2025-2026学年广东广州实验外语学校高二1月月考数学试题及答案

高中2025--2026学年高二数学1月月考试题（满分：150分；时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．2．已知直线，，且，则（

）A． B． C．1或 D．或3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（

）A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长5．圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．6．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（

）A． B． C． D．7．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（

）A．B．C．D．8．已知点F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点、点MA．105 B．55C．36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．10．已知直线l:3x−y−3=0过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F，且与抛物线C交于A,B两点（A点在第一象限A．抛物线的方程为y2=4x B．线段AFC．∠MFN=90∘ D．线段AB的中点到y11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（

）A．点的轨迹方程为B．的最大值为6C．的取值范围是D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为．13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时，.14．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为，此时点到直线的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）．已知圆经过三点．(1)求圆的标准方程；(2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度．16（15分）．在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；(2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值.17（15分）．已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若直线l过点(0,2)，与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且△AOB的面积为26，求直线l18（17分）．已知数列的前项和为，且a1=1，(1)求数列通项公式；(2)若数列满足,求数列的前项和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.19（17分）．如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．2025--2026学年高二数学1月月考试题答案（满分：150分；时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设的公比为，则，从而，则，故选：D.2．已知直线，，且，则（

）A． B． C．1或 D．或【答案】A【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由知，，解得.故选：A．3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程.【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知，由于是等边三角形，则，所以，由题意可得，解得，因此该双曲线的标准方程为.故选：C4．日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（

）A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长【答案】B【解析】由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得.对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确；对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误；对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确；对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为.故选：B.5．圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程.【详解】圆的圆心为，半径为，设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，所以，解得，即所求圆的圆心坐标为，故圆关于直线对称的圆的方程为.故选：D.6．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

如图，设，依题意，连接，因，又，则.故选：A.7．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.由题意，因为为正方形，且底面，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，设，，则，所以，即，设平面的法向量为，则，解得，取，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，因为单调递增，所以当时，最大，此时，即直线与平面所成角的最大值为.故选:C8．已知点F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点、点MA．105 B．55 C．36【答案】D【解析】点F1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N必在MF1+MF2=2a，设M又NF1+△MF1N即(4a−2m)2=m2+m2△MF1F2中，整理得a2=3c故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．【答案】ACD【解析】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确；所以，则，，显然，所以数列不是等比数列，故B错误；，，故C正确；，故D正确.故选：ACD.10．已知直线l:3x−y−3=0过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F，且与抛物线C交于A．抛物线的方程为y2=4x B．线段AFC．∠MFN=90∘ D．线段AB的中点到y【答案】AC【解析】由题意，不妨设点A在B点上方，直线l:3x−y−3又l经过C:y2=2pxp>0的焦点F(1,0)，可得由3x−y−3=0y2=4x，可得可得交点分别为(3,23),(1由上，若A(3,23),B(1可得kNFkMF=2由上，线段AB的中点为(53,233)故选：AC.11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（

）A．点的轨迹方程为B．的最大值为6C．的取值范围是D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得【答案】ACD【解析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B；为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点.因为，所以化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确；，几何意义为点到定点距离的平方加1，因为点在圆上，圆心为，半径，到圆心距离为，则到圆上的最大距离为所以最大值为，选项B错误；圆，圆心为,半径；两圆心距为;则的最小距离为；的最大距离为；所以范围是，选项C正确；当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为．【答案】【解析】因为直线过点，，所以直线的方程为：，即，因为与直线平行，所以，所以两平行线间的距离，13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时，.【答案】9【解析】由，得，又，所以，即，所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正，所以前9项和最小。即当取得最小值时，.故答案为：914．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为，此时点到直线的距离为.【答案】【解析】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，要使得平面，则平面，因为平面平面，故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点，则.以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系，易知，取，则，所以点到直线的距离为.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知圆经过三点．(1)求圆的标准方程；(2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度．【答案】(1)(2)【解析】（1）设圆的一般方程为，由题意得，，解得，所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（2）由圆与圆，两式相减得，即直线的方程为，则圆心到直线的距离，又圆的半径为5，故.16．在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1），为中点，.又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，.又为的中点，，又，.又平面，平面.（2）过作交于点，设，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，故，，，.设为平面的法向量，则，即，，取，则，是平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，，取，则，是平面的一个法向量.设二面角的大小为，则17．已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若直线l过点(0,2)，与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且△AOB的面积为26，求直线l【答案】(1)x(2)y=x+2或y=−x+2【解析】（1）∵双曲线C:x2a∴ba=3∵双曲线C的焦点坐标为±c,0，焦点到渐近线的距离为6，∴±3c3又c2=a2+所以双曲线C的方程为x2（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+2，设A(x由y=kx+2x22由题意得3−k2≠0因为x1所以|AB|=1+k2又点O到直线l的距离d=2所以△AOB的面积S=1则k4−5k2+4=0，即k又因为−3<k<3所以直线l的方程为y=x+2或y=−x+2．

18．已知数列的前项和为，且a1=1，(1)求数列通项公式；(2)若数列满足,求数列的前项和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【解析】（1）：由数列满足，当时，，当时，，两式相减，可得，整理得，即，又=4，所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为：；故答案为：.（2）由题意，，则前项中：奇数项：，共项，是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4），则：偶数项：，共项，对应，是首项为4，公比为16的等比数列（），则：因此前项和为：.故.（3）由（1）知，，因为，所