2026年高考数学复习（全国）重难点02 不等式恒成立、能成立问题7大题型（解析版）

重难点02不等式恒成立、能成立问题7大题型

【全国通用】

内容导航

1、不等式恒成立、能成立问题

一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问

题”是常考的重点、热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起火,其以覆盖

知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉

及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解

题能力和培养其思维能力都起到很好的作用，二轮复习时需要加强这方面的训练.

知识梳理

知识点1不等式恒成立、能成立问题

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数X恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式。必+队+c>0,它的解集为R

Ia>0

的条件为j△=/-4QCVO,

一元二次不等式at2+取+c2o,它的解集为R的条件为｛△=/：；cW().

一元二次不等式加^^+介。的解集为0的条件为｛-

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集旦上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，

谁就是参数.

①若ax2+bx+c>0恒成立，则有”>0,且A<0；若af+bx+c<0恒成立，则有a<0,且A<0.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离叁数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是叁数；一般情况二，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的

范围，涯就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求

解.

4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下:

(1)对任意的X恒成立=4次

若存在x有解=。次¥；

若对任意x£[m.n],。刁(x)无解=a(/⑴树山.

(2)对任意的[〃[,〃],a£/(x)恒成立=450””；

若存在x£[〃?,〃],。勺(%)有解心；

若对任意x£[〃?,〃]，。勺(x)无解=a

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】(2025•湖北黄冈•模拟预测)若“%€/?,X2一m》+2>0，，是真命题，则实数m的取值范围为()

A.(-2V2,2V2)B.[-272,272]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【解题思路】由判别式AV0即可求解.

【解答过程】由题意可得：△二m2一8<(),

解得：-2&Vm<2近，

所以实数m的取值范围为(-2或,2夜)，

故选:A.

【变式1-1](25-26高一上•江苏•期中)不等式心：2+k%+i工0对一切实数x都成立，则实数攵的取值范围

是()

A.(-oo,0]U[4,+oo)B.(-oo,0)U(4,+oo)

c.[0,4]D.(0,4)

【答案】C

【解题思路】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合一.次函数的性质进行求解即可.

【解答过程】当k=0时，原不等式变为1Z0,显然对一切实数都成立；

当我工。时，解得OS"

综上所述，实数A的取值范围是[0,4].

故选:C.

【变式1-2](2025・河南•模拟预测)已知命题“^^^。-^^^〈。”是假命题,则实数m的取值范围为

()

A.[0,4]B.(0,4)C.[0,2]D.(0,2)

【答案】A

【解题思路】已知原命题为假命题，那么它的否定"％GR,x2-mx+m>0”为真命题.对于一元二次函数y=

x^-mx+m,要使其对于任意实数x都大于等于0,则需要考虑其判别式A的取值范围.

【解答过程】已知原命题为假命题，那么它的否定“VXWR/2一mx+mzo”为真命题.

对于一元二次函数y=x2-mx+m,要使其对于任意实数%都大于等于0.

因为y=/—mx+m20恒成立，所以A40,即血2一4mW0,解得0WmW4.

故选：A.

【变式1・3】(25・26高一上•宁夏银川•期中)对于任意实数%,不等式(。-2)/-2(。一2)%-4〈0恒成立,

则实数a的取值范围为()

A.{a\a<2}B.{a\a<2}

C.{a|-2<a<2}D.{a|-2<a<2}

【答案】D

【解题思路】分a=2与aH2讨论即可得.

【解答过程】当a=2时，可得-4V0,符合题意；

当a工2时，需使/=[-2(a-2：]22)•(-4)<0,解得一2<a<2；

综上，实数a的取值范闱为{。|一2<。42}.

故选：D.

【题型2一元二次不等式在某区间上恒成立问题】

【例2】（25・26高一上•贵州六盘水•期中）一元二次不等式/-7取-1W0在区间［2,4］上恒成立，则实数m

的取值范围是（）

A，E尚15

71，+8）Df，+8)

【答案】D

【解题思路】参变分离可得mN在区间［2,4］上恒成立，结合函数的单调性求出,即可得解.

