2026年中考数学二轮复习讲练测《折叠问题与几何文化》含答案

初中热点06折叠问题与几何文化热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01平行四边形中的折叠问题题型02矩形中的折叠问题题型03菱形中的折叠问题题型04正方形中的折叠问题第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：根据近三年广州中考试题，“折叠问题与几何文化”部分的考试方向是突出动态几何直观与数学人文素养的双重考查。试题严格依据课标，高度关注折叠变换中图形位置关系的确定、线段与角的等量转化、勾股定理与方程思想的综合运用，同时结合数学历史、传统工艺等“几何文化”背景进行创新命题。在题型上，该板块主要分布在填空题和解答题的中档位置：填空题常以矩形、正方形、平行四边形为载体的折叠问题出现，考查学生通过折叠找等量关系并运用勾股定理建立方程求解；解答题则可能将折叠与图形变换后的特殊位置判定（如某点落在特殊线上）相结合进行综合考查。预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在折叠动态问题中考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。试题可能进一步与跨学科情境融合，如结合剪纸艺术、折纸文化等“几何文化”背景设计任务型问题。考试题型预计保持稳定：填空题中仍会出现以矩形折叠为主线的几何计算题，重在检验学生利用轴对称性质进行转化和建模的能力；解答题则可能将折叠问题与特殊四边形的判定、三角形全等相似进行综合考查。题型01平行四边形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用平行四边形性质：结合对边平行且相等、对角相等等性质，得到边角关系，为全等或相似创造条件。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例1（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．【变式2】综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由题型02矩形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。3.利用矩形性质：结合矩形对边平行且相等等性质，得到平行线间角相等，为全等或相似创造条件。例2（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________．【变式1】（2025·广东广州·二模）已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接．(1)如图，若，时①_____②求的长；(2)若为的三等分点，求的值．【变式2】（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．(1)求的长；(2)求证：四边形是黄金矩形；(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．【变式3】（2025·广东广州·一模）某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合．(1)怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）；(2)折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由；(3)如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程．题型03菱形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用菱形性质：结合菱形四条边相等、对角线互相垂直平分等性质，得到边角关系，为全等或相似创造条件。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是_______．【变式2】（2024·广东广州·二模）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B，D重合），折痕为，若，则点E到的距离为____．题型04正方形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用正方形性质：结合正方形四边相等、四角均为直角、对角线平分对角等性质，得到边角关系。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例4（2025·广东韶关·一模）如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿折叠得到，延长交于点．若，则的长为（

）A．1.5 B．1 C． D．【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______．【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是______．【变式3】（2025·广东广州·一模）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．(1)若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；(2)再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．（20分钟限时练）一、单选题1．（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（

）A． B． C． D．3．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（

）

A． B． C． D．二、填空题4．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____．5．（25-26八年级下·广东广州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________．6．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______．三、解答题7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：．8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形纸片是黄金矩形，宽，折叠纸片，使点A落在上的点E处，得到折痕；再次折叠纸片，使点C落在上的点G处，得到折痕．

(1)求证：四边形是正方形；(2)四边形是黄金矩形吗？请说明理由．9．如图，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段________，________；________．(2)纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，求的长．(3)如图，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．10．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．(1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示）(2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G．证明：点G为边的中点；(3)【拓展应用】在（1）的条件下，①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系；②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值．

