初中数学专项练习-平行四边形的性质与判定-大题专练-专题培优

平行四边形的性质与判定大题专练一重难点培优

解答题（共30小题）

1.（江汉区期末）如图，E,尸是团A8C。对角线8。上两点，且

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）连接AC,若/R4/=90',AB=4,AF=AE=3,求AC的长.

2.（灯塔市期末）如图，点3、£分别在AC、DP上,4"分别交及入CE于点、M、N,NA=NP,ZC=

ZD.

（1）求证：四边形BCEO是平行四边形；

（2）已知。£=3,连接8M若BN平分/DBC,求CN的长.

3.（新丰县模拟）已知，如图，在团ABCQ中，延长A3到点E,延长CO到点凡使得连接七兄

分别交3C,AD于点M,N,连接AM,CN.

（1）求证：4BEM注ADFN；

（2）求证：四边形AMCN是平行四边形.

4.（建邺区二模）数学课上，陈老帅布置了一道题目：如图①，在△人8C中，入。是BC边上的高，如果

AB+BD=AC+CD,那么A6=AC吗？

悦悦的思考：

①如图，延长至点E,使延长。C至点F,<CF=CA,连接4E、AF.

②由AO是K/7的垂直平分线，易证

③由NE=N"，易证N48C=NAC8.

④得到AB=AC.

如图②，在四边形A8C。中，AD//BC,AB+AD=CD+CB.

求证：四边形ABC。是平行四边形.

图①图②

5.（海陵区校级期中）团ABC。中，AE平分NBA。交8c于E,。为AE中点，连接8。并延长交A。于F,

连接EF.

（1）判断四边形A5E尸的形状并说明理由；

（2）若AB=2,/。=60°,当△BFC为直角三角形时，求△〃「（?的周长.

6.（秦淮区二模）图，点£、厂分别在团A8CQ的边A3、CD的延长线上，且BE=DF,连接AC、EF、AF.

CE,AC与EF交于点0.

（1）求证：AC.E尸互相平分；

（2）若EF平分NAEC,判断四边形AEC/的形状并证明.

7.（鄂城区期中）如图，在△A8C中，ZBAC=90°,ZB=45°,BC=\0,过点A作AO〃8C,且点。

在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点。从点。出发沿

射线C8方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E,使得QE=2,连结PE,设点〃的运

动时间为，秒.

（1）若PE1BC,求B。的长；

(2)请问是否存在/的值，使以A,B,b〃为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出/的值；若

不存在，请说明理由.

8.(赣榆区期中)如图，在团A8CO中，石为BC边上一点，且A8=A£

(1)求证：△4BC0Z\E4。；

(2)若NB=65°,ZEAC=250,求NA2。的度数.

9.(西湖区校级月考)如图，在AABC中，已知/ACB=9(T,。是6c的中点，CE=BE,CE//AD

(1)求证：OE=4C；

(2)连结人七，若人C=2,BC=6,求△人房的周长.

10.(岱岳区三模)如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AD=BC=2AB,尸是AD的中点，作CE_LA8,

垂足E在线段A8上，连接Er、CF.

(1)若NADC=80°,求NECF；

11.(南充模拟)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZC=90°,BC=CD,点E,尸分别在边8C,CD

上，

且BE=DF=AD,AF与。£交于点G.

(I)求证：AB=BF.

(2)当4B=5或,AD=2V5,求。G的长.

12.(从台区校级期末)已知：如图，在RtAACB中，NAC3=90"，点。是A3的中点，点E是CQ的

中点，过点。作CF〃A8交AE的延长线于点F.

(1)求证：XADE9XFCE，、

(2)求证：四边形ACF。是平行四边形.

(3)若/。C尸=120°,DE=2,求8C的长.

13.(青羊区期末)如图，在四边形A8C。中，点E和点尸是对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,

且DF//BE.

(1)求证：四边形A8CO是平行四边形；

(2)若NCEB=2NEBA,BE=3,EF=2,求AC的长.

14.(莲湖区期末)如图，在平行四边形48CO中，E、/分别为边AB、C。的中点，8。是平行四边形A8CO

的对角线，AG/78O交。的延长线于点G.

(1)求证：四边形BE。尸是平行四边形.

(2)若AE=DE,求NG的度数.

D

C

15.（扬州）如图，团48CO的对带线AC、8。相交于点O,过点。作EELAC,分别交48、DC于点、E、

F,连接AF、CE.

（1）若0E=",求E尸的长;

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.

16.（两江新区模拟）如图，在平行四边形A8CQ中，F,G分别是CD,48上的点，且AG=CE连接

FG,8。交于点0.