【解答过程】因为“2-m%-140在区间［2,4］上恒成立，

所以42-1wmx在区间［2,4］上恒成立，

即m工X在区间［2,4］上恒成立，

又），=%与y=-：均在区间［2,4］上单调递增，

所以y=在区间［2,4］上单调递增，所以卜一工的

所以泽即实数m的取值范围为厚,+8）.

故选：D.

【变式2-1］（25-26高三上•北京西城•月考）若Ux£（l,+8）,不等式/一（1++（1+m）20恒成立,

则实数”的取值范围是（）

A.（—8,2］B.［2,+oo）C.（—8,3］D.［3,+co）

【答案】C

【解题思路】分离参数，结合基本不等式求m的取值范围.

【解答过程】因为不等式X2一（1+机伙+（1+血）20,当x>l时恒成立，

所以（m+l）（x-1）<x2=m+l<—.

x-1

当%>1时，==ICr-D-n］2（_）_L>2限-1>1+2=4,

x-lx-1x=-1X1++2x-1

当且仅当x=2时取等号.

所以m+1<4=>m<3.

故选：C.

【变式2-2］（25-26高一上•江苏南通期中）当工€（-1,1州寸，不等式2k好一一：<。恒成立，则k的取值

O

范围是（）

A.(-3,0]B.[-3,0)C.(-3,1)D.(一词

【答案】D

【解题思路】先对二次项系数进行分类，结合二次函数的图像性质即可求解.

【解答过程】当不€（-1,1）时，不等式2依2-收一恒成立，

O

当A=0时，满足不等式恒成立；

当AW0时，令人%）=2-2一匕一"则/（幻<0在（一1,1）上恒成立,

O

函数/⑺的图象抛物线对称轴为“"，

k>o时，函数/外开口向匕在（-1*）上单调涕减，在6,1）上单调涕增,

则有《3，解得1

[fW=2k-k-l<08：

kvO时，函数/（%）开口向下，且/•（%）在（一13）上单调递增，在6,1）上单调递减,

则有/（?=意一K<0,解得一3VA<0.

综上可知，A的取值范围是（-3,

故选:D.

【变式2-3］（25-26高一上•安徽芜湖•月考）设0<x<g,若关于工的不等式2—2一（4+3）%+220恒成

立，则实数A的最大值为（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】B

【解题思路】根据题意整理可得苧，换元令t=2-3,结合基本不等式运算求解即可.

2x4-x

【解答过程】因为2依2一世+3〃+220,可得4（27-x）23%-2,

1

且O<X<

2-x=x(2x-1)<0,可得々2茨;3、

^t=2-3xG(|,2),则“芋

"寻"三福号=一/=二可通'

因为t+；22卜.；=2,故5—2(t+；)wi,因此---7-pr>9,

，7£Vt/5-2(C+7)

当且仅当t=;,即t=l,%=[时，等号成立，

可得k49,所以实数*的最大值为9.

故选：B.

【题型3给定参数范围的不等式恒成立问题】

[M3](25-26高一上•云南红河•月考)当0WmS3时，不等式好一(m+2)%+m-3Vo恒成立，则x

的取值范围为()

A.(-1,5)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,5)

【答案】C

【解题思路】结合题意利用主:元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即

可.

【解答过程】因为当OWmW3时，不等式%2一(m+2)x+m-3<0恒成立，

所以32—mx—2x+zn—3<0恒成立，整理得(1—x)m+x2—2x—3<0恒成立，

令/(m)=(1-+X2-2X-3,则一；C；

(3)=3—3x+xz—2x—3<0

解得“£(0,3),则工的取值范围为(0,3),故C正确.

故选：C.

【变式3-1](25-26高一上•黑龙匚哈尔滨•期中)若三。£[1,2],使得关于a的不等式+%一。+i2。成

立，则实数x的取值范围为()

A.x<-1>0B.x<-1>j

C.x>1D.x<1

【答案】A

【解题思路】将问题转化为f(a)=(x2-l)a+x+l,结合函数单调性求出/'(a)在[1,2]的最大值大于等于0

即可求解.

