2027届新高考数学热点精准复习 平面向量基本定理及坐标表示

2027届新高考数学热点精准复习平面向量基本定理及坐标表示1.掌握平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课标要求1.平面向量的基本定理不共线向量λ1e1+λ2e2不共线条件e1，e2是同一平面内的两个_______________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________________基底若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

互相垂直(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)

(x2-x1,y2-y1)

x1y2-x2y1=0常用结论与微点提醒1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×√2.(人教A必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝____.

3因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.3.(人教B必修二P170例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为____________.

(1,5)

B考点一平面向量基本定理的应用

感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

AC

由平面向量基本定理知A，C正确.

A考点二平面向量的坐标运算

4

感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，可求对应向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

A

在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

A

考点三平面向量共线的坐标表示角度2

利用向量共线求向量或点的坐标例4已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为____________.

(3,3)

感悟提升1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0;(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.训练3(1)(多选)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(

)A.(2，1) B.(2，2)C.(3，1) D.(3，2)BC

-2或11

一、单选题1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，且a∥b，则实数x的值为(

)A.－2 B.2C.－8 D.8A

B

3.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(

)A.(－23，－12) B.(23，12)C.(7，0) D.(－7，0)A

C

D如图,

A

7.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是(

)A.3.8 B.4C.4.2 D.4.4D

二、多选题8.在下列各组向量中，可以作为基底的是(

)A.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－2，3)，b＝(4，6)BCD对于A，由向量a＝(－3，2)，b＝(6，－4)，可得(－3)×(－4)－2×6＝0，所以a∥b，所以A错误;对于B，由向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，可得2×2－3×3≠0，所以a与b不平行，所以B正确;对于C，由向量a＝(1，－2)，b＝(7，14)，可得1×14－7×(－2)≠0，所以a与b不平行，所以C正确;对于D，由向量a＝(－2，3)，b＝(4，6)，

可得－2×6－3×4≠0，所以a与b不平行，所以D正确.9.设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则下列命题正确的是(

)A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μcAB∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确;当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确;取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误;因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.三、填空题10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_______________.

(2,4)

1

由已知得a＝(5