福建厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科试题（解析版）

第1页/共1页厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科（满分：150分考试时间：120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【详解】因为，所以.2.已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，解方程即可得答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得所以的公差为1.3.已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，点在抛物线上，到准线的距离，所以．4.随机变量X的分布列为，.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为随机变量X的分布列为，，所以，即，又因为，所以，解得.5.已知，，在上的投影向量为，则（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【详解】在上的投影向量为

即​因为，所以代入等式得6.某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（）（参考数据：，）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【详解】由题意可得，又，两式相除可得，两边取对数可得，所以，所以.7.已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，此时，又，所以最小时，最大，又P为椭圆E：（）上的动点，所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，又因为的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，所以E的离心率为8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为所以所以所以即又，所以即由得二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（，）的部分图象如图所示，，，则（）A.B.C.是图象的一条对称轴D.的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】【详解】对A，将代入函数得又，故，选项A正确.对B，将和代入函数得由图可得，即，又，所以取，得，选项B正确.对C，不是最值，故不是对称轴，选项C错误.对D，将向左平移个单位，得是奇函数，图像关于原点对称，选项D正确10.某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（）A.B.样本中男生阅读时间的中位数低于分钟C.样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人【答案】ACD【解析】【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可判断.【详解】对于A，由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为，即，解得，故A正确；对于B，男生前两组的频率为，前三组的频率为，因此，男生阅读时间的中位数位于第三组，设中位数为，则有，解得，即男生阅读时间的中位数为分钟，高于分钟，故B错误；对于C，由于总人数人，其中男生人，女生人，抽样人按比例分配，其中男生人，女生人，男生阅读时间在分钟以下的人数为人，女生阅读时间在分钟以下的人数为人，因此阅读时间在分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确；对于D，男生阅读时间在分钟以上的人数为人，女生阅读时间在分钟以上的人数为人，因此样本中阅读时间在分钟以上的人数为人，全校估计阅读时间在分钟以上的人数为人，故D正确.11.已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（）A.B.C.中所有元素的平均数为191D.中所有元素的和为3008【答案】ACD【解析】【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可.【详解】选项A，已知，最大元素，根据定义，则，A正确；选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是，因此，即是首项为，公比为2的等比数列：.当时，，B错误；设为所有元素之和，则，因为，所以.一般地，，其中是的元素个数.由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为，故.结合，递推得：，等式两边同除以得.令，则，累加法求，则.选项C，当时，均值为，C正确；选项D，当时，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中所有项的系数之和为81，则此展开式中常数项为______.【答案】24【解析】【详解】因为的展开式中所有项的系数之和为81，所以，即，解得，二项式展开式的通项公式为，，令，解得，所以二项式的展开式第三项为常数项，常数项为.13.写出一个同时满足下列性质①②③的函数______.①定义域为；②；③.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可；【详解】由③得函数图象关于点对称，，则可取，符合①②③..（答案不唯一）14.在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______.【答案】【解析】【分析】过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值.【详解】过作于，因为，，所以四边形是矩形，所以，所以，所以，又因为，，，所以，又因为，所以，所以，过作于，则，所以，过作于，因为，又，平面，所以平面，所以为二面角的平面角，因为，又，所以，又因为，所以，由正弦定理可得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若D为BC的中点，，的面积为，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A；（2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解.【小问1详解】因为，所以根据正弦定理可得，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，解得或，又，所以；【小问2详解】若D为边上的中点，则，所以，又，所以，所以因为的面积为，所以，所以，所以，由余弦定理可得，所以.16.如图，在三棱柱中，，.过点，C的平面与直线AB垂直.（1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由；（2）已知，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）作图过程及理由见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，平面为平面，通过线线垂直证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再去求线面夹角正弦值【小问1详解】取的中点为，连接，，则平面为平面.因为，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，平面为平面【小问2详解】在三棱柱中，，因为，所以，在中，因为，所以，由（1）得，所以，所以，所以，所以，，两两互相垂直.以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则所以取，则.，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.17.已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程；（2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可.【小问1详解】设，因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以，两边平方可得，所以，所以，所以，所以的方程为；【小问2详解】由题意可知的方程为，代入的方程可得，由题意的斜率存在，所以设直线的方程为，联立，可得，设，所以，所以或，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，整理得，解得（舍去）或，所以，所以的方程.18.某棋类游戏有不同规格的地图，规格为（，）的地图共有个格子，编号为0，1，2，…，，如下图所示.012…2n游戏规则如下：①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）；②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n元.（1）若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；（2）若选定规格为的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率；（3）为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）列出失败的路径，求出失败的概率再计算即可；（2）列出棋子路径，再计算概率即可；（3）先列出成功的情况，分别计算其概率再相加，再列出收益分布列和期望表达式，计算最大值即可.【小问1详解】由题意得，向前跳1格概率为，向前跳2格为，时，游戏失败只有2和4两格均落到和不落到2号格且从4号格直接落到6号格，落到2号格概率为，从2号格到4号格概率为，不落到2号格且落到4号格概率为，从4号格直接落到6号格概率为，故失败的概率为，所以成功的概率为；【小问2详解】因为2n号格为非零偶数格，所以棋子在落到2n号格子前不能落到非零偶数格上，所以路线为共次跳2格，3次跳1格，所以棋子落到号格子且游戏成功的概率为；【小问3详解】设“游戏结束时，余下的金币数量”，则，；时，棋子路径有3种情况：，其概率为133，其概率为13×棋子落到第2k2≤k≤n号格处且成功，共有种路径，0→1→3→⋯→2k−1→2k→2k+1→⋯→2n−1→2n+1，每条路径概率相等且每条路径概率为13133总成功概率，设收益为，则的分布列为1−n+12E(Y令EYn≥EYn−1，所以故时期望最大，期望最大的地图规格为.19.已知函数，其中.（1）当时，求在处的切线方程；（2）已知.（i）求的取值范围；（ii）记的极值点为，证明：.【答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知，再结合导数的几何意义求解即可；（2）（i）先讨论时，不成立，进而转化为讨论的情况，再结合函数单调性得在处取得极小值，且满足，进而将转化为，令，进一步转化为，再结合函数性质得，，最后代入求得的取值范围；（ii）结合（i）知，，，，进而得，再构造函数，研究函数性质得，，最后结合不等式性质即可证明.【小问1详解】解：当时，，定义域为，，所以，，所以，在处的切线方程为：，即【小问2详解】解：（i），要使函数有意义，则，即，所以，当时，的定义域为；当时，的定义域为，下面分情况讨论：当时，的定义域为，，当时，，故，所以，又，与恒成立矛盾，故时不满足题意；当时，的定义域为，，因为函数，在上均为单调递增函数，所以在上单调递增，因为时，；时，，所以，存在唯一实数，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所