【解答过程】将不等式。/+%-。+120变形为：a(x2-l)+x+l>0,令/'(a)=(d一i)a+%+1,所

以/Xa)是关于a的函数；

当x=-1时。，/(a)=0>0满足条件；

当《=1时，/■(a)=2Z0满足条件；

当戈2—1<0时,即一1<%<1时，f(a)在[1,2]上单调递减,

2

若三ae[1,2],使得关于Q的不等式ax?+x-a4-i>o成立，M/(a)max=fW=x-l+x+l>0,解得:

x<-1或x>0,

由于-1<1,MO0<x<1；

当%2-1>0时，即3<-1或%>1时，f(a)在[1,2]上单调递增,

若三aE[1,2],使得关于a的不等式a/+x-a+1>0成立，则/'(a)max=/(2)=2x2-2+x4-1>0,解

得:x<-1或%>

由于％<-1或%>1,则不<-1或%>1：

综上，实数x的取值范围为：工工-1或％20：

故选:A.

【变式3-2](25-26高一上•湖北随州期中)若不等式》2一。为216-31一4。对任意。€[—2,4]恒成立,则

x的取值范围为()

A.(-8,-8]U[3,+8)B.(-8,0)U[1,+8)

C.[-8,6]D.(0,3)

【答案】A

【解题思路】首先不等式看成关于a的不等式，再根据定义域，列式求解.

【解答过程】不等式整理为关于。的一元一次不等式(4一%)。+/+3%-1620,QW[-2,4]恒成立，

(4-x)-(-2)+X2+3X-16>0x<-8或%>3_门「r

一，得无工一8或不岂3,

(4-x)-44-x24-3x-16>0IX40或％之1

所以X的取值范围是(一8,—8]U[3,4-oo).

故选：A.

[变式3-3](24-25高一上•贵州•期中)已知集合力={t|t2-5t-6<0},对于任意的£GA,不等式/+tx-

t>2x-l恒成立，则实数x的取值范围是()

A.(1,2)B.(-oo,1)u(1,+co)

C.(-5,2)D.(一8,-5)U(2,+8)

【答案】D

【解题思路】根据题设有力={t|-l<t<6},且。-1)(%-1+t)>0在££4上恒成立，讨论X>1、％=1、

xvl求实数x的取值范围.

【解答过程】由题设4={t|(t-6)(t+1)<0}={t|-1<t<6},

由公+tx-t>2x—1,即(x—l)(x-14-t)>0在£6A上恒成立，

当x>l时，1+£>0=x>1-M亘成立，此时x>2,

当x=l时，不等式不成立，

当xV1时，x-l+t<0=>x<l-t恒成立，此时工<-5,

综上，实数x的取值范围是(一%-5)U(2,+8).

故选：D.

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例4】(25-26高一上•山西太原•期中)若存在％WR,使得不等式匕2一收一成立，则实数k的取值

范围是()

A.(—co,—4)B.(0,+8)C.(—4,0)D.(―8,—4)U(0,+8)

【答案】D

【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.

【解答过程】当k=0,则履2一^一1二一1>0,在XWR上显然不成立，

当AH0,则A>0或[A得k>0或ZV-4,

综上，实数k的取值范围是(-8,-4)U(0,+8).

故选：D.

【变式4-1](25-26高一上•天津武清,期中)若命题使得x2+2以+2a+3V0”为真命题，则实数

。的取值范围是()

A.{a|QV—1}B.{CL|-1WaW3}

C.{。佃<一1或。>3}D.{可1一日WQW1+?}

【答案】C

【解题思路】根据题意，关于无的不等式%2+2QX+2a+3V0有解，则对应二次函数的判别式△>0,解关于a

的不等式即可.

【解答过程】因为FxWR,使得炉+2ax+2a+3V0”为真命题,

则&=(2a)2-4(2a+3)>0,即小-2a-3=(a4-l)(a-3)>0,

解之得{a|a〈一1或a>3},即C正确.

故选：C.

【变式4-2](25-26高一上•天津南开•月考)若关于x的不等式/+2%+9<血2+27n有实数解，则实数〃?

的取值范围是()

A.(-co,-4)U(2,+oo)B.(-8,-4]U[2,+oo)

C.(-4,2)D.(-8,-2川[4,+8)

【答案】A

【解题思路】设f(x)=%2+2x+9,若要使不等式%2+2x+9<m2+2m有实数解；贝<7*+2m：

然后根据一元二次不等式解出答军.