（1）求证：（）B=OD：

（2）若NA=45°,DB1.BC,当CO=2在时，求0C的长.

17.（龙岗区校级期末）如图，四边形ABCO中，交4。于点G,。凡LAC于点八已知4户=。石,

AB=CD.

（1）求证：四边形A8CO是平行四边形；

（2）如果NGBC=NBCD,AG=6,GE=2,求A4的长.

18.（祁江区二模）如图，平行匹边形4BC。中，点E、”分别在边8C、AZ）上，EA1AC,FC1AC.

(1)求证：AABEgACDF；

(2)若N8=30°,ZAEC=45",求证：AB=AF.

19.(九龙坡区校级期中)如图，平行四边形ABC。中，分别过A,C两点作CF1BD,垂足分

别为E,F,连接CE,AF.

(1)求证：BE=DF；

(2)若A8=4,EF=痘,NAT石=45°,求△48。的面积.

20.(朝阳区校级月考)如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC//FD,AO交BE

于点O.

(1)求证：AO与8E互相平分；

(2)若44J_4C,AC=BF,BE=8,FC=2,求48的长.

21.(扬中市期末)如图，在四边形ABCO中，对角线AC、BQ相交于点O,OA=OC,AB//CD.

(1)求证：四边形A8C。是平行四边形；

(2)若8七平分NA8C,交A。-卜E,BC-AB=2,求DE长.

(3)若NAO3=2N4O4时，则平行四边形48。。为形.

22.(高新区期末)如图，四边形4BCD中4C、8。相交于点。，延长AZ)至点E,连接E。并延长交C8

的延长线于点“，NE=NF,AD=BC.

（1）求证：。是线段AC的中点：

（2）连接AF、EC,证明四边形AFCE是平行四边豚

23.（江都区二模）如图，四边形A4CO为平行四边形，E为的中点，连接AE并延长交OC的延长线

于点F.

（1）求证：△ABEgAFCE；

（2）过点。作。G_LAE于点G,"为OG的中点.判断。〃与OG的位置关系，并说明理由.

24.（建平县期末）如图，在四边形48C。中，AD//BC,AD=\2cm,BC=15cm,点、P自点A向。以lcm/s

的速度运动，到。点即停止.点。自点。向8以2cm/s的速度运动，到8点即停止，点P,Q同时也

发，设运动时间为，（5）.

（1）用含，的代数式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=.

（2）当/为何值时，四边形/1PQB是平行四边形？

（3）当，为何值时，四边形POCQ是平行四边形？

25.（锦江区期末）如图1,在平行四边形A3C。中，过点A作AEJ_8c交于点£,连接£。，且七。

平分NAEC.

（1）求证：AE=8C；

（2）如图2,过点。作。尸交。^于点尸，连接AHBF,猜想AAS尸的形状并证明.

rD「D

BT©5"7c

图1图2

26.（道里区三模）已知：在平行四边形ABCO中，对角线4c与BD相交于点0,点E、尸分别为0B、

。。的中点，连接4E并延长至点G,使EG=AE,连接CHCG.

（I）如图1,求证:EG=FC.

（2）如图2,连接4G、OG,在不添加任何辅助线的情况卜，请直接写出图中的四个平行四边形，使

写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形A8C。面积的•半.

27.（南关区校级期中）如图，在四边形/WCD中，Z4=Zfi=ZBCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=S.延

长8C至使CE=3,连接。石，由直角三角形的性质可知。E=5.动点夕从点8出发，以每秒2个

单位的速度沿8C-CO-OA向终点A运动，设点P运动的时间为/秒.（r>0）

（1）当，一3时，BP-；

（2）当，=时，点P运动到NB的角平分线上；

（3）请用含，的代数式表示AABP的面积S；

（4）当0<fV6时，，直接写出点尸到四边形ABE。相邻两边距离相等时/的值.

备用图

28.（江夏区期末）已知，在囿48CQ中，AE_LBC于点£,A尸_LCO于点REAE=AF.

（1）如图1,当£C=4,A£=8时，求团ABC。的对角线8。的长：

（2）如图2,若点M为。。的中点，连接EM,AM.求证：AM=EM.

29.(沙坪坝区校级月考)如图所示，在平行四边形ABCD中，ND4C=60°,点E是8c边上一点，连

接AE,AE=AR,点下是对角线AC边上一动点，连接

(I)如图1,若点尸与对角线交点0重合，已知BE=4,OC：EC=5：3,求AC的长度；

(2)如图2,若EC=FC,点G是AC边上一点、,连接4G、EG,已知NAEG=60°,ZAGB+ZBCD

=180°,求证：BG+EG=DC.

