2026届新高考数学三轮热点冲刺复习 高中数学典型案例解析

2026届新高考数学三轮热点冲刺复习

高中数学典型案例解析

CONTENTS目录11

正方体截面的探究12

投掷骰子问题13

分层抽样14

阶梯电价的设计15

测量建筑物的高度CONTENTS目录16

用向量的方法研究距离问题17

二项式定理18

杨辉三角教学启示

案例综合总结与教学启示正方体截面的探究案例11新旧课程标准对比与教材定位

2017年版课程标准对比2017年版2020年修订与2025年修订的普通高中数学课程标准，在正方体截面问题上无区别。

教材位置说明正方体截面问题位于人教A版必修第二册第八章“立体几何初步”，是理解空间点、线、面位置关系的重要载体和锻炼空间想象能力的关键素材。

相关例题分布第138页例3，演示在木料（长方体）上画线得到指定截面；开放性探究：第145页“拓广探索”第15题，引导思考截面形状；配套巩固：第144页第12题，巩固截面作法技能。核心素养直观想象：通过思考平面截正方体的过程，你需要在脑海中动态地“切割”几何体，

想象截面与棱的交点及形状变化。同时，它培养了数形结合的能力，让你

能根据文字或符号条件，准确画出截面图形。逻辑推理：截面作图不能单靠直觉，每一步都有严格的几何依据。你需要运用公理与

定理（如公理2：不共线三点确定一个平面）来论证截面与棱的交点为何

在特定位置。数学抽象：通过研究正方体截面，你能从具体的几何模型中，抽象出空间图形、平面

图形及其位置关系的本质，从而建立从实际物体到理想化几何图形的认知。数学运算素养：在涉及截面面积或特定位置的计算时，可能会间接考查数学运算素养。高考真题列举题型2020年北京市高考数学试卷16题解答题2013年安徽卷理科数学15填空题2023年高考全国乙卷数学(文)16题填空题2024年天津卷

第9题单选题2015年理科数学（新课标Ⅱ）19题解答题2018年理科数学（新课标I卷）12题填空题2025年高考全国二卷数学14题填空题投掷骰子问题案例12新旧课程标准对比2017年版2020年修订与2025年修订的普通高中数学课程标准，在投掷骰子问题案例上无区别。普通高中数学课程标准2017年版2020年修订2017年版2025年修订有无区别无教材定位与古典概型应用

教材章节分布骰子问题主要位于人教A版2019必修第二册第十章，集中在10.1节“随机事件与概率”和10.3节“频率与概率”。

古典概型核心地位10.1.3古典概型是骰子问题应用的核心，用于计算概率，是考试重点。需判断有限性和等可能性，准确列出样本空间（共36个样本点），数出事件包含样本点数后套用公式计算。

样本空间构建关键通过列举法（列表、树状图）写出由两个因素决定的复杂样本空间，如掷两枚骰子的36个样本点并用集合表示事件。标记骰子保证每个样本点等可能，是正确使用古典概型公式的关键。核心素养数学抽象：从掷骰子游戏抽象出样本空间、随机事件等概念逻辑推理：体现在事件关系判定和概率性质运用数学运算：进行列举计数和概率计算数学建模：构建古典概型，判断是否符合有限性和等可能性特征高考真题列举题型2025全国一卷第15题解答题2025全国二卷

