整式的乘除（知识+15题型+分层检测）原卷版-2025-2026学年七年级数学下册（北师大版）

整式的乘除（必备知识+15题型+分层检测）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解零指数暴、负指数:幕的意义及其成立条件，体会哥的四种基本运算（同底数辕的乘除、哥的乘方、

积的乘方）之间的整体联系与内在逻辑。

2.能用科学记数法表示绝对值较小的数，并准确进行相关计算。

3.理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的实法法则，能熟练运用分配律、结合律进行

整式乘法运算。

4,掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，理解其几何与代数意义，并能运用公式进行整式乘法运算

和化简。

5.能依据整式除法法则进行单项二邙余以单项式、多项式除以单项式的运算，并解决相关的化简与求值问题。

知识图造梳理•固基岫

同底数号的乘法性质：同底数禀相乘，底数不变，指数相加

寡的斐方法则：募的乘方，底数不变，指数和乘

幕的运算,枳的乘方法则：积的英方，等于把积的每一个因式分别乘方，乏

把所得的易相奏

间底数号的除法：间底数号唱除，底数不变，指数唱，咸

冬指敬熹、负指数黑

T零指数寻、负指数寻、科学记数星H科学记数法

单项式乘法法则：单质式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对

于只在一个里项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项

整式的乘除式，即组项式与多项式相乘，就是用空项式去乘多项式的每一项，再把

所得的积相加

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一〜项式的

抵一项，再把所得的积相加

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积.等于这两个数的平方差

一乘;去公式-完全平方公式:两数和（差）的平方,等于它们的平方和,加（减）它们根的2倍

单项式+单项式：系数相除，同底薮墓指数相减，独含字母照掾

-I整式的除法

多项式+单项式：各项分别除单项式再求和

教材要点精析•夯重点

知识点（）1幕的运算

1.同底数塞的乘法性质：（其中加，〃都是正整数）.即同底数暴相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数哥是指底数相同的第，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质，即。4〃=4""…（〃7,小P

都是正整数）.

2.同底数塞的乘法的逆用公式：把一个累分解成两个或多个同底数暴的积，其中它们的底数与原来的底数

相同，它们的指数之和等于原来的哥的指数.即/+"=4'd（加，〃都是正整数）.

3.嘉的乘方法则：伍"）=腔〃（其中〃7,〃都是正整数）.即基的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：公式的推广：（（/'）"）〃=""”（。工0,〃?,〃,〃均为正整数）

4.塞的乘方法则逆用公式：根据题目的需要常常逆用塞的乘方运算能将某些塞变

形，从而解决问题.

5.积的乘方法则：（aby=an-bn（其中〃是正整数）.即积的费方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的哥相乘.

要点诠释：公式的推广：（abcy=a^bn-cn（〃为正整数）.

6.积的乘方法则逆用公式：。7"=（。8）"逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数

（1V0（1V0

时，计算更简便.如：IjJx210=^-x2j=1.

7,同底数塞的除法：（其中矶〃都是正整数）.即同底数晶相除，底数不变，指数相减.

要点诠释：（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）逆用公式：即（相，〃都是正整数）.

知识点02零指数器、负指数幕、科学记数法

1.零指数嘉：q°=1（a#0）

2.负指数塞：=5（。#0,P是正整数）

3.科学记数法：我们可以利用10的负整数指数辕，用科学记数法表示一曲绝对值较小的数，即将它们表示

成"io•〃的形式，其中〃是正整数，l<|a|<10.

知识点03整式的乘法

1.单项式与单项式相乘：

单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,

连同它的指数作为积的一个囚式.

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指

数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式：

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.

2.单项式与多项式相乘：

单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就

是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（。+加。）加=。川+加?+“7

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序.

3.多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

即（a+b）=am+an+bm+bn

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多

项式项数的枳；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两

个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即（卢4）（/方）=9+（a+力/时

对于i次项系数不为1的两个一次二项式(〃a+。)和(〃x+b)相乘可以得到.

知识点04乘法公式

1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(”+6)(〃-〃)="一〃

公式的几种变化：

①位置变化：(b+a)(f+a)=(a+b)(a~b)=a2-b2；

(-a~b)(a~b)=(-b~a)(~b+a)=(~b+a)(~b~a)=(-Z>)2-a2=b2-a2

②系数变化：(2a+3b)(2a-3b);(2a)2-(3b)2=4a2-9b2

③指数变化：(/+〃)(a2-b2)=(/)2一(加)2=a4-b4

④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2

2222

⑤连用公式变化:(a+b)(a-b)(a+h)=(a-b)(/+〃)=(/)2_(〃)2=/-/

⑥公式逆运算：a2~b2=(a+b)(a-b)

2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,力口(减)它们积的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ah+b2；完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

(2)公式的变化：①/+〃=(〃+力产_2成；②/+"=(〃-〃)2+2成：③(“+力产=(“寸产+4"；

④(a-b)2=(♦+6)2-4血⑤(a+6)2-(a")2=4M.