30.(沙坪坝区校级月考)如图，在平行四边形A4CO中，。是对角线AC的中点，过点。作。£_L4C交

BC于点、E.过点。作FG_LA8交43、。。于点尸、G.

(1)如图1,若8C=5,OE=3,求平行四边形A8CD的面积；

(2)如图2,若NACB=45°,求证：AF+FO=y[2EG.

图1图2

平行四边形的性质与判定大题专练一重难点培优（解析版）

解答题（共30小题）

1.（江汉区期末）如图，E,尸是团A8C。对角线8。上两点，且

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）连接AC,若/R4/=90',AB=4,AF=AE=3,求AC的长.

【分析】（1）连接AC,交3。于点O,由平行四边形的性质得到0A=OC,013=OD,证得

则即可得出结论；

（2）由勾股定理求出B~=5,证出四边形4ECT是菱形，得AC_LEF,由勾股定理的0储=4亦-08?

=4七2-。上2,解得。尸=]8,则。4=2.4,得AC=2Q4=4.8.

【解析】（1）证明：连接4C,交BD于点、O,如图所示：

四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

JOB-BE=OD-DF,即OE=OF,

*：OA=OC,

・•・四边形A£CF是平行四边形.

（2）解：VZBAF=90°,AB=4,AF=3,

：・BF=y]AB2+AF2="+32=5,

•・•四边形AEC/是平行四边形，AE=AF,OE=OF,OA=OC,

・•・四边形AEC尸是菱形，

J.ACA.EF.

：,OA1=AB2-OB2=AE1-O*

A42-（5-。尸）2=32-。产，

解得：。尸=1.8,

：.OA=J32T.82=2.4,

.\AC=2OA=4.8.

2.（灯塔市期末）如图，点B、E分别在AC、。/上，A尸分别交B。、CE于点M、N,NA=NF,ZC=

NO.

（1）求证：四边形BCE。是平行四边形；

（2）已知。石=3,连接用V,若BN平分NDBC,求CN的长.

【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；

（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN=CB=DE.

【解析】（1）证明：・・・NA=NR

：.DF//AC,

:・/C=NFEC,

又,：NC=ND,

:.NFEC-ND，

：.DB//EC,

•••四边形BCEO是平行四边形；

（2）,:BN平分4DBC,

:"DBN=/CBN,

\'BD//EC,

：.ZDBN=NBNC,

ZCBN=NBNC,

:・CN=BC,

又，：BC=DE=3,

:・CN=3.

3.（新丰县模拟）已知，如图，在团ABC。中，延长AB到点E,延长C。到点F,使得BE=QF,连接EF,

分别交BC,A。于点M,N,连接AM,CM

(1)求证；△BEM9LDFN；

（2）求证：四边形AMCN是平行四边形.

CDF

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出/8AO=NBCO,AB//CD,根据平行线的性质得出/B4D=

NADF,NEBC=NBCD,NE=NF,求出根据全等.三角形的判定得出即可；

（2）根据全等求出DN=8W,求出AN=CM,根据平行四边形的判定得出即可.

【解析】证明：•・•四边形ABC。是平行四边形，

:・/BAD=/BCD,AB//CD,

：.ZBAD=ZADFtZEBC=/BCD,NE=NF,

・•・ZADF=ZEBC,

在△OFN和△BEM中

fzF=Z.E

IDF=BE

l乙NDF=乙EBM

:.△DFN/MBEM（ASA）；

（2）四边形ANCM是平行四边形，

理由是；:由（I）拓丛DFN也丛BEM,

:・DN=BM,

•・•四边形A8CO是平行四边形，

，AO=8C,且AQ〃BC,

:,AD・DN=BC-BM,

：.AN=CM,AN//CM,

・♦・四边形ANCM是平行四边形.

4.（建邺区二模）数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△人8c中，AO是8c边上的高，如果

AB+BD=AC+CD,那么A/3=AC吗？

悦悦的思考：

①如图，延长D3至点E,使BE=BA,延长〃。至点R使C〃=CA,连接AE、AF.

②由A。是后厂的垂直平分线，易证NE=NF.

③由NE=NF,易证NABC=NAC3.

④得至ljAB=AC.

如图②，在四边形ABC。中，AD//BC,AB+AD=CD+CB.

求证：四边形4BCZ)是平行四边形.

图①图②

【分析】如图①，延长。8至点E,使BE=8A,延长。。至点凡使C/=CA,连接4E、AF.则N8AE

=ZE,ZCAF=ZF,证出AD是E尸的垂直平分线，贝I」AE=Af,由等腰三角形的性质得/E=/尸,

证出NABC=N4CB,即可得出AB=AC.