【解答过程】设/a)=/+2x+9,

若要使不等式+2%+9<?n2+2m有实数解：

则需要满足f(%)min<m2+27n即可，

又/(%)=/+2%+9=(%++8,

则/COmin=f(-1)=0；

则8<?n2+2m,解得m<-4或m>2；

故选：A.

【变式4-3](24-25高一上•山东济南•期末)若mxeR,mx2+2(m-3)x+4<0,则实数m的取值范围为()

A.(L9)B.(-oo,0)C.(-oo,l)U(9,+oo)D.(-oo,1]U[9,+oo)

【答案】D

【解题思路】分zn=O,mV0和n>0三种情况分类讨论，其中当zn>0时，利用判别式列不等式求解即

可，最后求并集.

【解答过程】当m=0时，不等式为-3X+2W0,即工二,，显然一3x+240在％WR有解，符合题意；

m±0,命题FxeR,mx24-2(m-3)x+4<0”为真命题,

当执VO时，对于抛物线y=m%2+2(m—3)%+4,开口向下，

显然7nx2+2(巾一3)%+440在工€R有解，符合题意；

当m>0时，对于抛物线y=TH/+2(m-3)%+4,开口向上，

只需A=[2(77i-3)]2-4x4xm>0,解得m<1或m>9,

又仇>0,所以0〈小工1或血29,

综上，实数m的取值范围是mW1或m之9,即m£(—8,1]u[9,+8).

故选：D.

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例5】（25・26高一上•湖北孝感•期中）当14x43时，关于%的不等式%2-以+420有解，则实数a

的取值范围是（）

A.a<4B.a<-4>4

C.a<5D.a<^

J

【答案】c

【解题思路】根据题意参变分离得aw|x+斗，再根据对勾函数求最值即可.

xJmax

【解答过程】由1&%工3时，/-。％+4工0有解，

所以awk+2],

x」max

又下=x+:在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，

且x=1时，y=5,%=3时，y=

所以a<x+-]=5.

故选：c.

【变式5-1]（25-26高一上•黑龙匚•期中）若存在“G[-2,0],使得%2一2%+5-mVO成立，则m的取值

范围为（）

A.?n>13B.m>4C.m>5D.m>8

【答案】C

【解题思路】将问题转化为m>（d-2%+5幻而，利用二次函数性质求解最值即可.

【解答过程】存在％6[-2,0],使得%2一2%+5-加<0成立，

所以m>（%2-2x+5）min，XG[-2,0],

由二次函数的性质可知y=X2-2X+5在[-2,0]上单调递减，

所以当％=0时，函数y=必一2K+5取得最小值5,所以7九>5.

故选：C.

【变式5-2]（25-26高一上•天津南开•月考）设aWR,若关于％的不等式工2-以+120在1工工42上有

解，则（）

A.a<2B.a>2

C.a<|D.a>|

【答案】C

【解题思路】通过分离参数，得到々工3+：,由对勾函数单调性求得/(%)=%+：最大值即可求解.

【解答过程】由、2—Q%+I?0,

得到a<x+-»

X

由题意QW(X+3,

\x/max

令/co=x+%由对勾函数单调性可知/(幻在口,2]上单调递增，

即最大值为/(2)=|,

所以QW|,

故选：C.

【变式5-3](25-26高一上•江西赣州•月考)当1WXW4时，关于x的不等式d-7n又一小十玷工0有解

的充要条件是()

A.mG(-co,+5]B.mG[6,4-co)

C.mE[7,+oo)D.znG[8,+co)

【答案】B

【解题思路】参变分离得到mN(正手)，换元，利用基本不等式求出(斗)=6,从而得到答案.

\x+1/min\x+1/min

【解答过程】x2-mx-m+15<0=>m(x4-1)>X24-15=>TH>1<x<4,

关于x的不等式%2-mx-m+15<0有解，故m>(答)即可，

令t=x+1G[2,5],则x=t—1,

(1)2+15=岸_2“16=t|162二2K2=6,

tttyjt

当且仅当£=手，即£=4,x=3时，等号成立，

所以mN6,故充要条件为mE[6,+8).

故选：B.