知识点05整式的除法

(1)单项式♦单项式：系数相除，同底数塞指数相减，独含字母照搬

(2)多项式♦单项式：各项分别除单项式再求和

(3)易错：漏符号、漏单独字母、指数算错

■2,又

考点题型突破•拓思维

【题型一判断整式运算是否正确】

【例1】(2026七年级上•重庆・专题练习)下列各式运算正确的是()

A.(-w2)=m6B.3〃/-2阳'=6/C.m+2ni2=3w'D.+(-〃?)=一2〃?~

【变式1・1】(25-26八年级上•天津和平•期末)下列计算正确的是()

A.B.(—3a)"=6a'

C.(-2x)(/一%)=一2/一2/D.(67+2)(2-67)=4-672

【变式1-2](25-26八年级上•黑龙江伊春•期末)下列计算正确的是()

A.2/(-3"+2/)=6。%+4/B.(-3«2/)3)34-9a3=-3aV

C.a2+a6=D.(-w+zz)~=-w2+n2

【变式1・3】(25-26八年级上•天津滨海新•月考)下列运算中，正确的是()

A.xyX2=x4B.(x+y)(x-^)=x2+y2

C.x(x-2)=-2x+x2D.3xT+(盯2)=3X，

【题型二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】

【例2】(25-26八年级上•广东江门•月考)下列各式可以用平方差公式的是()

A.(-a+4c、)(a-4c)B.(-34-

C.(x-2y)(2x+y)D.(-2x-y)(2x+y)

【变式2-1](25-26八年级上•云南昆明•期末)下列式子中，不能用平方差公式运算的是()

A.(a+b)(a-b)B.(一4+力)(一〃一/?)

C.(a+b)(-a-b)D.(a+b)(-a+b)

【变式2-2](25-26八年级上•山东济宁・周测)下列运算正确的是()

A.(x+j/)(^-x)=x2-y2B.(-x+y)2=-x2+2xy-y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y2D.(x+y)(-y+x)=x2-y2

【变式2・3】(24-25八年级上♦江西南昌•期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(2a-3b)(-2a-3b)B.(Q+3b)(q+3b)

C.(。-3b)(a+3Z?)D.(3a-4b)(4a+3b)

【题型三累的混合运算及逆运算】

【例3】(25-26七年级上•上海闵行•期末)计算：(一2，)'+(-3/)2-(一.丫)3.》+(-/).

【变式3-1](25-26八年级上•河北廊坊•月考)计算：

⑴a，cr+(2*4-(-*3

⑵2（/）3一/./+（_2/『+〃2

【变式3・2］（25-26八年级上•新疆阿克苏•月考）计算：

（1）已知.d=64,X"=8,求/…的值；

（2）已知2"=a,2"=力，求2.+”的值

【变式3・3］（25-26八年级上•湖南衡阳•月考）⑴己知产=6,£=2,求①尸②的值.

（2）己知人-2y-1=0,求2'+4vx8的值.

【题型四零指数累、负整数指数塞综合计算】

【例4】（25-26八年级上•青海海东•期末）计算：（-1）2°”+（兀-2）°+（；）二

【变式4・1】（25-26八年级上•北京海淀•期末）计算：（-1）2+（九-2026）°+（；）.

【变式4-2］（25-26八年级上•福建福州•期末）计算：卜3|+（-1产6、（兀-

【变式4-3］（25-26八年级上•甘肃陇南•期末）计算：-I2+（71-3.14）°+（-2）3.

【题型五用科学计数法表示绝对值小于1的数】

【例5】（25-26八年级上•云南昆明・期末）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是

0.0000000816米，0.0000000816这个数字用科学记数法可表示为.

【变式5-1］（25-26八年级上•新疆吐鲁番•期末）我国研究团队攻克了基带加工过程中的关键技术难题，成

功将哈氏合金轧制成厚度仅0.000046m,宽度0.012m,长度超2000m的超长超薄金属基带，基带表面粗

糙度小于20nm,光洁如镜，并具有优异的热稳定性和力学性能.数据0.000046用科学记数法表示为

【变式5-2］（25-26八年级上•黑龙江齐齐哈尔•期末）“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹

开这是清朝袁枚的一首诗《苔》.苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示C.0000084为

m.