第19题解答题2024新课标Ⅱ卷第14题填空题2024年天津高考数学真题第13题填空题2024全国甲卷数学(理)第4题单选题2024新课标Ⅰ卷第14题填空题2024年甲卷数学(文)第4题单选题2024新课标Ⅱ卷第18题解答题2023北京·高考第19题解答题2023天津·高考第13题填空题2023全国乙卷第9题单选题2023全国甲卷第4题单选题分层抽样案例13新旧课程标准对比教材定位教材内容位置分层抽样内容位于人教A版高中数学必修第二册第九章《统计》9.1.2节“分层随机抽样”，系统讲解定义、适用情形、比例分配原则及总体平均数估计方法。分层环节当总体由差异明显的几部分组成时，将总体按特征划分为不同层次（如不同年级、不同区域），确保层内个体差异小、层间差异大。抽样环节按各层在总体中所占比例，在每层内独立进行简单随机抽样，保证样本结构与总体结构一致，避免“极端样本”。加权计算环节通过各层样本平均数乘以对应层权数（层个体数占总体数比例），求和得到总体平均数估计值，体现“了解整体、洞察内部”优势。核心素养数据分析：这是最核心的体现。学生在面对差异明显的总体时，需要判

断是否适用分层抽样，并经历从分层、抽样、加权计算到估

计总体的完整数据处理过程，理解其“了解整体、洞察内部”的优势。逻辑推理：通过探究为什么要“按比例分配”、为什么能用样本平均数估计总体平均

数，推导层内方差与总体方差的关系，从而理解分层抽样提高估计精度的

内在逻辑。数学建模：将现实问题（如调查全校学生视力）抽象为分层抽样的数学模型，并确定

分层变量和样本量。这培养了学生从实际背景中抽象出数学问题并加以解

决的能力。高考真题列举题型2023全国乙卷·高考真题解答题

17题2023新课标Ⅱ卷·高考真题单选题

第3题2013年理科数学（新课标1卷第3题2024年上海春季高考练习数学试题19题阶梯电价的设计案例14新旧课程标准对比教材定位教材章节位置位于人教A版高中数学必修第二册第九章《统计》9.2.2节“总体百分位数的估计”，是统计学应用的经典案例。核心例题形态1.根据分档比例求临界点：如“将80%居民用电量归入第一档”，需计算样本数据的第80百分位数；2.根据临界点反推分档比例：如已知180度、260度临界值，判断第75百分位数所在档位。百分位数计算方法通过公式i=n×p%确定位置，根据i是否为整数选择不同求值方法，结合样本数据（如200户居民月用电量）精准计算临界点。核心素养数学建模：将阶梯电价临界点确定转化为百分位数计算模型数据分析：处理原始数据或频率分布直方图，基于数据决策档位数学运算：严谨计算百分位数位置及数值，确保结果精确高考真题列举题型2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题19题解答题2025年上海春季高考练习数学试题19题2023新课标Ⅱ卷·高考真题单选题

第3题2013年理科数学新课标1卷第3题测量建筑物的高度案例15新旧课程标准对比教材定位与解三角形模型01教材章节位置位于人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》6.4.3节余弦定理、正弦定理应用举例（第3课时）02底部不可达建筑物测量模型针对测山高、塔高等底部不可达场景，通过构建含仰角、距离等元素的三角形，利用正弦定理或余弦定理求解高度。03空间问题平面化模型将测山高等空间问题转化为平面几何问题，通过分解复杂图形为多个三角形，逐步推导高度计算所需的边角关系。04仰角俯角应用模型利用测量仪器获取的仰角、俯角数据，结合水平距离等已知条件，构建直角三角形或斜三角形模型计算建筑物高度。核心素养

