2026年高考数学复习（全国）重难点02 不等式恒成立、能成立问题7大题型（试题版）

重难点02不等式恒成立、能成立问题7大题型

【全国通用】

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「题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题

，题型2一元二次不等式在某区间上恒成立问题

•题型3给定参数范围的不等式恒成立问题

-题型4一元二次不等式在实数集上有解问题

、题型5一元二次不等式在某区间上有解问题

、题型6基本不等式中的恒成立、有解问题

L题型7不等式恒成立、能成立问题综合

考情分析

1、不等式恒成立、能成立问题

一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问

题”是常考的重点、热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖

知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉

及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解

题能力和培养其思维能力都起到很好的作用，二轮复习时需要加强这方面的训练.

知识梳理

知识点1不等式恒成立、能成立问题

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式加+云+。>0,它的解集为R

八八fft>o

的钮为｛△=/_4QC<0'

Ia>0

一元二次不等式加+bx+c20,它的解集为R的条件为§△=/—4QCW0.

<2>0

一元二次不等式ax2+^-+c>0的解集为。的条件为<

△W0,

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全塞国上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.

⑵解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围,

谁就是参数.

①若加+纵+c>0恒成立，则有必)，且A<0：若ar2+/»+c<0恒成立，则有。<0,且△<().

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数:一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的

范围，谁就是参数：即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求

解.

4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的量值来处理，具体如卜.：

⑴对任意的X目，〃川，4>/U)恒成立=；

若存在X£[〃?,川，a>/U)有解=a>©min；

若对任意x£[inji],。次。无解=a^flx)mjn.

(2)对任意的x£[m,n],〃</U)恒成立=>a<fix)inin；

若存在x£淆解=>。勺>嬴.、：

若对任意x,。矶丫)无解=a2八r),w

举一反三

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】(2025・湖北黄冈•模拟预测)若-+2>0”是真命题，则实数m的取值范围为()

A.(-2\/2,2\/2)B.[-2V2,2\/2]C.(-2,2)D.[-2,2]

【变式1-1](25-26高一上・江苏•期中)不等式依2+丘+1对一切实数x都成立，则实数上的取值范围

是()

A.(—oo,0]U[4,4-co)B.(―oo,0)U(4,4-co)

C.[0,4]D.(0,4)

【变式1-2](2025・河南•模拟预测)已知命题叼入€/?,/-爪”+血〈0”是假命题，则实数m的取值范围为

()

A.[0,4]B.(0,4)C.[0,2]D.(0,2)

【变式1-3]（25-26高一上•宁夏银川•期中）对于任意实数的不等式（a-2）%2-2（a-2）%-4Vo恒成立,

则实数a的取值范围为（）

A.{a\a<2}B.（a\a<2}

C.{a|-2Va<2}D.{a|-2VaW2}

【题型2一元二次不等式在某区间上恒成立问题】

【例2】（25-26高一上•贵州六盘水•期中）一元二次不等式/-mx-1<U在区间[2,4]上怛成立，则实数m的

取值范围是（）

C[l，+8）D.胃,+8）

【变式2-1]（25-26高三上•北京西城•月考）若V为W（l,+8）,不等式％2一（1+血口+（1+m）20恒成立，

则实数〃，的取值范围是（）

A.（—8,2]B.[2,4-co）C.（—8,3]D.[3,+8）

【变式2-2]（25-26高一上•江苏南通・期中）当xw（-1,1）时，不等式2k/一心；一9<o恒成立，则女的取值

8

范围是（）

A.（-3,0]B.[-3,0）C.（一3谭）D.（-3周

【变式2-3]（25-26高一上•安徽芜湖・月考）设若关丁式的不等式2k二一快十3〃十2Z0恒成

立，则实数攵的最大值为（）

A.8B.9C.10D.11

【题型3给定参数范围的不等式恒成立问题】

【例3】（25-26高一上•云南红河・月考）当OWmW3时，不等式/一（m+2及+m-3Vo恒成立，则工的

取值范围为（）

A.（-1,5）B.（-1,3）C.（0,3）D.（0,5）

【变式3-1]（25-26高一上•黑龙江哈尔滨•期中）若白G[1,2],使得关于a的不等式a%?+x-a4-1>0成立,

则实数》的取值范围为（）

A.%工一1或％NOB.工工一1或%之：

C.x>1D.x<1

【变式3-2](25-26高一上•湖北随州•期中)若不等式%2-ax>16-3x-4a对任意aG[-2,4]恒成立，则

x的取值范围为()