【题型6基本不等式中的恒成立、有解问题】

【例6】（2025•吉林延边•一模）已知正实数x,y满足无+y-彳xy=0,且不等式％+y-a>0恒成立，贝UQ

的取值范围是（）

A.Q<2B.a<8C.a<6D.a<4

【答案】B

【解题思路】对题目等式变形得1+1=3再利用乘“1”法即可得到答案.

xy2

【解答过程】因为正实数满足x+y-gxy

则：x+y=2（无+y）&+；）=2〔2+j+J工8,

当且仅当％=y=4时取等号，因为不等式x+y-a>0恒成立，所以QV8.

故选：B.

【变式6-1]（24-25高一上•江西南昌•期中）若两个正实数％,y满足」+£=1,且不等式％+：<瓶2-36

xy4

有解，则实数m的取值范闱是（）

A.{m\—1<m<4}B.{m|mV-4或m>1}

C.（m\-4<m<1}D.{m\m<-1或m>4}

【答案】D

【解题思路】首先将原问题转化为（"+?询”<m2-3m,再利用基本不等式的知识求出％+；的最小值即可.

【解答过程】•••不等式4+孑Vm2-3m有解，

4

•••（X+<m2—3m,

\"mb:

i4

・•・co,y>0,;+-=l，

•■-X+4=（X+4）G+J）=7+£+2-2J^£+2-4'

当且仅当竺=F，即x=2,y=8时，等号成立，

y4x/

:.m2—3m>4,（m+l）（m-4）>0,in<-1或m>4,

二实数m的取值范围是{m|m<-1或TH>4}.

故选：D.

【变式6-2]（2025•江西•一模）已知正数x,y满足％+y=6,若不等式Q4二+二恒成立，则实数。的

取值范围是,

【答案】（-8,4]

【解题思路】将条+.变形为X+1+W-2+'+2+W-4=3+S？+^，利用均值不等式求止7+七

的最小值即可求解.

【解答过程】因为x+y=6,

所以£=夕+金=(x+1广-2(x+l)+l。+2尸一4。+2)+4

x+1y+2

1414

=>+1+有-2+、+2+丽-4=3+肉+近

所以』+示意=3+三岛+日

号+禹+髭4+2墙x舞=4,等号成立当且仅当y=4,x=2，

所以（A+9）mM=%Q”

故实数4的取值范围是（一8,4].

故答案为：（一8,4].

【变式6-3]（25-26高一上•陕西宝鸡•期中）已知x>0,y>0,且％+y=1,若m?+3m4：+,亘成立，则

实数771的取值范围是.

【答案】[-6,3]

（解题思路】利用“乘1法”和基本不等式的性质，病+3m"+勺恒成立=7n2+3m<（-+-）再解不等

Xy口y，min

式即可.

【解答过程】・・3>0,y>0且x+y=l,

(x+y)(-+-)=10+-+^>10+2l—x^=18.

xy\xyJyxylyx

当且仅当％=J,y"时取等号.

OJ

若执2+3m工2+&恒成立，.•./+3mW(2+，

XyHmin

m2+3m<18,即得(m+6)(m-3)<0解得一6<m<3.

故答案为：[—6,3].

【题型7不等式恒成立、能成立问题综合】

[例7](24-25高一上•北京•月考)已知命题pT%ER,(m+l)(x2+1)<0,命题q:VxeR,x2-mx4-1>0

恒成立.若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为()

A.[2,+8)B.(-1,2]

C.(-co,-2]U[2,+co)D.(-c»,-2]U(-1,+oo)

【答案】D

【解题思路】根据条件，先求出命题p和命题q同时为真命题时m的取值范围，再求其补集，即可求解.

【解答过程】当命题P为真命题，即三不6R,使(m+1)(%2+1)wo成立，得到m+iwo,即加工一1,

当命题q为真命题，即对Vx€R,好一7nx+1>o恒成立，得到△=巾2一4<0,

即-2<mV2,

所以当命题p和命题q同时为真命题时，有{_；寓;2,即一1，

又命题p和命题q至多有一个为真命题，所以m<-2或771>-1,

故选：D.

【变式7-1](24-25高一上•河北•月考)设命题p：对任意—1WXW1,不等式好一2工一4+巾<0恒成立；

命题/存在04无工1,使得不等式勿一2Nm2-36成立，若p,夕中至少有一个是假命题，则实数，〃

的取值范围为()

A.{m\m<-1}B.{mlO<m<3}

C.{?n|0<zn<1]D.(—co,0)U[1,4-oo)

【答案】D

【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时mV1,解二次不等式可得命题q等价于OW771s3,可求p,

g都是真命题m的范围，进而可得答案.