【变式5・3】（25-26八年级上•黑龙江牡丹江•期末）我国科研团队制备出亚Inm（纳米）栅极长度的晶体管,

其物理栅长为0.00000000034m，0.00000000034用科学记数法表示为.

【题型六完全平方式中的字母参数问题】

【例6】（25-26八年级上•山西临汾•期末）若/+〃a+25是完全平方式，则〃?的值是.

【变式6-1］（25-26七年级上•上海杨浦•期末）若关于x的整式妙4+/+16是某一个整式的平方，则。的值

是.

【变式6-2］（25-26八年级上•黑龙江伊春•期末）若产-2（机+3）X+16是完全平方式，则加=.

【变式6-3］（25-26八年级上•四川眉山•月考）己知4/+依+9是一个完全平方式，那么〃的值为.

已知"是含字母x的单项式，要使多项式I6/+M+1是某个多项式的平方，则M为.

【题型七已知多项式乘积不含某项求字母的值】

【例7】（25-26八年级上•河北廊坊•期末）若（3x+2）（x-m）的展开式中不含x的一次项，则实数加的值为

【变式7・1】（25-26八年级上•四川资阳•期末）若计算（1+力（2/+奴+1）的结果中含f项的系数为一2,则〃

的值为.

【变式7・2】（25-26八年级上•广东汕头・期末）要使（履+2加2+、_1）展开式中不含、2项,则左的值等于.

【变式7-3］（25-26七年级上•重庆・期末）已知彳=2f+"一小8=-％+1,。=21+31+5.若48+C的值

与工的取值无关，则当x=-2时，4的值为.

【题型八整式乘除混合运算】

【例8】（25-26八年级上・甘肃天水•期末）化简：［（x-y『+（x+y）（x—y）］+2x.

【变式8-1］（2025・重庆・模拟预测）计算：3（X+j）2-（2x+y）（-y+2x）+（2x2y+?）-^x

【变式8・2】（25-26八年级上•河北廊坊•期末）计算：

（l）2a（a-l）+（a+3）（a-3）；

（2）（448-6a2b2+12ab3）+（-2"）.

【变式8・3】（25-26八年级上•天津红桥,期末）计算：

⑴（8x3-6x3y2）+（-2。2）.

（2）4（X+1）2-2（X+2）（2X-4）.

【题型九整式乘法混合运算---化简求值】

【例9】(25-26八年级上•四川眉山・期末)先化简，再求值：[l：x+2y)2—"+)，)(3工一外一51/]+(一：%)

其中x=2025,y=2026.

【变式9-1](25-26八年级上•重庆北硝•期末)化简求值：[(x+2yy+(x—3y)(x+3p)—5〃2x—y)]+2x,

其中x=(-l)\y=(-2『.

【变式9-2](25-26八年级上•吉林长春•期末)先化简，再求值：

(2A+^)(2x-y)-(x-2y)2+(6.r4-10x2y2)-s-(-2x2),其中x=Ly=-3.

【变式9-3](25-26八年级上•山东济宁・周测)化简求值：[(2*+y『—(2x+y)(x—y)—2』]+(—2y),其中

【题型十利用乘法公式简便运算】

【例10】(25-26八年级上•甘南金昌•期末)用简便方法计算：

⑴482+96x52+52?；

(2)30.252-20.252.

【变式10・1](25-26七年级下•全国•课后作业)用简便方法进行计算:

(1)172+102+32.

(2)9x11x101x10001.

【变式10-2](25-26八年级上•山东济宁•周测)计算:

⑴2022+404x198+1982

(2)2023x2025-2024?

⑶K—7+3)(x+y—3)

【变式10・3](25-26七年级下•全国•课后作业)运用平方差公式计算:

(1))97x203.

(2)99.8x100.2.

(4)——......

2026x2024+1

【题型十一通过对完全平方公式变形求值】

【例11](25-26八年级上•湖南衡阳•期末)已知。+8=5,融=6,求下列各式的值:

(1)/+〃；

(2)a-b.

【变式11-1](25-26七年级上•上海•期中)已知用+〃=5,〃〃?=一3,

⑴求0〃-2)(〃-2)的值

(2)求(/H-H)2

【变式11-2](25-26八年级上•江西南昌•月考)已知x+N=7,封=9,求下列各式的值.

