2026年高考数学二轮复习（全国版文）第1部分 专项突破 微重点13 离心率的范围问题

微重点13离心率的范围问题

圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对园锥曲线中已知特征关系的转化是解

决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

例1（1）（2022•南京模拟）设约，62分别为具有公共焦点八与尸2的椭圆和双曲线的离心率，

。为两曲线的一个公共点，且满足/人上=去则m2的最小值为（）

A/3.〃立「3

AA.2B.5仁号D.4

答案A

解析设椭圆的长半轴长为山，双曲线的实半轴长为S,不妨设俨后|＞俨巳］,

由椭圆和双曲线的定义可得

I尸Q|+|Pg|=2ai,

IPKITP冏=2色,

|尸产1|=〃1+俏,

得

|P尸2|=。1-。2,

设内乃|=2c,

因为由余弦定理得

|F/W=|PFI|2+|PF)|2-2|PF|||PR卜cos/RPF).

即4(?=(«|+«2)2+(«l—U2)2~2(a\+«2)(«l-«2)COS?

整理得届+3员=4d,

故

正

即22

6伫'

所以ei€2

即642的最小值为坐,

当且仅当卜细6尸堂十当时，等号成立.

（2）（2022・商丘模拟）已知凡B是椭圆C：5+5=13>">°）的左、右焦点，。为坐标原点，

点M是C上的点（不在坐标轴上），点N是OB的中点，若MN平分NFiMF?,则椭圆C的离

心率的取值范围是（）

A.&1）B.（0,0

C0l）D.（0,I）

答案A

解析因为O是凡尸2的中点，N是。尸2的中点，所以WR|=3|NB|,

因为MN平分NQM%，所以船=耨=3，

因为|MQ|+|/W“2l=2a,所以|W|=¥，网尸2]=*由a—c<^〈a+｛或。—得椭

圆C的离心率e=》>3,又evl,所以椭圆C的离心率的取值范围是（3，1）.

规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关

于〃，b,c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.

跟踪演练1（2022・嘉兴模拟）如图，已知Q,B分别为双曲线，一三=13>0，力>0）的左、右

焦点，O为坐标原点，其渐近线与圆广+9=合在第二象限交于点P，过〃作圆的切线过双

2

曲线的左焦点且与右支交于点Q,若IPQAIQBI+RO&I，则双曲线的离心率的取值范围是

答案（65

解析因为

所以俨”||=、廿一〃2=力

由双曲线的定义得IPQI+〃一|QBI=2d

所以|PQ|=2a—b+|QBI，

2

因为|PQI>IQBI+@O&I，

2

所以2a—b+|Q&l>IQF2l+铲，

2

所以2a—铲，

即2a—^c>b,

所以(2<L舒:>护=/_3

所以2U24-40^-125<0,

所以(3e—5)(7e+25)〈0,

所以e<|,

因为直线FiQ与双曲线的右支相交，

所以tanZgF|F2<^,

所唬，

所以〈护=/一序，

所以c12—242>0,

所以/>2,所以e>Vl

所以也<e</

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

例2(1)(2022・西安模拟)圆柱00\的轴截面ABBiAi是正方形，过上底面圆弧上任意一点F

作平面与圆柱的侧面相交，则相交所得到曲线的离心率的最大值为()

A.^B.2C.y[2D.2

答案B

解析过点尸的平面与圆柱侧面相交，交线所形成的曲线为椭圆，如图，椭圆的短轴长为底

面圆的直径，不妨令底面圆的半径为1,则短轴长2h=2..•・〃=1,如图所示，当该椭圆刚好

与上、下底面有一个交点时，长轴最长为EF,

由图知，MEN厂为正方形，边长为2,

则EF=2®即2cW2®

ci=a1-b1=a1—I.

；・0<eW乎，e的最大值为乎.

（2）已知椭圆C：，+方=1（»%>0），对于C上的任意一点P,圆0：/+），2=。2上均存在点M,

N使得NMPN=60。，则C的离心率的取值范围是（）

A（0,坐]B,坐，1）C.（0,5D.1）

答案A

解析如图，当P位于右端点（左端点也相同）时，如果NMPN260。，则对于。上任意的点P,

在圆。上总存在M,N点使得NMPN=60。，

23近

-cN-W

-2一_)<e2

此时，NMPO230。，sinZMPO=~^y：.2b》a,a4,

规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上

的点到焦点距离的范围等，建立不等式（不等式组）.