【解答过程】若p为真命题，即对任意—1WXW1,不等式%2-2%一4+由<0恒成立，

2

等价于当一1二工41时，m<(-X+2x+4)min，

当一1WxW1时，-X2+2%+4=—(%—1)2+5之一(—1-1)2+5=1,

即(一+2x+4)min=1，所以mVl：

若，/为真命题，即存在04%41,不等式2工一2二m2一3771成立，

等价于当0WxW1时，(2乃一2)max>rn2-3m.

由于OWxWl,-2<2x-2<0,所以7712-37九W0,解得0WmW3.

若P，夕都是真命题，则{07：[3=04m<l；

所以，若命题p,g中至少有一个是假命题，则m<0或mNl.

即THG(—00,0)U[1,+co),

故选：D.

【变式7-2](25・26高一上•天津南开•期中)己知关于”的不等式0%2-2%-。+1<0.

(1)是否存在实数Q，使不等式对任意XWR恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于Q6[-1,1]恒成立，求实数x的取值范围；

(3)若存在xG⑵+8)使不等式成立，求Q的取值范围.

【答案】(1)不存在，理由见解析；

(2)(—1+百,2)；

(3)(-oo,l).

【解题思路】(1)分Q=0和QH0讨论，当QH0时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案;

(2)变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可；

(3)分离参数得av古,冉利用换兀法并结合函数单调性即可得到答案.

【解答过程】(1)当a=0时，-2%+1V0不恒成立；

当aHO时，若不等式对于任意实数x恒成立,

则需QV0且△=4一4Q(1-a)=4(。2一。+1)<0,无解,所以不存在实数a,使不等式恒成立.

(2)设/•(a)=(%2-i)a-(2x-l),当aW[-1,1]时，f(a)V。恒成立.

当且仅当BP|X2t2\-2°»解得卜：一1一千或卜:一I+/,

(/⑴V。Ix2-2%<0(0<x<2(0<x<2

所以》的取值范围是(一1+V3,2).

(3)因为xW[2,+8),所以a<7万.

设加=2%-l(m>3),x2-l=-丁3,

所以a<4—=T—.

m^+2m-3；n—m

设0(m)=m+2(mN3),显然g(m)在[3,+8)上为增函数,

所以g(m)>g(3)=4,所以一<1,

所以a的取值范围是(一8,1).

22

【变式7-3](24-25高一上•河北张家口•月考)已知函数/'(%)=2d-2ax+2-Q2,^(X)=%+3x-a

4(Qe/?).

(1)当a=l时，解不等式f(x)>g(x)；

(2)若对任意4>0,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围：

(3)若对“i6[0,1],班2€[0,1],使得不等式/(修)>9(小)成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴{%忱>3或XV2}；

(2)(-oo,V6-|)；

(3)(-8,4).

【解题思路】(1)利用十字相乘的方法解二次不等式即可；

(2)利用参变分离的方法解恒成也问题，其中最值可由均值不等式求得；

(3)将问题转化为分类讨论求山fG)min，再解f(X)mE>仪》日由范围即可・

【解答过程】(1)当a=l时，/(x)>2x2—2x+1>x24-3x—5,

所以X2-5%+6>0,所以(％-3)(X—2)>0,所以％>3或x<2,

所以不等式/(%)>g(x)的解集为上比>3或x<2}.

(2)“对任意%>0,都有/(%)>g(x)恒成立”等价于“对任意%>0,都有％+：-3>2。恒成立”,

因为%>0时，x+--3>2口一3=2a一3(当且仅当戈=述时等号成立)，

XYX

所以2aV2乃一3即aV乃一|,

所以实数Q的取值范围是(一8,遍—|).

(3)因为对\/中£[0,1]»3.r2(=[0,1],使得不等式fQi)>g3)成立,

所以不等式/aDminAga”总，

因为9(x)=x2+3x-a2—4=(x+1)2—a2——,

24

所以y=g(x)在[0,1]单调递增,

所以g(x)min=9(°)=-十-4.