(\)x2-2xy+y2；

⑵I*+/0

【变式11-3](25-26七年级下•全国・周测)已知t+y=3,9=-7,求：

(1)/+/的值.

⑵—一个+V的值.

⑶J-a的值.

【题型十二多项式乘法中的规律性问题】

【例12】(25-26八年级上•河南信阳•月考)观察下列各式.

(A-I)(X+1)=X2-I

(A-1)(X2+X+1)=X3-1

(A-1)(X3+X2+X+1)=X4-1

⑴根据以上规律，则(》一1乂'6+/+/+工3+/+工+])=.

(2)你能否由此归纳出一般规律(xf(/+x”T+,♦・+x+l)=；

(3)根据以上规律求：52必+52023+§2022+…+52+5的结果.

【变式12・1](24-25七年级下•山西太原•月考)①16x14=224=1x(1+1)x100+6x4

@23x27-621-2x(2+1)x100+3x7

③32x38=1216=3x(3+1)x100+2x8

（1）按照上面的规律，迅速写出答案.

81x89=；

73x77=；

45x45=；

64x66=.

（2）用公式（％+。）（.丫+6）=/+（。+5）工+"证明上面所发现的规律.

【变式12・2]（25-26七年级上•河北保定・月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图

表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”.

1

1I……（a+b?=a1b

121……（4+6）2=。2+2"+〃

1331.....（a+b）i=^^a2b-^-3ab2+b3

I4（）4I.....（a+b）A=o4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

此图揭示了（。+8）"（〃为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：

（1）请在图中括号内的数为；

（2）,+。户展开式中共有项，第19项系数为；

（3）根据上面的规律，写出（〃+a6的展开式：；

（4）利用上面的规律计算：35-5x34+10x33-10x32+5x3-1;

【变式12-3]（25-26八年级上•山东日照・月考）阅读材料-：①+与”可以展开成一个有规律的多项式：

（〃+人）=〃+/）：

2

（4+6）2=+2ab+b；

（a+4=/+3/6+3"2+63；

A

（a+8）4=/+4a»+6Q%2+4a/P+b；

阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化.下面我们依次对

展开式的各项系数进一步研究发现，当〃取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它

上方两数之和.例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应（。+3-=/+2,力+从展开式中的系

数.

（a4-/?）°=I1

=a+h11

（a-^-b）2=a2+2ab+b2121

=ay+3a2b+3ab2+by1331

（4+Z））4=/+4Q%+6Q方1+4。//+/14641

（a+-/））5=a5+5a4b+1Oa3b2+1Oa2b3+5ab4+b515101051

（1）观察（a+8『的展开式，各项系数和是;猜想多项式（a+与"（〃取正整数）的展开式的各项系数之

和（结果用含字母〃的代数式表示）：

（2）利用材料中的规律计算：

①写出（a-2b）s的展开式

@25-5x24+10x23-i0x22+5x2-1

【题型十三单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】

【例13】（25-26八年级上•陕西安康•期末）对联是中华传统文叱的瑰宝.如图所示，对联装裱后卷轴的总

宽度为〃，总长度为川，对联上方留白称为天头，长为6a,下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之

比为3:2,左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的《

卷轴宽6

大头K&J

卷

轴

长

劭

（1）这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为，横向宽度为:（用含。、b的代数式

表示，并将结果化为最简）

（2）求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积.（用含。、力的代数式表示，并将结果化为最简）

【变式13-1］（25-26八年级上•新疆吐鲁番・期末）如图，有一块长（3。-5am、宽的长方形地块,

现计划在中间修筑一个长。m、宽（a-26）m的长方形塑像基台1空白部分），其余部分（阴影部分）铺上

草坪.(a>2b)

（1）用含a,b的代数式表示草坪的面积：（结果需化简）

（2）当。=25,力=5时，求草坪的面积.

【变式13-2］（25-26八年级上•陕西榆林・期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进

行包裹.现有一本数学课本（如图1）,其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm.小军用一张长方形纸（如

图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的

边长（xcm）即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含/的代数式表示，并化为最简）

（1）图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为cm,宽为cm；

（2）求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积.

【变式13・3］（25-26八年级上•贵州黔西•期末）如图1,吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙,

顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与

自然融为一体.如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：〃?）.

图1图2图3

（1）请用含字母。，力的代数式表示图3的面积.

（2）若。=-2,8=4,此时图3的面积是多少平方米?