数学建模素养将“测楼高”实际问题抽象为“解三角形”数学模型

直观想象素养根据方位角、仰角描述绘制立体或平面草图，将现实环境转化为几何图形，为模型求解提供可视化基础。

逻辑推理与数学运算素养通过正弦定理、余弦定理推导未知量，严谨进行边角计算，并对结果进行误差分析与数据处理。高考真题列举题型2021年全国高考乙卷数学（理）试题9题单选题2014年文科数学（四川卷）8题单选题2014年理科数学（上海卷）21题解答题2015年理科数学（湖北卷）13题填空题2014年文科数学（新课标Ⅰ）16题填空题2014年理科数学（浙江卷）16题填空题用向量的方法研究距离问题案例16新旧课程标准对比教材定位教材章节位置人教A版高中数学选择性必修第一册，第一章《空间向量与立体几何》，1.4.2节“用空间向量研究距离、夹角问题”（第1课时距离问题），具体位于第33-35页及配套练习、习题中。核心研究内容主要涵盖点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间距离、线面距离及平行平面间距离的向量求解方法。向量法“三步曲”第一步：建立立体图形与空间向量的联系，构建空间直角坐标系；第二步：进行向量坐标运算，包括求模长、法向量等；第三步：将向量运算结果“翻译”为几何结论，得出距离值。核心素养直观想象：建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量问题；理解投影向量与垂线段的关系。

根据几何体的对称性选择建系方式，在脑海中构建向量投影的几何图形

。数学运算：准确进行向量的坐标运算、求模长、求法向量；套用距离公式计算精确值。

逻辑推理：推导距离公式；将线面距离、面面距离转化为点面距离。将两条平行直线的距离转

化为点到直线的距离，体现了化归与转化的思想。

例题集中体现了用向量法解决立体几何问题的“三步曲”：建立立体图形与空间向量的联系

→

进行向量运算

→

将向量结果“翻译”成几何结论

。高考真题列举题型2025年高考天津卷数学真题17题解答题2025年高考全国二卷数学真题17题解答题2025年高考全国一卷数学真题6题选择题2025年高考全国一卷数学真题17题解答题2025年高考全国一卷数学真题9题多选题2024年北京高考数学真题17题解答题2024年高考全国甲卷数学(理)真题19题解答题2024年天津高考数学真题17题解答题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题17题解答题2023年北京高考数学真题16题解答题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题18题解答题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题20题解答题二项式定理案例17新旧课程标准对比教材定位与定理应用

人教A版（2019）选择性必修第三册，第六章《计数原理》6.3节“二项式定理”6.3.1二项式定理及6.3.2二项式系数的性质

典型应用类型包括直接展开应用、求特定项（如常数项、有理项）、区分二项式系数与项的系数，以及利用赋值法求系数和。核心素养数学抽象：从具体的展开式出发，通过观察、归纳，抽象出一般的展开式形式。

逻辑推理：运用计数原理（分步乘法计数原理）和组合知识，严谨地推导和证明二项式定理

。数学运算：熟练运用通项公式，准确计算组合数、指数幂，求解特定项或系数

，需要准确建立

方程、计算组合数。直观想象：通过“杨辉三角”直观呈现二项式系数的对称性、增减规律观察杨辉三角中数字的

排列规律，直观理解二项式系数的性质。集中体现了二项式定理学习中的“三个联系”：联系计数原理理解公式推导；联系组合知识理解系数含义；联系杨辉三角理解系数性质高考真题列举题型2025天津·高考真题第11题填空题2025年高考北京卷数学真题第12题填空题2025年高考天津卷数学真题第19题解答题2024全国甲卷·高考真题第13题填空题2024天津·高考真题第11题填空题2024北京·高考真题第4题单选题2023年北京高考数学真题第5题单选题2023天津·高考真题第11题填空题杨辉三角案例18新旧课程标准对比教材定位与规律探究

教材定位杨辉三角在人教A版高中数学选择性必修第三册，是二项式定理内容的延续和深化，同时也作为数学探究活动的典型案例单独呈现。

杨辉三角的基本规律杨辉三角以二项式系数的对称性、增减性与最大值、各系数的和等性质为主要研究内容。

赋值法求系数和通过赋值法可求展开式的系数和，这是杨辉三角应用的重要方面。

杨辉三角的拓展应用利用杨辉三角可探究“三角垛”的求和公式，还能将小球在弹球游戏（高尔顿板）中落入不同区域的概率等实际问题抽象为杨辉三角模型，解决堆垛、概率等问题。核心素养

直观想象通过观察杨辉三角的数字排列，直观发现