3.（瑶海区期中）（1）用“"V”填空.

|+12x|；6+32A/6X3：1+12Jlx|；7+72V7V7.

（2）由（1）中各式猜想a+匕与2属（〃20,b20）的大小，并说明理由.

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某同学在做一个面枳为1800c〃』，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少

厘米？

4.（南安市期中）如果一个三角形的三边长分别为〃、b、c,记〃二巴尹，那么这个三角形的面积5=

Vp（p-a）（p-6）（p-c）,这个公式叫“海伦公式若a=5,b=6,c=7,利用以上公式求三角形的

面积S.

5.（榆林月考）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为和324,/的正

方形木板，求剩余木料的面积.

32dm2

18dm2

6.（韩城市期末）如图，有一张边长为6Hc•加的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无

盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为求：

（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

（2）长方体盒子的体积.

7.（玉田县期末）已知长方形的长为小宽为〃，Ha=援，彳2,b=iV48.

（1）求长方形的周长；

（2）当SK方形=S正方形时，求正方形的周长.

8.（二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为184/和324/

的正方形木板.

（1）求剩余木料的面积.

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5d〃?，宽为的长方形木条，最多能截出块这样

的木条.

32dm2

18dm2

9.（瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数

称为数列），这个数列的第，？个数为心［（士¥）/，-（二"）”］（〃为正整数），例如这个数列的第8

V522

个数可以表示为%［（竽）J（Y）8］.根据以上材料，写出并计算：

V522

（1）这个数列的第1个数；

（2）这个数列的第2个数.

10.（红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成

该题.

一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为痢。〃的正方形，现将塑料容器的一部

分水倒入一个高为两。〃的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了同5?

（提示：圆柱的体积=巾2〃，其中，厂为底面的半径，h为高,7T取3）

（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；

（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径.

11.（金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=*（a+b+c）,则有下列面积公式：

S=JP（P-a）（P—））（P-c）（海伦公式）；

S=]丸02炉一（次+[-。2为（秦九韶公式）.

（1）一个三角形边长依次为5、6、7,利用两个公式分别求这个三角形的面积；

（2）一个三角形边长依次为迷、瓜V7,利用两个公式分别求这个三角形的面积.

12.（石鼓区校级月考）已知〃、b.c满足-2注|十收二+（c-3V2）2=0

（1）求〃、b、c的值.

（2）试问：以4、b,C为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三

角形，请说明理由.

13.（磐石市期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回撰动一

次所用的时间，（单位：$）与细线的长度/（单位：之间满足关系£=2TTJJ.当细线的长度为0.4加

时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

14.（椒江区校级期中）己知长方形的长。=2俪，宽力=之仞.

（I）求该长方形的周长：

（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长.

15.（颍泉区校级期中）阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记〃=色誓，那么这个三角形的面积S=

Jp（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积

的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦——九韶

公式”完成下列问题：

如图，在△AZ?C中，a=7,b=5,c=6.

（1）求△ABC的面枳；

（2）设4B边上的高为加，AC边上的高为力2,求加+/?2的值.

16.（武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为!河、6事、2XR

（1）求它的周长（要求结果化简）；

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.

17.（临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形A8CD的绿地，长方形绿地的长BC为标m,宽

AB为Gm,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（旧+

l）m,宽为（E-l）m.

（1）长方形ABC。的周长是多少？

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元〃/的地砖，要铺完整个

通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

18.（沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间/（单位:

s）和高度〃（单位：〃力近似腐足公式/=（不考虑风速的影响）

（1）从50/w高空抛物到落地所需时间n是多少s,从100〃?高空抛物到落地所需时间t2是多少s；

（2）Z2是，1的多少倍？

（3）经过1.5s,高空抛物下落的高度是多少？

严禁高空抛物

NoNglMimudepvaMk

19.（新蔡县期中）如图，面积为48mp的正方形，四个角是面积为3c7〃2的小正方形，现将四个角剪掉,

制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.

20.（尧都区校级月考）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.

斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这

列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称

为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，

在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐

波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中

也有广泛的应用.[1+­]—6

斐波那契数列中的第n个数可以用力[（一一）"-（"^尸]表示

（其中，应1）.这是用无理数表示有理数的一个范例.

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

二次根式的应用问题-重难点培优（解析版）

1.（太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的

行进速度可按公式V=再计算，其中V表示海啸的速度（〃而），d为海水的深度（/〃），g表示重力加

速度9.8〃”，.若在海洋深度98（）〃,处发生海啸，求其行进速度.

【分析】直接根据己知数据代入，化简得出答案.

【解析】由题意可得：g=9.8m/Pd=980处

则y=yfgd=V9.8x980=98（〃心），

答：海啸的行进速度为98〃心.

2.（普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S=

-a）（p-b）（p-c）（其中a,b,c为三角形的三边长，〃=上/，S为三角形的面积）.利用上

述材料解决问题：当。=向，b=3,c=2V5时.

（1）直接写出p的化简结果为_"等_.

（2）写出计算5值的过程.

【分析】（1）把〃、〃、c的长代入求出〃即可;

（2）把〃的值代入S计算即可得解.

