重庆市大足区2025-2026学年高二数学下学期第一次月考试题【含答案】

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（）A.9 B.18 C.28 D.36【答案】B【解析】【分析】根据组合数公式计算出正确答案.【详解】.故选：B2.函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断.【详解】表示两点所在直线的斜率，而分别表示在处的切线斜率，由图可知，.故选：B3.若，则（）A. B.6 C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可得；【详解】.故选：C.4.已知，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】B【解析】【分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案.【详解】根据题意,，则其导数，令可得：，解可得，则有，故.故选：B.5.、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）A.24种 B.12种 C.48种 D.23种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法求解相邻问题．【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．6.如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（）A.124 B.185 C.220 D.330【答案】D【解析】【分析】由题意可知问题转化为根据组合数性质计算即可.【详解】根据题意可知：这些数分别为，则由逐步应用得：，所以这些数和330.故选：D.7.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值.【详解】设，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，即与的公切线为，，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，故选：A.8.已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，则,由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案.【详解】设，则当时，有成立，此时所以在上单调递增.又为奇函数，则，则为奇函数，又则在上单调递增，所以在上单调递增.当，恒有可化为，即，由在上单调递增，所以故选：A【点睛】关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，求出的导函数，由条件得到的单调性，将可化为，根据的单调性解出不等式，属于中档题.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间 B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值【答案】ABC【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f(x)单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC．10.下列求导结果正确的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据导数的四则运算一一计算即可.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的单调递减区间是B.若，则方程有两个不等的实根C.若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为D.若过点可以作曲线的三条切线，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值.【详解】对于A：，由得，又函数在连续，所以的单调递减区间是，A正确；对于B：当时，单调递增；当时，单调递减；当时，取得最大值，又时，；时，，所以的图象大致如图：当时，函数与函数图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，B错误；对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，设点，则，解得，此时，点到直线的距离，C正确；对于D：设过点的切线切点为，则，整理得，若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点，对函数，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.又当时，；当时，；时，；时，，所以函数的图象大致如下：则当时，函数与函数有三个交点，此时过点可以作曲线的三条切线，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；【答案】243【解析】【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，所以5名同学共有种选择方法.故答案为：.13.已知函数，则______.【答案】【解析】【分析】求出，代值计算可得的值.【详解】因为，则，因此，.故答案为：.14.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】将题意转化为，再根据的单调性分别求解最小值即可.【详解】当时，由得，，∴在单调递减，∴是函数的最小值，∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【解析】【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.16.用0，1，2，3，4，5可组成多少个：（1）没有重复数字的四位数？（2）没有重复数字且被5整除的四位数？（3）比2000大且没有重复数字的自然数？【答案】（1）300；（2）108；（3）1440【解析】【分析】（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算.【详解】（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种（2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况：个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种.（3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种.17.已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可.小问1详解】函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，内单调递增；在内单调递减；【小问2详解】函数的定义域为，，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，即，设函数，当时，单调递减，当时，单调递增，即函数的最大值为：，由，由，因此函数的图象如下图所示：要想方程有两个不相等的正实数根，只需函数的图象有两个交点，即，实数的取值范围.【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可.19.定义运算：，已知函数．（1）当时，①求在处的切线方程；②证明：在内存在唯一的极小值点，且；（2）若对任意（），都有，求实数取值范围．【答案】（1）①；②证明见解析（2）【解析】【分析】（1）确定函数解析式：①求导得，求切点纵坐标，由点斜式得切线方程；②设，求确定函数的单调性，从而得函数的零点性质，即可得的极值点，从而证得结论；（2）原不等式等价于，设，则，由函数单调可得恒成立，孤立参数求解最值即可得数的取值范围．【小问1详解】，当时，，，①由题意得，则在处