因为f(x)=2x2—2ax+2—a?=2(x—^)24-2—军,

所以当£<0,即QVO时，y=/(x)在[0,1]单调递增，

所以/a)min=，(°)=2-Q2,

则2-次>—a2—4成立，故a<0；

当即0WQW2时，/a)mm=f《)=2一手，

由2—苧〉一。2一4得一VQV2逐，所以0VQV2：

2

当慨>1,即a>2时，/(x)mjn=/(l)=-a-2a+4,

由-a2-2a+4>-a2-4得a<4,所以2Va<4.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,4).

课局是升练

一、单选题

1.（2025•陕西咸阳•二模）己知命题FxER,使％2+%+。―240”是假命题，则实数Q的取值范围是（）

A.（-oo,0）B.[0,4]C.[4,+oo）D.Q,+oo）

【答案】D

【解题思路】由题意可知命题d+%+。-2>0”为真命题，可得出△<（）,可得出实数a的取值范

围.

【解答过程】因为命题TATER,使/十工十。一24o”是假命题，

则命题“VxWR,%2+%+。-2>0”为真命题，则△=l-4（a-2）=9-4a<0,解得a>苫，

4

故实数Q的取值范围是（｝+8）.

故选：D.

2.（25-26高一上•湖北武汉・月考）设x>0,y>0,且不等式[ax+y）G+；）W9有解，则正实数Q的取

值范围是（）

A.a>4B.0<a<2C.0<a<4D.a>2

【答案】C

【解题思路】先利用基本不等式，用a表示式子（。％+、）6+3的最小值，再令该最小值不大于9,求a的取

值范围即可.

【解答过程】x>0,y>0,a>0,

・•.（ax+y）©+3=a+1+?+彳Na+1+24弓=（Va+l）2（当且仅当号=学时取等号），

又（ax+y）G+j）W9有解，，（口+I）2工9,解得：0VaW4.

故选：C.

3.（2025・重庆♦一模）已知Q€R,则“无2+2%+Q>0的解集为R”是“Q>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由不等式/+2工+。>0的解集为区可得4<0,即可求解.

【解答过程】因为不等式%2+2X+Q>0的解集为R,所以4—4Q<0,所以Q>1,

所以％2+2x+Q>0的解集为R”是“a>0”的充分不必要条件.

故选：A.

4.(25・26高一上•福建•期中)已知存在工€卜1,三,使得“2-2工之加2-2瓶成立，则m的取值范围是().

A.[0,2]B.[-1,3]C.[1,|]D.[0,+8)

【答案】B

【解题思路】将问题转化为/。)„^工机2一2小，结合二次函数的单调性即可得解.

【解答过程】依颍意，令/•(x)=%2-2-W卜1,3

则/■。)=%2-2%=(工一1)2-1,其图象开口向上，对称轴为x=l,

所以函数/(乃在区间[-1,1]上单调递减，在区间[1图上单调递增，

X/(-1)=(-1)2-2X(-1)=3,/Q)=(1)2-2X|=-1,

M/«max=/(-D=3,

囚为存在％e使得“2-2x>m2-2m成立,

所以/(x)max2血？一2m,BR3>m2-2m,BP(m4-l)(m-3)<0,解得一lWmW3,

所以m的取值范围是[-L3].

故选：B.

5.(24-25高一上•江苏南通・期中)Vx€(-1,+8),/+(1_幻无+1_人N0恒成立，则实数k的取值范围

为()

A.(-co,-1]B.(-oo,0]C.(-3,1]D.(-oo,l]

【答案】D

【解题思路】将问题转化为k<X•对于％G(-1,+8开亘成立，进而由正今1=%+1+^--1结合基本不

X4-1X+1X+1

等式求解即可.

【解答过程】由d+(1一口无+l—kN0,且％+1>0,得攵三巴彳，

则问题转化为Z<募二对于％e(-1,+8)恒成立,

又立手=(X+1)2-(：+1)+1_L_>2i(x+l)---1=1,

x+ix+i=X+1x++i1'x+i

当且仅当x+l=」-,即％=0时等号成立，

x+l

i

所以k<(77T)m.n=1，即实数k的取值范围为(一8,1].

故选：D.