如图②，在。4的延长线上取点M,使AM=A8,在8c的延长线上取点M使CN=CD,连接BM、

DN,先证四边形MBND是平行四边形，得MB=N。，NM=NN,再证△ABMgACQN(ASA),得AM

=CN,证出AQ=8C,即可得出结论.

【解析】如图①,

解：AB=AC,理由如下：延长03至点£,使BE=BA,延长。C至点八使Cb=CA,连接A£、AF.

图①

则NBAE=NE,/CAF=NF,

,：AB+BD=AC+CD,

工BE+BD=CF+CD,

即DE=DF,

・・・A。是"的垂直平分线,

：.AE=AF,

••・NE=NF,

・•・NE=NF=ZBAE=NCAF,

•••NA4C=NE」NZM£,ZACB=ZF\ZCAF,

JZABC=ZACB,

：.AB=AC.

如图②，

证明：在D4的延长线上取点M,使AM=A8,在8c的延长线上取点N,使CN=CD,连接BM、DN,

图②

则NM=NA8M,NN=/CDN,

•.•46+4Q=CQ+C3,且AM=AB,CN=CD,

：,AM+AD=CN+CB,

即DM=BN,

又,：AD//BC,

・・・四边形MBND是平行四边形，

:.MB=ND,NM=/M

1・NABM=NSV,

(Z.M—乙N

在△ABM和△C£W中，iMB=ND,

(^ABM=aCDN

:.△ABMWXCDN(ASA),

:・AM=CN,

•:DM=BN,

工DM・AM=BN-CM

即AD=BC,

*：AD//BC.

・•・四边形48C。是平行四边形.

5.(海陵区校级期中)目A8co中，AE平分N&1Q交8c于E,。为AE中点，连接80并延长交A。于尸,

连接打.

(1)判断四边形A8E尸的形状并说明理由；

(2)若AB=2,ZD=60°,当48尸C为直角三角形时，求△BR7的周长.

【分析】(1)由△AOF/Z\EO&推出A/=8E,由4/〃8E,可得四边形A8E产是平行四边形，再证

明AB=8E即可解决问题；

(2)分/CB厂不为直角和N8FC=900两种情况求得周长即可.

【解析】(1〉四边形A8E”是菱形；

理由：•・•四边形ABCO是平行四边形，

：.AF//BEt

：.NI叭O=NBEO,

VZAOF=ZEOB,OA=OE,

：.AF=BE,

・・・四边形ABE尸是平行四边形；

•・・AE平分NBA。，

：.ZFAE=ZBAE,

'：ZFAE=NAEB,

；・NBAE—NAEB,

:.BA=BE,

，四边形48EF是菱形.

(2)・・・/BAE=NB=60°,

••・NC8/不可能为直角；

当N8C/=90°时，BF=2OB=2®CF=用,BC=3,此时△8FC的周长为3+3b；

当NBFC=90"时，8c=4,CF=2,BF=2V3,此时的周长为6+2位；

所以△8FC的周长为6+2百或3+3V3.

6.(秦淮区二模)图，点、E、〃分别在目/WCO的边AB、C。的延长线上，且BE=DF,连接AC、EF、AR

CE,AC与EF交于点。

(1)求证：AC、E/互相平分；

(2)若EF平分N4EC判断四边形AEb的形状并证明.

4/D

【分析】（l）要证明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明

这个四边形是平行四边形即可：

（2）要证四边形AEC产是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可.

【解析】（1）证明：•••四边形A8C。是平行四边形，

：.AB=DC,AB//DC.

又•：BE=DF,

:・AB+BE=DC+DF,

即AE=CF.

,：AE=CF.AE//CF,

・•・四边形AECF是平行四边形.

，AC、E尸互相平分.

（2）四边形AECr是菱形.

证明：V/W/7DC,

・•・ZAEO=ZCFO.

平，｝NA£C,

••・ZAEO=ZCEO.

：.ZCEO=ZCFO.

：.CE=CF.

•・•四边形AECF是平行四边形，

・•・四边形AEC尸是菱形.

7.（鄂城区期中）如图，在△A8C中，ZBAC=90°,ZB=45°,8c=10,过点A作4O〃8C,且点。

在点A的右侧.点尸从点A出发沿射线AO方向以每秒1个单位的速度运动，同时点。从点C出发沿

射线C4方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点£使得。£=2,连结。£,设点。的运

动时间为/秒.

（1）若PE上BC,求B。的长；

（2）请问是否存在/的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出/的值；若

不存在，请说明理由.