【解析】（1）Va=V5,b=3,c=2后

a+b+c

：.p=-2-

75+3+275

2

34-3/5

-2

3+3点

故答案为:

2

(2)S=Jp(p—a)(p—b)(p-c)

13+3\'5,3+3y/5尼、/3+3«'50、/3+335、左、

=(2x(-2-------V5)(--------3)(—2-------2V5)

二(9-5)(5-1)

一J16

=炳

=3.

3.(瑶海区期中)(1)用“="、">"、“V”填空.

Rd?网6+3=2E1+j2ml7+7-2E

（2）由（1）中各式猜想a十〃与2同（«>0,的大小，并说明理由.

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某同学在做一个面积为1800（•〃内对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少

厘米？

【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论;

（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可;

（3）根据对角线互相垂直的囚边形面积=相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出

答案即可.

【解析】（1）V（J|-J|）2>0,

1111

--2-x-+->0,

2233

A21+31>2J[21XT1

1

同理得：6+3>2后彳矛l+1>21x|；7+7=2V7V7.

。\。5

故答案为：>，>，>，

（2）猜想：a+b22夜(心0,b,0).

理由是：••Z20,g0,

/.a+b-2Vab=(Va-Vb)2>0,

/.a+b22，^B；

(3)设AC=a,BD=b,

1

由题意得：-ab=1800,

2

3600,

.\t/+Z?>2x/3600,

・・.a+b2120,

，用来做对角线的竹条至少要120厘米.

4.(南安市期中)如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,记〃二驾”，那么这个三角形的面积S=

7p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式叫“海伦公式”.若〃=5,b=6,c=7,利用以上公式求三角形的

面积5.

【分析】直接求出〃的值，进而代入S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),求出答案.

【解析】当《=5,b=6,c=7时，p==5+心7=9,

S=，9(9-5)(9—6)(9—7)

=V9x4x3x2

=6vs.

5.(榆林月考)有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18而，和32而，的正

方形木板，求剩余木料的面积.

32dm2

18dm2

【分析】根据两个正方形木板的面积分别为184〃2和324〃2,分别求得18和32的算术平方根，则可得

两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案.

【解析】•・•两个正方形木板的面积分别为184信和32小〃之，

.二这两个正方形的边长分别为：V18=3V2(dm),V32=4x/2(dm),

工剩余木料的面积为：(4企-3a)X3V2=V2X3V2=6(dm?).

6.(韩城市期末)如图，有一张边长为6百0”的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无

盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小TF方形,此小正方形的边长为6，、，〃.求:

(I)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

(2)长方体盒子的体积.

【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；

（2）直接利用长方体的体积公式得出答案.

【解析】（I）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6V3）2-4X（V3）2

=108-12

=96（cm2）；

(2)长方体盒子的体积:(6v3-2V3)(6V3-2V3)xV3

=4V3x4V3xV3

=486（cm3）.

31

--

7.（玉田县期末）已知长方形的长为a,宽为b,22

（1）求长方形的周长；

（2）当S长方形=S正方形时，求正方形的周长.

【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案.

【解析】（1）*.*«=V12=373,b==2-73,

，长方形的周长是：2（a+b）=2（3V3+2V3）=10V3：

（2）设正方形的边长为x,则有7=a从

.*.x=yfab=436X2百=V18=3\/2,

二正方形的周长是4,v=12x/2.

8.（二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面枳分别为18册/和32%〃2

的正方形木板.

（1）求剩余木料的面积.

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为15dm,宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的

木条.

32dm2

18dm2

【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案;

（2）求出3日和日范围，根据题意解答.

【解析】（1）•・•两个正方形的面积分另U为1847和324〃之,

，这两个正方形的边长分别为3y/2dm和4adm,

，剩余木料的面积为（4V2-3V2）X3V2=6（而P）；

(2)4V3&V4.5,1<V2<2,

••・从剩余的木料中截出长为154〃，宽为〃的长方形木条.最多能截出2块这样的木条,

故答案为：2.

9.（瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数

称为数列），这个数列的第〃个数芸［（1+V51-V5

-----)n-<-----）〃］（〃为正整数），例如这个数列的第8

22

个数可以表示为［［（

）8］.根据以上材料，写出并计算:

22

（1）这个数列的第1个数;

（2）这个数列的笫2个数.

【分析】（I）把〃=1代入式子化简求得答案即可.

（2）把〃=2代入式子化简求得答案即可.

【解析】（1）第I个数，当〃=1时,

11+V51一再）.凤1：

小丁―一2

（2）第2个数,当〃=2时,

1*)21-V5

(------)

22

1]+61-V51+V51-V5

(-----+------)(---------------)

=不2222

1

=75xlxV5=1.

1（）.（红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列坡道颍,请你帮李梅完成

该题.

一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为困。〃的正方形，现将塑料容器的一部

分水倒入一个高为师”〃的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了同CM

（提示：圆柱的体积=其中，厂为底面的半径，h为高,TC取3）

（1）求从塑料容器中倒出的水的体积;

（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径.

【分析】(1)直接利用长方体体积公式得出答案；

(2)直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径.

【解析】(1)由题意可得：

^24xV224xV40=448^10(cw*123).