6.(24-25高一上•安徽池州•期中)已知%>0,y>0,且X+y=5,若言+*N2m+1恒成立，则实数

m的取值范围是()

A.(一8高B.(-co,|C.(-co,D.(-oo,4］

【答案】A

【解题思路】由已知条件得出(x+l)+(y+2)=8,将代数式之■+-7与+1)+(7+2)］相乘，展开后

x+iy+zo

利用基本不等式求出工+工的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.

【解答过程】因为无>0,y>0,且％+y=5,则x+1+y+2=8,

则丝0,生1>0,

x+1y+2

所以去+a=5(言+W)［a+i)+(y+2)J=《［5+瞽+氏］

4(y+2)_x+1

(x+l)+(y；2)=8时，

(x>0,y>0

即当“岸，号时，所以六+盍的最小值%

因为W+塌"租+1恒成立'所以2n2+1/解得m共，

所以实数m的取值范围是(-8,目

故选：A.

7.(24-25高三上•山西•月考)若不等式(ax-1)(%-匕)NO对任意的XWR恒成立，则4a+b的最小值为

()

A.2V2B.4C.5D.4V2

【答案】B

【解题思路】由不等式恒成立，确定Q>0,且:=b,再由基本不等式即可求解.

【解答过程】当a=0时，一0-力)之0不可能对任意的工€区恒成立，不满足要求，

当QVO时，y=(ax-l)(x—8)开口向下，不满足题意，

所以Q>0,

令(ax-l)(x-b)=0,得=b，

当％1=0时,不等式(ax-l)(x-b)>0对任意的％GR恒成立，

所以工二b,即ab=l,且Q>0,匕>0,

a

所以4a+b22v4a•1=4,当且仅当4a=b,即a=g,b=2时，等号成立，

所以4a+匕的最小值为4.

故选：B.

8.(2025•云南昭通・模拟预测)已知函数/(")={1；(；?：；袅?？，若对于任意的实数x,不等式16/(2%-

a)<f(x2+2)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.口,+8)B.[1,2]C.[-1,+oo)D.[2,+8)

【答案】D

[解题思路】结合题意16/(2%-a)</(x2+2)=A4化为/(2%-a)<^,即/(2x-a)</(y+2),根据f(%)

是R上的增函数，得2X-QW=+2对无恒成立，进而利用判别式法求解即可.

【解答过程】由题意得/(%)=[(”-2)2；*'2,如图所示，

(-(x-2)2,x<2

因为%2+2>2,所以f(%2+2)=[(x2+2)-2]2=x4,

所以16/(2%-a)</(x2+2)=x4,即/'(2x-a)<77,

16

因为得+2之2,所以原不等式化为/(2x—a)4/(亍+2),

2

由图可知/(%)是R上的增函数，所以2%-a4亍+2对无£R恒成立，

所以％2-8%+4。+8工0,则△=64-4(4Q+8)W0,即Q工2.

故选：D.

二、多选题

9.(25-26高一上・江苏扬州•期中)若关于%的不等式%2+(1-k)%+k-1工0在(1,+8)上恒成立，则实

数A的可能取值为()

A.7B.5C.3D.-2

t答案】BCD

【解题思路】先进行参数分离，再用基本不等式求最小值，进而可得.

【解答过程】由+(I-k)x+k-I20,且所以

X—1

则问题转化为k-1<三对于％6(1,+8)恒成立.

X—1

又二=x+1+,=%-1+—+2>2(X-1)X—+2=4,

x-lx-lx-l'X-1

当且仅当％—1即x=2时等号成立.

所以k—144,即实数上的取值范围为(—8,5],

结合选项可知A错误，BCD正确.

故选：BCD.

10.(24-25高一上•广东湛江•月考)已知不等式工2-。%-。+1之0在无€[0,3]上有解，则实数。的取值可

以为()

A.a=2B.Q=|C.a=3D.a=5

【答案】AB

【解题思路】变换得到QW鲁在[0,3]上有解，设X+1=3则£W[1,4],得到y=£+：—2,根据对勾函

数的单调性计算最值得到答案.

【解答过程】由—Q%—Q+120,即％2+12。(％+1),xG|0,3]»

故a<在xW[0,3]上有解，

设x+1=3则£