【题型十四乘法公式中几何图形的应用】

【例14】（25-26八年级上•云南文山・期末）如图1,从边长为4的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,

然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示.

图1图2

（1）根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式：_；

（2）应用以上公式，解答下列问题：

①已知x-2y=3,x+2y=5,求『-外？的值；

②计算：2025?-2026x2024；

【变式14・1］（24-25七年级下•广东河源•期中）从边长为。的正方形中剪掉一个边长为"的正方形（如图

1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

<---------------A/----------------------A

ha

图2

(1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）.

A.a~-2ab+b2=(a-b)~

B.«2-b2=(a+b)(a-b)

C.a'a人—+

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值；

②计算：…（「募）（」募）

③计算:（局（吗）（1+邪+扑上

【变式14・2］（25-26八年级」二•广东潮州・期末）【阅读材料】若x满足（区一丫）（—3）=4,求（gr『+（x-3）2

的值.

解：设8-x=a,x-3=b.则（8-x）（x-3）="=4,a+b=8-x+（x-3）=5,

.■,（8-X）2+（X-3）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2x4=\l.

【类比探究】解决下列问题：

（1）若“满足（5-x）（x-3）=l,则（5—x）2十（3-xp的值为

（2）若（〃—2022）2+（2025—〃『=4,求（〃-2022）（2025-〃）的值.

【拓展应用】

（3）已知正方形力8C。的边长为X,E、尸分别是力。、。。上的点，且力石=1,CF=3,长方形EMQ的

面积是24,分别以历尸，。尸为边长作正方形MERN和正方形GFQ”.求阴影部分的面积.

FDR

【变式14・3］（25-26八年级上•吉林・期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式.

（1）观察图①，请写出/+/,。+上时之间的等量关系是「

(2)若x+y=6,xy=7,则/+/的值为」

(3)如图②，点C为线段48上的一点，分别以4C,8。为边在48异侧作正方形力COE和正方形4bG,

连接若正方形4COE和正方形8C户G的面积之和为20,X尸的面积为4,那么48=_：

(4)若(2026—〃?『+(,〃-2025『=9,写出(2026_w)(w_2025)的值为

【题型十五整式的运算中的新定义型问题】

【例15】(24-25七年级下•浙江杭州•期中)爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出”平衡多项式”

的定义：对于三个多项式：x+a,x+b,x+c(a,b,。都是非零常数)，当+—(X+Q)(X+C)是

一个常数机时，称这样的三个多项式是平衡多项式，加的值是平衡因子.

(1)根据方方同学给出的定义，判断x+2,x+3,x+l是不是平衡多项式？说明理由.

(2)已知x-2,x+c,x+2是平衡多项式，求平衡因子〃儿

【变式15-1］(25-26九年级上•宁夏吴忠•期中)［项目学习］配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指

将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数

式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

例如，把二次三项式2x+3进行配方.

解：x2-2x+3=x2-2x+l+2=(x2-2x+\)+2=(x-\)2+2.

我们定义：一个整数能表示成/+/(a,力是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美

数”例如，5是“雅美数”.理由：因为5=22+/.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数)，

所以“也是“雅美数”.

(1)［问题解决］4,6两个数中的“雅美数”是.

(2)若二次三项式/-6X+13(x是整数)是“雅美数”，可配方成(工-〃"+〃(加，〃为常数)，则，〃〃的值为

多少？

⑶［问题探究］已知S=x2+4y2+gr_i2y+&(.r,y是整数,〃是常数且"G,要使S为“雅美数”,试求出

符合条件的A-值.

【变式15・2］(25-26八年级上必川达州•开学考试)【定义理解】对于两个正数。，可。工1),定义一种新

的运算，记作〃(。⑼，即：如果那么例如：,.•33=27,“(3,27)=3

【问题初探】

根据你对定义的理解，请填空；？7(2,4)-；7(2,16)-；V(2,64)-

【归纳猜想】

先观察〃（2,4）,〃（2J6）与〃（2,64）=的结果之间的关系.再观察三个数4,16,64之间的关系.试着归纳:

【初步应用】

如图,大正方形48CO的边长为“，小正方形CGFE的边长为〃，若〃，

〃（2,〃?+〃）=4,〃（2,p）=5,求图中阴影部分的面积.

【变式15・3］（25-26八年级上•北京•期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对十关

于）的多项式f-2x+3,由于丁-2x+3=（x-1『+2,所以当x-l取任意一对互为相反数的数时，多项式

F一2x+3的值是相等的，例如，当工-1=±1,即x=2或x=0时，V-2x+3的值均为3；当汇-1=±2,即

x=3或一1时，/一2x+3的值均为6.