A.(-00,-8]U[3,+00)B.(-oo,0)U[1,+oo)

C.[-8,6]D.(0,3)

【变式3-3](24-25高一上・贵州•期中)已知集合A={t|t2-5t-6<0},对于任意的te4不等式炉+比-

£>2%-1恒成立，则实数x的取值范围是()

A.(1,2)B.(-co,l)U(l,+oo)

C.(-5,2)D.(-00,-5)U(2,4-00)

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例4】(25・26高一上•山西太原•期中)若存在使得不等二一1>0成立，则实数k的取值范

围是()

A.(-00,-4)B.(0,4-co)C.(-4,0)D.(-00,-4)U(0,+co)

【变式4-1](25・26高一上•天津武清•期中)若命题“我WH,使得以+2g+2a+3〈0”为真命题,则实数

a的取值范围是()

A.{Q|Q<_1)B.{ct|—1<tz<3}

C.{可。<-1或。>3}D.

【变式4-2](25-26高一上.天津南开•月考)若关于x的不等式/+2工+9Vzn2+2m有实数解，则实数相

的取值范围是()

A.(-00,-4)U(2,4-00)B.(-oo,-4]u[2,4-co)

C.(-4,2)D.(-8,-2]U[4,+8)

【变式4-3](24-25高一上•山东济南・期末)若三%GR.mx2+2(m-3)x+4<0,则实数m的取值范围为()

A.(1,9)B.(-co,0)C.(-8,1)u(9,+8)D.(-00,1]u[9,+a>)

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例5】(25-26高一上•湖北孝感・期中)当14工43时，关于”的不等式％2一。%+420有解，则实数a的取

值范围是()

A.a<4B.a<-4或a>4

C.a<5D.a<y

【变式5-1](25-26高一上•黑龙江•期中)若存在％U[-2,0],使得/一2%+5-znV0成立，则〃?的取值范

围为（）

A.m>13B.m>4C.m>5D.m>8

【变式5-2]（25-26高一上•天津南开・月考）设aeR,若关于”的不等式/一+i工。在i三3W2上有解,

贝U（）

A.a<2B.a>2

C.a<|D.

【变式5-3]（25-26高一上•江西赣州・月考）当14x44时，关于x的不等式M一加工一根+15W0有解的

充要条件是（）

A.7716（-oo,+5]B.mG[6,+co）

C.mG[7,+oo）D.mG[8,+oo）

【题型6基本不等式中的恒成立、有解问题】

【例6】（2025•吉林延边•一模）已知正实数%,y满足％+y-1y=0,且不等式x+y-a>0恒成立，则a的

取值范围是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【变式6-1]（24-25高一上•江西南昌・期中）若两个正实数3,y满足：+：=1,且不等式％+；<m2一3帆有

解，则实数m的取值范围是（）

A.{m\—1<Tn<4}B.{m\m<—4或m>1}

C.{m|-4<m<1}D.{m[7n<-1或m>4}

【变式6-2]（2025•江西•一模）已如正数x,），满足x+y=6,若不等式Q4三+为恒成立，则实数。的取

值范围是.

【变式6-3]（25-26高一上•陕西宝鸡•期中）已知x>0,y>0,且x+y=l,若+3m4：+；恒成立，则

实数m的取值范围是.