热点06折叠问题与几何文化热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01平行四边形中的折叠问题题型02矩形中的折叠问题题型03菱形中的折叠问题题型04正方形中的折叠问题第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：根据近三年广州中考试题，“折叠问题与几何文化”部分的考试方向是突出动态几何直观与数学人文素养的双重考查。试题严格依据课标，高度关注折叠变换中图形位置关系的确定、线段与角的等量转化、勾股定理与方程思想的综合运用，同时结合数学历史、传统工艺等“几何文化”背景进行创新命题。在题型上，该板块主要分布在填空题和解答题的中档位置：填空题常以矩形、正方形、平行四边形为载体的折叠问题出现，考查学生通过折叠找等量关系并运用勾股定理建立方程求解；解答题则可能将折叠与图形变换后的特殊位置判定（如某点落在特殊线上）相结合进行综合考查。预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在折叠动态问题中考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。试题可能进一步与跨学科情境融合，如结合剪纸艺术、折纸文化等“几何文化”背景设计任务型问题。考试题型预计保持稳定：填空题中仍会出现以矩形折叠为主线的几何计算题，重在检验学生利用轴对称性质进行转化和建模的能力；解答题则可能将折叠问题与特殊四边形的判定、三角形全等相似进行综合考查。题型01平行四边形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用平行四边形性质：结合对边平行且相等、对角相等等性质，得到边角关系，为全等或相似创造条件。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例1（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得，，，，，，故选：．【变式1】（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；(2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：；(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由折叠的性质可得：，，四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：由折叠的性质可得：，四边形是平行四边形，，，，点三点在同一条直线上是等腰三角形，；（3）解：如图，延长交于点H，由折叠的性质可得：，，，是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，．【变式2】综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由【答案】（1），见解析（2），见解析（3），见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质：（1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论；（2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论；（3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论．【详解】（1）解：，理由：是对角线的交点，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合，，，，，在中，，，，在和中，，，，，，即，，，，；（3）解：，分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（2）得，在中，，，纸片沿过点O的线段折叠，，，，由（1）得，，，，设，，，，，在和中，，，，，，，．题型02矩形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。3.利用矩形性质：结合矩形对边平行且相等等性质，得到平行线间角相等，为全等或相似创造条件。例2（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________．【答案】85或【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案．【详解】解：连接，在矩形中，，，∴，，∵点是边上的中点，∴，∴，∵翻折，∴，∴∵，∴当在上时，取最小值，最小值为；∵为直角三角形，当时，∵点N是边上的中点，，∴，∵，∴点B的对应点不能落在所在直线上，∴，不存在此类情况；当时，如图所示，由折叠性质可得，，∴；当时，如图所示∵，∴、N、C三点共线，设，则，∴，解得：，综上所述的长为或5．故答案为：8；或5．【变式1】（2025·广东广州·二模）已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接．(1)如图，若，时①_____②求的长；(2)若为的三等分点，求的值．【答案】(1)①，②(2)或1【分析】（1）作于点，设与交于点，根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，，即可求出的长，再通过证明得到，即可解答；（2）延长与交于点，利用折叠的性质推出，通过证明得到，结合为的三等分点，分2种情况讨论，设，利用相似三角形的性质和勾股定理表示出，进而表示出，即可求出的值．【详解】（1）解：如图，作于点，设与交于点，矩形，，，，∴，点落在边的中点，，，，解得，即．，，，，四边形是矩形，，由折叠的性质得，垂直平分，，，，又，，，．故答案为：①，②（2）延长与交于点，由折叠的性质得，，，，，即，，，，，为的三等分点，或，①当时，，设，则，，，，，，，，；②当时，，设，则，，，，，，，，；综上所述，的值为或1．【变式2】（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．(1)求的长；(2)求证：四边形是黄金矩形；(3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．【答案】(1)2(2)证明见解析(3)四边形是黄金矩形．证明见解析【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可；（2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案；（3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论．【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，∴，∴；（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，∴，，又∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形；∴，由（1）可知，，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是黄金矩形．（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：∵，四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形；由（2）可知，，∵为的中点，∴，∴，如图，连接，由对折可得：，，，设，则，∵∴，解得：，∴，∴，∴四边形是黄金矩形．【变式3】（2025·广东广州·一模）某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合．(1)怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）；(2)折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由；(3)如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程．【答案】(1)见解析(2)点在上，理由见解析(3)72，见解析【分析】（1）利用轴对称的性质和尺规作角平分线的方法作图即可；（2）连接，利用折叠的性质得到，再利用全等三角形的性质得到，最后由点与圆的位置关系求解；（3）利用矩形的性质得到，根据相似三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形的知识、勾股定理来求出和的长度即可求解．【详解】（1）解：如图所示，射线为所求．（2）解：点在上．理由如下：∵沿折叠得到，∴，，在和中，∴，∴，连接，则，∴点在上．（3）解：由（2）知，∴，在矩形中，，∴，∴，∴．∵，，∴设，则，由勾股定理得．∵，∴，∴．∵，∴，设，则，在中，，解得，∴，，∴，∴，∴．题型03菱形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用菱形性质：结合菱形四条边相等、对角线互相垂直平分等性质，得到边角关系，为全等或相似创造条件。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是菱形，，∴，则是等边三角形，∵，为的中点，∴，，∴，∴，∵折叠，∴，∴图形的面积是，(此时点重合)故选：B．【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是_______．【答案】/度【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据菱形性质，证明，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出，再利用三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，由折叠的性质可知，，，，故答案为：．【变式2】（2024·广东广州·二模）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B，D重合），折痕为，若，则点E到的距离为____．【答案】【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．作于H，，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，设，则，在中，，，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作于H，由折叠的性质可知，，由题意得，，四边形是菱形，∴，，∴为等边三角形，∴，设，则，在中，，，∴在中，，即，解得，，∴，故答案为：题型04正方形中的折叠问题解｜题｜策｜略1.抓轴对称性质：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用正方形性质：结合正方形四边相等、四角均为直角、对角线平分对角等性质，得到边角关系。3.勾股定理建方程：将折叠后的对应边关系转化到直角三角形中，设未知数列方程求解。例4（2025·广东韶关·一模）如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿折叠得到，延长交于点．若，则的长为（