【分析】（1）作4M_L8C于由已知条件得出A8=4C,由等腰三角形的性质得出8M=CM,由直

角三角形斜边上的中线性质得出AM=如。=5,证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP

=t,CE=NE=5-t,由CE=CQ-QE=2L2得出方程，解方程即可；

（2）由平行四边形的判定得出AP=8E,得出方程，解方程即可.

【解析】（1）作AM_L8C于M,设AC交于N.如图所示：

VZBAC=90°,ZB=45°,

AZC=45°=NB,

,\AB=AC,

：.AM=*C=5,

・・・NB4N=NC=45°,

•：PE上BC,

：,PE=AM=5,PEA.AD,

•••△APN和△CEN是等腰直角三角形，

：.PN=AP=t,CE=NE=57,

\'CE=CQ-QE=2t-2,

：.5~t=2t-2,

77

解得--

3所以BQ=BC-CQ=10-3-136

（2）存在，『=4或12；理由如下:

若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，

则AP=BE,

・7=10-2f+2或，=2f・2・10

解得：/=4或12

・•・存在/的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，f=4或12.

D

8.(赣榆区期中)如图，在ZABC。中，E为BC边上一点,KAB=AE.

(1)求证：△ABCgZXEA。；

(2)若N8=65°,ZEAC=25°,求NAEO的度数.

【分析】(1)先证明N3=N£AO,然后利用SAS可进行全等的证明：

(2)先根据等腰三角形的性质可得N8AE=50°,求出NBAC的度数，即可得/AED的度数.

【解析】(1)证明：♦."在平行四边形A8CO中，AD//BC,BC=AD,

，/EAD=NAEB,

又•••4B=AE,

：.ZB=ZAEB,

:・NB=NEAD,

在△ABC和△"/)中，

(AB=AE

1/.ABC=Z.EAD,

(BC=AD

•••△48C丝△EAZ)(SAS).

(2)解：'：AB=AE.

••・N8=NAEB,

：.ZBAE=50°,

AZBAC=ZBAE+ZEAC=5(f+25°=75°,

•••△45%△EAO,

AZAED=ZBAC=75°.

9.(西湖区校级月考)如图，在aABC中，已知NACB=90°,。是8c的中点，CE=BE,CE//AD

(1)求证：QE=AC；

(2)连结AE,若4c=2,BC=6,求AAEB的周长.

【分析】（1）由NACB=90°,DELBC,CE//AD,易证得四边形ACE。是平行四边形，然后根据平

行四边形的对边相等，即可求得的长；

（2）首先利用勾股定理即可得到结论.

【解析】（1）VZACB=90°,

・"CJ_8C,

〈DE工BC,

：.AC//DE.

•：CE//AD,

・•・四边形4CEQ是平行四边形,

：.DE=AC；

(2)VZACB=90°,AC=2,8C=6,

：.AB=yjAC2+BC2=V22+62=2710,

过E作EFLAC的延长线于F,

：,CF=DE=AC=2,EF=CD=^BC=3,

・・・AE=>JAF2+EF2=V42+32=5,

•；BE=7BD2+DE2=432+22=V13,

：.^AEB的周长=AB+BE+AE=27fU+713+5.

10.（岱岳区三模）如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AD=BC=2AB,尸是4。的中点，作C£_LA8,

垂足E在线段AB上，连接E八CF.

(1)若N4DC=80。，求NECF；

(2)求证：ZECF=ZCEF.

【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形人8CO是平行四边形，由线段中点的定义得到人尸

=FD,根据等腰三角形的性质得到NOR?=NQC尸=4(180°-80°)=50°,于是得到结论；

(2)如图，延长ER交CO延长线于"，根据平行线的性质得到根据全等三角形的性

质得到FE=MF,根据直角三角形的性质得到尸C=/知=小由等腰三角形的性质得

到.

【解析】(1)\'AD//BC,AD=BC,

J四边形ABCD是平行四边形，

♦・•尸是AD的中点,

：.AF=FD,

。在胤48。中,AD=2ABf

：.AF-FD-CD,

：,ZDFC=ZDCF=^(180°-80°)=50°,

•；CELAB,

：,CE1CD,

，/OCE=90°,

：.ZECF=90°-50°=40°；

(2)如图，延长EP,交C。延长线于M,

•・•四边形ABC。是平行四边形，

:.AB//CD,

，NA=NMQR

•・•尸为AD中点,

：.AF=FD,

(Z.A-乙FDM

在△/1£：”和△DFM中，\AF=DF

LAFS=乙DFM

/.△AEF^ADA/F(ASA),

：,FE=MF,ZAEF=ZM,

•・・CE_LAB,

・・・NAEC=90°,

AZ4EC=ZECD=90°，

'：FM=EF,

:・FC=gEM=FE,

11.(南充模拟)如图，在四边形48CD中，AD//BC,ZC=90°,BC=CD,点E,r分别在边8C,CD

上，

且8E=OF=AO,A/与OE交于点G.