【题型7不等式恒成立、能成立问题综合】

[M7]（24-25高一上•北京・月考）知命题pTxeR,（m+l）（x2+1）<0,命题q:VxGR,x2-mx+1>0

恒成立.若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为（）

A.[2,4-00）B.（-1,2]

C.(-00,-2]U[2,loo)D.(―8,_2]U(―1,18)

【变式7-1](24-25高一上•河北•月考)设命题p：对任意一1工工工1,不等式/一2工一4+巾V0恒成立;

命题％存在OWxWl，使得不等式2%-22血？一3m成立，若〃，夕中至少有一个是假命题，则实数机的

取值范围为()

A.{m\m<-1}B.{mI0<m<3}

C.{mI0<m<1}D.(-oo,0)U[1,+<»)

【变式7-2](25-26高一上•天津南开•期中)已知关于x的不等式。/一2%一。+1V0.

(1)是否存在实数a,使不等式对任意无6R恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于aG[-1川恒成立，求实数》的取值范围；

(3)若存在XW[2,+8)使不等式成立，求a的取值范围.

2

【变式7-3](24-25高一上•河北张家口•月考)已知函数/(》)=2--2a%+2-a?,^(x)=x2+-a—

4(ae/?).

(I)当a=1时,解不等式f(%)>g(%)；

(2)若对任意%>0,都有/(x)>g(x)成立，求实数Q的取值范围；

(3)若对W[0,1],3X2G[0,1],使得不等式/(%i)>g(M)成立，求实数a的取值范围.

课后提升练

一、单选题

1.(2025・陕西咸阳•二模)已知命题FxWR,使％2+X+Q-2W0”是假命题，则实数a的取值范围是()

A.(-co.O)B.[0,4]C.[4,+8)D.信+8)

2.(25-26高一上•湖北武汉・月考)设％>0,y>0,且不等式(ax+y)©+；)W9有解，则正实数Q的取值

范围是()

A.a>4B.0<a<2C.0<a<4D.a>2

3.（2025•重庆•一模）已知aeR,则+2x+a>0的解集为R”是“a>。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（25-26高一上.福建•期中）已知存在-词，使得%2—2%之十一2加成立，则m的取值范围是（）.

A.[0,2]B.[-1,3]C.假图D.[0,+oo）

5.（24-25高一上•江苏南通•期中）\/%€（-1,+8）,%2+（1一的％+1一k工0恒成立，则实数k的取值范围

为（）

A.（-8,—1]B.（-8,0]C.（-3,1]D.（-8,1]

6.（24-25高一上•安徽池州•期中）已知%>0,y>0,且x+y=5,若吃+白之2m+1恒成立，则实数m

的取值范围是（）

A,(-8,日B•(-8局C.(一8曰D.(一8,4]

7.（24-25高三上•山西・月考）若不等式（ax-l）（x-b）>0对任意的％GR恒成立，则4a+8的最小值为（）

A.2企B.4C.5D.4V2

8.（2025•云南昭通・模拟预测）已知函数若对于任意的实数达不等式16/（2%-

a）</（X2+2）恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[1,+8）B.[1,2]C.[-}+8）D.[2,+8）

二、多选题

9.（25-26高一上・江苏扬州・期中）若关于％的不等式/+（1-/（）x+/c-1>0在（1,+8）上恒成立，则实数

k的可能取值为（）

A.7B.5C.3D.-2

10.（24-25高一上•广东湛江・月考）已知不等式/一。％-。+120在工€[0,3]上有解，则实数Q的取值可

以为（）

A.a=2B.a=1C.a=3D.a=5

11.（25-26高一上•四川广元•月考）已知不等式以2+取+。>0的解集是{%|一2<%<3},则下列说法正

确的是（）

A.a>0

B.不等式ex?+bx+a<0的解集是卜|-1<x<

C.a+b+c>0

D.若关于m的不等式Tn?—潦有解，则实数M的取值范围是｛mIm>2或m<1｝

三、填空题

12.(2025•山东•二模)已知不等式3/+(。-2)己+420对任意的文€(0