）A．1.5 B．1 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．连接，根据折叠的性质和正方形的性质可得，，即可证明得到，设，则，，在中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，由折叠的性质可得，，，∵，∴，又∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，∴，解得，即，故选：D．【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______．【答案】①②③④【分析】由正方形的性质得，，，，，则，所以，由折叠得，，，则，，可判断正确；所以，则，所以，则四边形是菱形，可判断正确；可证明，，则，求得，，则，可判断正确；再证明，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是正方形，对角线、交于点，，，，，，，，，由折叠得，，，，，故正确；，，，四边形是菱形，故正确；，，，，，，，，，，，，故正确；，，，，，故正确，故答案为：．【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．当点与点重合，点在边上，此时的值最大；连接，利用即可最小值．【详解】解：如图1，点与点重合，此时点在边上，正方形的边长为2，，由折叠得，的最大值为2；如图2，连接，为的中点，，，，，，，的最小值为，的最值范围是，故答案为：．【变式3】（2025·广东广州·一模）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．(1)若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；(2)再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．【答案】(1)(2)小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比【分析】（1）连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解；（2）先可证，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故，再根据三角形的面积公式即可求得两个三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：连接，由题意得，，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴；（2）∵，设，∴，，∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可证：，∴，，在中，由勾股定理得，由折叠可知：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由题意得，而，∴，∴，∴的面积为，的面积为，∴．综上，小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比．（20分钟限时练）一、单选题1．（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解．【详解】解：在矩形中，，，，，由折叠可知：，，，．故选：B．2．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离．【详解】解：四边形是矩形，，，，由折叠可得：，，，，，四边形是矩形，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，则，则点到的距离为：，则点到的距离为：．故选：C．3．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长．【详解】解：由折叠可知：，，，，在和中，，，，，故正确；，，由折叠可得，，，故正确；正方形边长是12，，设，则，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，，五边形的周长是：，故正确；故选：D．二、填空题4．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____．【答案】【分析】由折叠性质得四边形为正方形，设，则，为中点，则．过点作于点，由等腰直角得，在中得，故，进而即可求解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，由题意得，，，，∴，∴四边形是正方形，∴，设，在中，，∵是的中点，∴，如图，过点作于点，在正方形中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，，解得，由题意得，，在中，，∵，且，∴，∴．5．（25-26八年级下·广东广州·月考）小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________．【答案】【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离．【详解】解：四边形是矩形，，，，由折叠可得：，，，，，四边形是矩形，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，则，则点到的距离为：，则点到的距离为：．6．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．（1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______．【答案】/【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解；②记与交于点K，可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故．【详解】解：①连接，由题意得，，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案为：；②记与交于点K，如图：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可证：，∴，，在中，由勾股定理得，由题意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由题意得，而，∴，∴，故答案为：．三、解答题7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可．【详解】证明：连接，如图：∵对折矩形纸片，为折痕，，，垂直平分沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，为等边三角形．8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形纸片是黄金矩形，宽，折叠纸片，使点A落在上的点E处，得到折痕；再次折叠纸片，使点C落在上的点G处，得到折痕．

(1)求证：四边形是正方形；(2)四边形是黄金矩形吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)是，理由见解析【分析】（1）根据正方形的判定定理求解即可；（2）首先根据题意设设，，然后根据正方形和矩形的性质表示出，进而求解即可．【详解】（1）∵折叠纸片，使点A落在上的点E