(1)求证:AB=BF.

(2)当八。=2花，求。G的长.

【分析】(1)先证△BC/gaDCE,再证四边形A8EQ是平行四边形，从而得A8=OE=8足

(2)延长4/交BC延长线于点M,设EC=FC=x,在Rt/XOEC中，由勾股定理可得%的值，再证明

点G是OE的中点即可求出QG的长.

t解析】(1)证明:

VBC=CD,BE=DF,

:・CF=CE,

在△BC/与△OCE中，

CF=CE

4C==90。,

BC=DC

:.ABCF沿XDCE,

:,BF=DE,

'：AD//BC.BE=AD,

J四边形ABED是平行四边形；

：.AB=DE,

：,AB=BF.

(2)由(I)可得AB=DE=5a,设EC=FC=K,

在RlZ\QEC中，由勾股定理可得/+(x+2V5)2=(5V2)2

解得：x=V5,

延长AF交BC延长线「点H,

*：AD//BC,

・・・N1=N〃，

，：AD=DF,

AZ1=Z2,

VZ2=Z3,

••・N3=N〃，

:・FC=CH,

，：EH=2x=2瓜

:,AD=EH,

*：AD//BC,

:.DG=EG,

・r\一1八r?5夜

..DG=2DE=~2~-

1

12.（丛台区校级期末）已知：如图，在RtZ^ACB中，NACB=90°,点。是48的中点，点E是CO的

中点，过点C作交AE的延长线于点F.

（I）求证：△ADEg△尸CE；

（2）求证：四边形AC"）是平行四边形.

（3）若NOCr=120°,DE=2,求的长.

【分析】（1）根据点E是C。的中点，可得。E=CE,根据C尸〃AB,可得乙4。七=//。£,ZDAE=

NCFE,进而利用A4S可以证明△AOEg△尸CE；

（2）结合（1）CF=AD,再由C/〃/W,即可证明四边形ACFD是平行四边形；

（3）结合（1）先证明四边形DCFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

可得CD=DB,得平行四边形DCFB是菱形，由120°,可得△CQ8是等边三角形，由DE=2,

即可求4c的长.

【解析】（1）•・•点E是CO的中点，

：,DE=CE,

•:CF"AB,

/.ZADE=Z.FCE,/DAE=/CFE,

在△八DE和△尸CE中.

(LADE=Z.FCE

1/.DAE=乙CFE,

WE=CE

：,AADE^^FCE(A4S)；

(2)证明：V

：.AD=CF,XCF//AB,

・•・四边形ACE。是平行四边形;

（3）丁点。是从〃的中点，

:.AD=BD,

*：AD=CF,

：.BD=CF,XCF//AB,

••・四边形OC总是平行四边形，

•••/ACB=90°,点Z）是4B的中点，

：.DC=AD=BD,

・•・平行四边形OCFB是菱形，

AZDCF=120°,

.\ZCDB=60o,

•••△CD3是等边三角形，

：,BC=CD=2DE=4,

答：BC的长为4.

13.（青羊区期末）如图，在四边形ABC。中，点E和点尸是对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,

且DF//BE.

（1）求证：四边形ABC。是平行四边形；

（2）若NCEB=2NEBA,BE=3,EF=2,求AC的长.

【分析】（1）证尸（S4S）,得到AD=C8,/DAF=/BCE,证出AQ〃C8,即可得到结

论；

（2）x^ZEAB=ZEBA,得出八£=BE=3.则=HE=3,即可得出答案.

【解析】（1）证明：七=5,

：・AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

・：DF〃BE,

:./DFA=/BEC,

Ar=CE

在△A。/和△CBE中，\/.DFA=Z-BEC^

DF=BE

:、△ADF9XCBE(SAS),

，AQ=CB,/DAF=/BCE,

J.AD//CB,

••・四边形ABCD是平行四边形；

(2)解:•:NCEB=NEBA+/EAB=2NEBA,

:.NEAB=NEBA,

：,AE=BE=3,

：,CF=AE=3,

：,AC=AE+EF+CF=3+2+3=8.

14.(莲湖区期末)如图，在平行四边形48CO中，E、/分别为边A3、。。的中点，8。是平行四边形A8C。

的对角线，AG〃B£＞交C8的延长线于点G.