规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上

的点到焦点距离的范闱等，建立不等式（不等式2H）.

跟踪演练2（2022・运城模拟）双曲线C：，一方=1（。>0,〃>（））的右顶点为A3,0）,Q（M,（））

在大轴上，若双曲线C上存在一点尸（异于点A）使得4P_LPQ,则C的离心率的取值范围是

（）

A.（啦，+8）B.（2,4-oo）

C.（I,A/2]D.（I,的

答案D

解析设pa,），），•・•A尸IPQ,

•••P点的轨迹方程为（x—2a）2+y2=/awa,x^3a）.

（X—2〃）2+）2=〃2,

联立［d£_消去y并整理得32+加1-4"*+3/—/护=0,

7一"=1，

3〃一

解得x=a（舍去），彳=3铲,

由题意知点尸在双曲线的右支上，印x>a,

3苏-〃〃2

故；尸+〃2>。，化简得/泌2,

考点三利用几何图形的性质求离心率的范围

例3（1）（2022♦乐清模拟）设Q,3分别为椭圆，+方=1（。»>0）的左、右焦点，若在直线工

=一?（。为半焦距）上存在点P，使IPQI的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围

为（）

A（0,用B.q,1）

c（o,阴D.坐1）

答案B

解析如图所示，椭圆2+5=1,

可得焦距正尸d=2c,

因为在直线工=一手上存在点P,使|刊引的长度恰好为椭圆的焦距,

2

可得|A/Fi|W2c,即《一cW2c,

可得后3己即最斗解得拉笔

又因为椭圆的离心率。£（0,1）,

所以eS坐,1）.

（2）（2022•萍乡模拟）已知双曲线C£一">0）的左顶点为4左、右焦点分别为

尸2，以尸尼为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos/%Q2-5,则该双曲线

离心率的取值范围是（）

A.（1,小］B.(l,明

c.（i,孥］D.［西，+8)

答案B

解析以回尸2为直径的圆的方程为/+9=居

双曲线C的一条渐近线方程为），=%,

1+『，

解得(不妨设)P(mb),Q(-at-b),A(-af0),

所以崩=（2a,份，A2=（0,—b）,

所以cos/必

丽质I

—tr

］4/+/心

二b二、3

小f+bL5，

b3h19

即行/考,解得”司，

所以双曲线的离心率I<e=、l^=、J''9

规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之

间的关系.

22

跟踪演练3（2022•长沙市雅礼中学等十六校联考）已知双曲线C：，一］=13>0,历>（））的左、

右焦点分别为R，尸2,若C与直线），=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点P，使得NP&H

=3ZPFIF2,则双曲线离心率的取值范围为.

答案（6，2）

解析双曲线C与直线,y=x有交点，

则以,余

解得

双曲线上存在不是顶点的点P,

使得/尸BR=3NPRB,

则。点在右支上，设P8与），轴交于点Q,由对称性知12al=|。向,

所以NQR&=NQF2F|,

所以/尸BQ=/PF2FLNQF2F1

=2NPFR=/PQF2,

所以|PQI=|PBI.

所以I尸产i|一|PBI=l尸格ITPQI

=\QFy\=2a,

由I。尸1|>|。丹|得2ec,

所以e=a<2'

在△尸F1F2中，ZPF\F2+ZPF2F1=4ZPF\F2<180°,NPRF2V45。，

所以或=cosZPF\尸2>乎，

即e=》小，

综上，y[2<e<2.