于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当X—取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等,

就称该多项式关于x=f对称.例如x2-2x+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

⑴多项式--6工+10关于工=对称；

⑵若关于x的多项式/+2区+3关于x=4对称，则6的值为；

⑶整式（/+6N+9乂/+2》+1）关于、=对称.

分层阶梯训练•提能力

基础巩固通关测

一、单选题

1.（25-26九年级上•重庆开州•期中）下列计算正确的是（）

A.B.(/『aC.3d+/=3aD.(a+l)2=a2+l

2.（25-26八年级上•云南昆明•期末）2023年10月15日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米

级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在（）.（）000（）04米至0.（）00001米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成

像.用科学记数法表示0.0000004正确的是（）

A.4xl（）9B.4xl07C.4x10-9D.4x10。

3.（25-26八年级上•河南鹤壁・月考）若代数式（2x+2）（3x+〃?）-2x（3x+6）的值与x的取值无关，则常数用

为（）.

A.1B.2C.3D.4

abx-22

4.（25-26八年级上•甘肃陇南•月考）规定工=。八加，若0=4,则——以=：）

ca3x-2

A.2B.4C.6D.8

二、填空题

5.（25・26八年级上•广东潮州•期末）计算：（-*'=.

6.（25・26八年级上•广东广州,期末）已知，=4,=5,求（"广的值为.

7.（25-26八年级上•四川南充•期末）已知〃?+〃+3=0,则2m的值为______.

8.（25-26八年级上•北京•期末）如图，正方形44CQ的边长为x,其中4=5,JC=3,两个阴影部分都

是正方形且面积和为60,则重叠部分E/Q/的面积为.

三、解答题

9.(25-26八年级上•全国・期末)计算:

(l)|-3)2+(^-3,14)°+f-->|+(-5)2

<5/

⑵

10.（25・26八年级上•四川资阳・期末）先化简，再求值：［a+2j，）（x-2y）+x（x-4y）+4（x-y）1+6x,其中

x=2,y=-\.

11.（25-26八年级上•甘肃武威・期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动

成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要.如图，长为"+防，宽为〃+2〃的长方形是某校劳动实践基

地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为。和力的正方形区域，用于摆放劳动教育

相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区.

（1）用含。、力的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）；

（2）若。=10米，6=5米，求实际劳动展示区的面积.

12.（25-26七年级上•新疆・月考）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代

数恒等式.例如图1可以得到+图2可以得到+基于此，请解

答下列问题：

【直接应用】（1）若x+），=3,/+y2=5,则孙=:

【类比应用】（2）①若（."3）（x—4）=l,则（X—3）2+（X—4）2=；

②若x满足（3-4x）（2x-5）=g,求（3—4x）2+4（2x-5『的值；

【知识迁移】（3）两块相同的直角三角板（4408=/。0。=90。）如图3所示放置，其中4。，。在一直

线上，连接力C.BD.若力。niaS-x+S△叼。=68.请直接写出△〃）内的面积.

图1图2图3

能力提升进阶练

一、单选题

1.（25・26八年级.匕陕西安康,期末）计算“2・（-2■2）的结果是（）

A.-6xyy2B.6xyy4C.-6x2_y4D.6x3y2

2.（25-26八年级上•重庆•月考）下列计算正确的是（）

A.B.（3/丫=知

C.D.（fl+1）2=fl2+1

3.（25-26八年级上•大津・月考）已知/=3,/=2,则（）

329

-C--

A.4B.3D.8

4.（25・26八年级上•黑龙江牡丹H期末）已知“=（；）为=（-2）2,。=（乃-2）°,则"，。的大小关系为

（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

5.（24-25七年级下•全国•课后作业）已知4=+〃[-〃，B=-5m,C=\Om3+5m2-3m+4.若A・B+C

的值与〃?无关，则。的值为（）

A.-B.-C.3D.5

55

二、填空题

6.（25-26八年级上•四川泸州•期末）计算：（6/—3。8）+3。=.

7.（25-26八年级上•全国・期末）华为Maze60A•。搭载的华为麒嶙9000S芯片应该达到或者接近7纳米工艺

制程.7纳米也就是0.00（）00（）0（）7米，用科学记数法表示0.000（）00007为.

8.（25・26七年级上•江苏•假期作业）若Q=2"，b=3,c=5”,d=6"，则a,b,c,d的大小关系

是.（提示：x>