2026年韦达定理拓展测试题及答案

2026年韦达定理拓展测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.已知方程$x^2-5x+6=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2$的值为（）A.5B.-5C.6D.-62.若方程$2x^2+3x-1=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的值为（）A.-1/2B.1/2C.-3/2D.3/23.关于$x$的方程$x^2+kx+6=0$的一个根是2，则$k$的值为（）A.-5B.5C.-1D.14.已知方程$x^2-3x-4=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$x_1^2+x_2^2$的值为（）A.17B.13C.9D.75.若方程$x^2+mx+12=0$的两根之积为3，则$m$的值为（）A.-4B.4C.-3D.36.已知方程$x^2+ax+b=0$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1^2+x_2^2=13$，$x_1x_2=3$，则$a$的值为（）A.-2B.2C.-4D.47.关于$x$的方程$x^2-4x+2k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k<2$B.$k>2$C.$k\leq2$D.$k\geq2$8.已知方程$x^2+mx-6=0$的一个根是-3，则它的另一个根是（）A.2B.-2C.1D.-19.若方程$x^2+ax+1=0$有两个相等的实数根，则$a$的值为（）A.2B.-2C.±2D.010.已知方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$，则该方程为（）A.$x^2-5x+6=0$B.$x^2+5x+6=0$C.$x^2-5x-6=0$D.$x^2+5x-6=0$二、填空题（总共10题，每题2分）1.方程$x^2-7x+12=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2$的值为______。2.若方程$3x^2-5x+2=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的值为______。3.关于$x$的方程$x^2+kx-3=0$的一个根是1，则$k$的值为______。4.已知方程$x^2-4x-5=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$x_1^2+x_2^2$的值为______。5.若方程$x^2+mx-10=0$的两根之积为-2，则$m$的值为______。6.已知方程$x^2+ax+b=0$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1^2+x_2^2=17$，$x_1x_2=6$，则$a$的值为______。7.关于$x$的方程$x^2-6x+9=0$的根的情况是______。8.已知方程$x^2+mx-12=0$的一个根是-4，则它的另一个根是______。9.若方程$x^2+ax+4=0$有两个相等的实数根，则$a$的值为______。10.已知方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=2$，则该方程为______。三、判断题（总共10题，每题2分）1.对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），若$b^2-4ac<0$，则方程没有实数根。（）2.方程$x^2+2x-3=0$的两根为1和-3。（）3.若方程$x^2+mx+n=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=n$。（）4.方程$x^2-5x+6=0$与方程$2x^2-10x+12=0$的根是相同的。（）5.若方程$x^2+ax+1=0$有两个不相等的实数根，则$a>2$或$a<-2$。（）6.已知方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$(x_1-x_2)^2=b^2-4ac$。（）7.关于$x$的方程$x^2-4x+k=0$有两个实数根，则$k$的取值范围是$k\leq4$。（）8.方程$x^2+3x-4=0$的两根互为相反数。（）9.若方程$x^2+ax+2=0$有一个根是1，则$a=-3$。（）10.已知方程$x^2+mx+n=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.已知方程$x^2-3x-4=0$，利用韦达定理求$x_1^2+x_2^2$的值。2.已知方程$2x^2+5x-3=0$，求它的两根之和与两根之积。3.若方程$x^2+kx+6=0$的一个根是2，求$k$的值及方程的另一个根。4.关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1^2+x_2^2=20$，$x_1x_2=8$，求$a$和$b$的值。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论方程$x^2+bx+c=0$的根的情况与$b$、$c$取值的关系。2.已知方程$x^2+mx+n=0$的两根为$x_1$和$x_2$，若$x_1^2+x_2^2=10$，$x_1x_2=3$，求$m$和$n$的值。3.对于方程$x^2+ax+1=0$，当$a$取何值时，方程有两个相等的实数根？此时方程的根是多少？4.已知方程$x^2+kx+3=0$的两根为$x_1$和$x_2$，若$x_1+x_2=2$，求$k$的值及方程的两根。答案：一、单项选择题1.A。根据韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$。2.A。$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}$。3.A。把$x=2$代入方程可得$4+2k+6=0$，解得$k=-5$。4.A。$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2\times(-4)=17$。5.A。$x_1x_2=\frac{c}{a}=3$，即$\frac{12}{a}=3$，解得$a=4$。6.A。$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-6=13$，解得$a=\pm5$，又$x_1x_2=b=3$，所以$a=-5$。7.A。判别式$\Delta=b^2-4ac=16-8k>0$，解得$k<2$。8.A。设另一个根为$x$，则$-3x=-6$，解得$x=2$。9.C。$\Delta=a^2-4=0$，解得$a=\pm2$。10.A。由韦达定理可得$x_1+x_2=-b=5$，$x_1x_2=c=6$，所以方程为$x^2-5x+6=0$。二、填空题1.7。$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=7$。2.$\frac{2}{3}$。$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。3.2。把$x=1$代入方程可得$1+k-3=0$，解得$k=2$。4.26。$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times(-5)=26$。5.5。$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$，即$\frac{-10}{a}=-2$，解得$a=5$。6.-5。$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-12=17$，解得$a=\pm5$，又$x_1x_2=b=6$，所以$a=-5$。7.有两个相等的实数根。$\Delta=(-6)^2-4\times9=0$。8.3。设另一个根为$x$，则$-4x=-12$，解得$x=3$。9.±4。$\Delta=a^2-16=0$，解得$a=\pm4$。10.$x^2+3x+2=0$。$x_1+x_2=-b=-3$，$x_1x_2=c=2$，所以方程为$x^2+3x+2=0$。三、判断题1.√。2.√。3.√。4.√。5.×。当$a^2-4>0$时，方程有两个不相等的实数根，即$a>2$或$a<-2$。6.×。$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4ac$。7.√。8.×。方程的两根为1和-4，不互为相反数。9.√。把$x=1$代入方程可得$1+a+2=0$，解得$a=-3$。10.√。四、简答题1.由韦达定理得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-4$，则$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2\times(-4)=17$。2.对于方程$2x^2+5x-3=0$，$a=2$，$b=5$，$c=-3$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$。3.把$x=2$代入方程可得$4+2k+6=0$，解得$k=-5$，设另一个根为$x$，则$2x=6$，解得$x=3$。4.由韦达定理得$x_1+x_2=-a$，$x_1x_2=b$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2b=20$，$x_1x_2=b=8$，把$b=8$代入$a^2-2b=20$可得$a^2-16=20$，解得$a=\pm6$。五、讨论题1.对于方程$x^2+bx+c=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac$。当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程没有实数根。2.由韦达定理得$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=n$，又$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2n=10$，$x_1x_2=n=3$，把$n=3$代入$m^2-2n=10$可得$m