专题强化练

1.（2022・南充质检）已知K（一c,0）,E（c，0）是椭圆C：，+1=1（。乂>0）的左、右焦点，若

椭圆上存在一点P使得丽•配=cV则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A惇flB惇阴

C[小一1,叫D.惨,1）

答案B

解析设点

P(x,y)fPF}PF2=(—C—X,—y)-(c—x,—y)=f—

=f—c2+〃—皆

=^c2-cr-\-b2,

因为OWfW/,

所以/一/w丽.由《从，

即从一C2W/W护，

结合序=〃2—C2可得太，号，

所以ee惇,吗

2.已知双曲线提一£=1亿＞0,比＞0)的左、右焦点分别为Q,尸2，点P在双曲线的右支上,

且上人|=4|尸刑，则此双曲线的离心率。的最大值为()

457

A.zB.QC.2D.T

JJJ

答案B

解析方法一由双曲线的定义知

\PFx\-\PF^=2at①

又俨尸||=4「尸2|,②

故联立①②，解得|尸居|=*，『川=卒.

在△尸尸1尸2中，由余弦定理，

要求e的最大值，即求cos/QPB的最小值，

当COSZF)PF2=-1时，

解得e=*即e的最大值为.

方法二由双曲线的定义知，|尸后|一|尸出|=2小

又|P居|=4|PFR,

82

・,・呐=升|尸四=升

・・・历周=2。,

.8।2

••a，/十4〃32c,

5

-cV-

a/3

即双曲线的离心率e的最大值为玄

3.已知Q,尸2分别为椭圆C：=1（9〉0）的左、石焦点，P是椭圆C上的一点，直线

2112

/：工二一；22,且尸QJJ,垂足为。.若四边形QPRB为平行四边形，则椭圆C的离心率的取

值范围是（）

A.停1）

B.(<2-1,1)

D(0,明

C.（0,6-1）

答案B

解析设P（xo,yo）,则。（宁二州

•・•四边形QPR乃为平行四边形，

・・・|PQ=IRBI,

.a2+b2

••xo2c,

£(—a,a),

2（r—（r—2ac

工一1<彳<1»

2

.\-l<2-e-2e<lf得小一l<e<l.

4.（2022・湘豫名校联考）已知双曲线M：4-^=1（«>0,方>0）的左、右焦点分别为尸I，Fz，

以线段为直径的圆。与双曲线加在第一象限交于点A,若tan/ABQW2,则双曲线M

的离心率的取值范围为（）

A.[<3,+8）B.（I,<3]

C.（1,小]D.[小，+8）

答案D

解析依题意可得忸加一口&|=2〃，

又国向2+|46|2=尸/2|2=4已

所以（依同+24+抬22/=4€2,

得HBI=—a+Wc2一4,

所以|AR|=2a+|AF2|=a+、2c2—后,

所以tanNABFi=次讨

一4+班/一W2,

得/25。2,得e2小.

22

5.（2022・西安模拟）已知双曲线方一次=1（。＞0,比＞0）的左、右焦点分别是Fi，巳，在其渐近

线上存在一点P,满足|伊川一俨尸2||=2〃，则该双曲线离心率的取信范围为（）

A.（1,8B.（隹2）

C.（^2,小）D.（2,3）

答案A

dv*b

解析双曲线也一方=1的渐近线方程为厂为，

V||PF1|-|PF2||=2/?＜|F1F2|,

・，点?在双曲线条一力=1上，

,・,双曲线东一5=1的渐近线方程为尸导,

又丁=备与双曲线,一5=1相交，

，由双曲线渐近线性质可知线,即。2＞〃，

即解得1意〈啦，

故该双曲线离心率的取值范围是（1,啦）.

6.已知双曲线C：，一卓=1（必），方＞0）,直线工=2〃与。交于A,4两点（A在4的上方），DA

=嬴，点E在y轴上，且£l〃x轴.若△BOE的内心到），轴的距离不小于竽，则C的离心

率的最大值为（）

A亚R迎「、巧D返

A・2上3D.6

答案B

解析因为A在8的上方，且这两点都在C上，

所以A（2“，小b）,B（2a,一事b）,

因为防1=彳瓦

所以4是线段8。的中点，

又E4〃x轴，所以|EQ|=|E3|,EA1BD,

所以△BOE的内心G在线段EA上.

因为DG平分NED4,在△EQ人中，

由角平分线定理知黑(=掰

因为G到y轴的距离不小于华，

4a

crp.|EGk,",

所以IGAI74「2,

2r

所以掰22,

所以NED4260。,

因此tan/EOA=(g