答：从塑料容器中倒出的水的体积为448gc〃居

(2)设圆柱形玻璃容器的底面的半径为广，根据题意可得：

nXrxV490=448x<10,

解得：/=缪.

答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为三一5?.

II.(金牛区校级月考)设一个三角形的三边长分别为。、b、c,(a+b+c),则有下列面积公式:

S=JP(P-a)(P—b)(P-c)(海伦公式)；

5=&[a2b2一伫£2)2](秦九韶公式).

(1)一个三角形边长依次为5、6、7,利用两个公式分别求这个三角形的面积；

(2)一个三角形边长依次为迷、瓜夕，利用两个公式分别求这个三角形的面积.

【分析】(1)把。、b、c的长代入求出2进一步代入求得S即可得解；

(2)把〃、b、c的长代入求出P,进一步代入求得S即可得解.

【解析】(1)P=1x(5+6+7)=9,

S=JP(P-a)(P-))(P—c)=V9x4x3x2=6V6；

S=J[。2炉一(^±^)2]=J[302一(25+[3)2]=J/x36x24=6前；

(2)P-a=i(V5+V64-V7)—>/5=i(x/64-V7—V5),

同理0・6=2(A/5—V6+V7),

P-c=|(V5+V6-V7),

所以，(V6+V7+V5)x1(V6+V7-V5)x1[V5-(V6-V7)][遥+(V6-v7)]

乙乙乙

=^x(8+2V42)(-8+2V42)

=x(168-64),

13

T-

s=J1[30-（5±1ZZ）2]=曲30-4）二亭

12.（石鼓区校级月考）已知4、5、c满足5-2&l+V^^+（C-3V2）2=（）

（1）求4、〃、C的值.

（2）试问：以4、6、。为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三

角形，请说明理由.

【分析】（1）根据非负数的性质来求〃、6C的值；

（2）三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边.

【解析】（1）V|a-2V2|+VF^5+（c-3V2）2=0,

/.a-2V2=0,y/b-5=0,c-3^2=0»

解得。=2或，〃=5,。=3或；

（2）以〃、〃、c为三边长能构成三角形.理由如下：

由（1）知，〃=2鱼，b=5,c=3y[2.

T5V2&+3e=5历UPb<a\c,

・••以4、权c•为三边长能构成三角形.周长=5+5企.

13.（磐石市期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一

次所用的时间/（单位：$）与细线的长度/（单位：〃力之间满足关系t=2;r居.当细线的长度为04”

时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

【分析】直接把/的值代入化简二次根式，即可得出答案.

【解析】由题意可得：/=2TTJ器。2X3.14X0.2

F.3,

答：小球来同摆动一次所用的时间是1.3秒.

14.(椒江区校级期中)己知长方形的长同，宽内.

(1)求该长方形的周长；

(2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长.

【分析】(1)利用长方形的周长公式列出代数式并求值；

(2)利用等量关系另一个正方形的面积=该长方形的面积列出等式并计算.

【解析】Va=V48=2\[3,b=1x^27=V3,

(1)长方形的周长=2X(i748+-V27)=2X(2V3+V3)=673；

23

(2)长方形的面积=28x75=6,

根据面积相等，则正方形的边长=遍，

所以，正方形的周长=4粕.

15.(颍泉区校级期中)阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为〃，b,c,记〃二驾龙，那么这个三角形的面积S=

JpQ—Q)(p-b)(p—C).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积

的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦——九貂

公式”完成下列问题：

如图，在△48C中，a=7,b=5,c=6.

(1)求△ABC的面积；

(2)设4B边上的高为例,4c边上的高为力2,求加+也的值.

【分析】(1)根据题意先求p,再将p，mb,。的值代入题中所列面积公式计算即可;

(2)按照三角形的面积等于底义高分别计算出用和力2的值，再求和即可.

【解析】解.(1)根据题意知〃=生等=9

所以S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=79(9-7)(9-5)(9-6)=6后

・•・△ABC的面积为6乃；

(2)*.*5=1c/?1=\bhi=6连

11f—

X6/JI=亍X5/?2=6X/6

22

.\/n=2V6,h2=噂■限

/./zi+/?2=等遍.

16.（武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为|倔、喧、2XR

（1）求它的周长（要求结果化简）；

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.

【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长.再运用二次根式的加减运算，先化为最简二

次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可.

【解析】⑴周长=+6t+2x4=2b+3爪+2五=7b.

（2）当x=4时，冏长=7X〃=I4.（答案不唯一）.

17.（临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形"CO的绿地，长方形绿地的长8C为标m,宽

43为现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（VH+

l）m，宽为（x/T5-l）m.

（1）长方形/WCO的周长是多少？

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/〃/的地砖，要铺完整个

通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

B1-----------------------------------'C

【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，冉利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可

得；

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，

【解析】（1）长方形A8C。的周长=2（V243+V128）=2（973+872）=1875+16&5?）,

答：长方形A8CD的周长是18V5+16&（加，

（2）购买地砖需要花费=5［用5X7128-（714+1）（714-1）］

=5［72V6-（14-1）］

=5（72乃一13）

=360