(1)求证：四边形BED厂是平行四边形.

(2)若AE=DE,求NG的度数.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AO〃BC,DC//AB,DC=AB,推出。/=BE,DF//BE,根

据平行四边形的判定推出即可；

(2)先证明四边形4GB。是平行四边形，再证出NAO8=90°,得到四边形AG8。为矩形，即可得出

结论.

【解析】(1)证明：•・•四边形A8C7)是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

YE、尸分别为边44、CO的中点，

：,BE=^AB,DF=^CD,

：.BE=DF.

丁BE//DF,

••・四边形BEDr是平行四边形.

（2）解：•・•四边形A8CO是平行四边形，

，AO〃BG,

'JAG//BD,

••・四边形AG8。是平行四边形，

・・,点E是4B的中点,

：.AE=BE=^AB,

\*AE=DE,

；,AE=DE=BE,即。

•••△AB。是直角三角形，ZADB=90°,

・•・平行四边形AG8O是矩形.

.*.ZG=90o.

15.（扬州）如图，团ABC。的对电线AC、B。相交于点0,过点0作E/LL4C,分别交AB、DC于点、E、

F,连接人尸、CE.

（1）若0E二会求律的长；

（2）判断四边形AEC厂的形状，并说明理由.

Q

【分析】（1）判定七咨△COF（ASA）,即可得0七=0尸二会进而得出EF的长；

（2）先判定四山形AEC厂是平行四功形，再根据即可得到四i力形4EC尸是菱形.

【解析】（1）•・•四边形ABC。是平行四边形，

:.AB//CD,AO=CO,

:・/FC0=/EA0,

XVNA0E=NC0F,

••・△A0E/△C。/（ASA）,

OE=OF=^,

：,EF=2OE=3；

(2)四边形AEC尸是菱形，

理由：丝△COR

：.AE=CF,

又・・・AE〃CF,

••・四边形AECF是平行四边形,

XVEFl^C,

・•・四边形AEC尸是菱形.

16.(两江新区模拟)如图，在平行四边形48CQ中，F,G分别是CD,A8上的点，且AG=CE连接

FG,交于点O.

(1)求证：OB=O。；

(2)若NA=45°,DBLBC,当8=2企时，求OC的长.

【分析】(1)依据平行四边形的性质，得出N。。/=NO8G,BG=DF,判定△QOFgZ^BOG,即可得

至UOB=OD；

(2)依据平行四边形的性质，得出ABC。是等腰直角三角形，进而得到8C,80的长，再根据勾股定

理即可得到的长.

【解析】(I)•・•四边形4BCO是平行四边形，

J.AB//CD,AB=CD,

：.N0DF=4)BG,

\tAG=CF,

：,BG=DF,

在△OO尸和△BOG中,

乙DOF=乙BOG

Z.ODF=Z.OBG,

DF=BG

:ADOFmXBOG(AAS),

，08=0。：

(2)•・•四边形ABC。是平行四边形，

，/BCO=NA=45°,

VBD1BC,

；・NDBC=90°，

・・・NBDC=NBCD=45°,

:・DB=CB,

又•••CD=2近，

:・CB=DB=2,

J0B=i,

ARtABCO中，0C=>/BC2+BO2=V22+l2=V5.

17.(龙岗区校级期末)如图，四边形A8C。中，。交AQ于点G,。入LAC于点/，已知A〃=CE,

AB=CD.

(1)求证：四边形ABC。是平行四边形；

(2)如果NGBC=NBCD,AG=6,GE=2,求A8的长.

【分析】(I)证RtZXABEgRlZXCQ/(〃L),得NBAE=NDCF,证出A8〃CO,由48=CO,即可讦

出四边形人8CQ是平行四边形；

(2)证四边形8CDG是等腰悌形，得8G=CQ=A8,由勾段定理得AE=4四,设AB=8G=x,则8E

=x-2,在RtZ\A8£中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】(1)证明：'：BE±ACfDF±AC,

AZ4EB=ZCFD=90°,

f：AF-CE,

：.AFEF=CEEF,

即AE=CF,

在RIA4BE和RlACD尸中，竹1=空,

yAE=CF

ARtAAB^RtACDF（HL）,

；・/BAE=NDCF,

C.AB//CD,

又，：AB=CD,

••・四边形人8C。是平行四边形；

（2）解：由（1）得：四边形48CD是平行四边形,

：.AD//BC,

：.DG//BC,

•；4GBC=^BCD,

・•・四边形3CDG是等腰梯形，

：.BG=CD=AB,

'：AE=>JAG2-GE2=V62-22=4^2,

设A3=8G=x,则BE=x-2,

在RtZ\A8E中，由勾股定理得：(4V2)2+(j-2)2=v2,

解得：x=9,

，AB=9.

18.(祁江区二模)如图，平行四边形A8CO中，点E、尸分别在边8C、A。上，EA1AC,FC1AC.

(1)求证：△ABEgZXCDF；

(2)若NB=30°,Z4EC=45°,求证：AB=AF.

【分析】（1）由平行四边形的性质及垂直于同一直线的两直线平行，可推得判定aABE和△CD/全等

的条件，从而利用SAS判定

（2）过点A作AG_LEC于点G,由等腰三角形的“三线合一”性质、直角三角形的斜边中线等于斜边

的一半和30°角所对直角边等于斜边的一半，可得AG=；EC=5F=；人氏则可证得结论.

【解析】(1)证明；•••四边形A4CD是平行四边形,

：,AB=CD,BC=AD,/B=/D,AD//BC,

:・AF〃EC,

*：EA±AC,FC1AC,

：.EA//FC,

•••四边形AECF是平行四边形.

：.EC=AF,

：.BE=BC-EC=AD-AF=DF,

・••在△/WE和△(7£)户中，

(AB=CD

jzF=乙D,

\BE=DF

:.4ABE沿4CDF(SAS)；

(2)过点4作AG_LEC于点G,如图所示：

*：EA±AC,ZAEC=45°,

•••△4EC为等腰直角三角形，

VAG±EC,

・・・AG=1EC=y凡

VZB=30°,

：.AG=^AB,

二抄二^AB,

：.AI3=AF.

19.（九龙坡区校级期中）如图，平行四边形A3C。中，分别过A,C两点作AE_L3。，CFLBD,垂足分

别为£，F,连接CE,AF.

(1)求证：BE=DF；

(2)若AB=4,EF=®ZAFE=45°,求△AB。的面积.

【分析】(1)证△48E之acz)/(A4S),即可得出结论；

(2)先证△AE尸是等腰直角三角形，得AE=F/=6,再由勾股定理得则BD=BE+EF+QF

=2V13+V3,然后由三角形面积公式即可得出答案.

【解析】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

.\AB=CD,AB//CD,

JNABE=/CDF,

又・・・A£_L8O,CF工BD,

AZAEB=ZCFD=90°,

在△ABE和△CD/中，

LABE=乙CDF

LAEB=乙CFD,

AB=CD

：./^ABE^/\CDF(AAS),

:.BE=DF；

(2)解：*：AE±BD,ZAFE=45°,

•••△AEF是等腰直角三角形，

:・AE=EF=V3,

：.BE=>JAB2-AE2=心-(V3)2=V13,

由(1)得：DF=BE=V13,

:.BD=BE+EF+DF=2尺+

•••△ABO的面积=/QXAE=：X(2V13+V3)X>/3=>/39+1.

20.(朝阳区校级月考)如图，点B、F、C.E在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE

于点O.

(1)求证：4。与互相平分；

(2)若AB_L4C,AC=BF,BE=8,FC=2,求48的长.

B

D

【分析】（l）先证△ABCgADE尸（ASA）,得AB=O区再证四边形A8QE是平行四边形，即可得出结

论:

（2）先求出8/=3,则人C=8产=3,BC=BF+FC=5,然后由勾股定理即可得出答案.

【解析】（1）证明：如图，连接B。、AE,

VFB=CE,

:・BC=EF,

又‘：AB"ED,AC//FD,

/./ABC=Z1DEF,/AC6=乙DFE,

在△ABC和/中,

LBAC=乙DEF

BC=EF

LACB=乙DFE

:.△ABgXDEF(ASA),

：,AB=DE,

又.：AB〃DE,

・•・四边形/WOE是平行四边形,

・・・A。与8E互相平分;

(2)解：•:FB=CE,

：.BE=2BF+FC,

J阵些#=竽=3

：.AC=I3F=3,3+2=5,

\'AB±AC,

・•・由勾股定理得：AB=y/BC2-AC2=V52-32=4.

21.(扬中市期末)如图，在四边形48C。中，对角线AC、8。相交于点。，OA=OC,AB//CD.

(1)求证：四边形4BC。是平:行四边形：

(2)若BE平分NABC,交/U)于E,BC-AB=2,求OE长.

(3)若NAO5=2NAOB时，则平行四边形ABCQ为矩形.

【分析】(1)运用ASA证明△ABOg/XC。。得A8=C。，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形”可证得结论；

(