高数学复习专项训练：计数原理（解析版）

专题21计数原理

真陶在

1.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选•个位置插入，有2科插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方

式，

故选：B

2、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培

训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项巨中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和

冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方

案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项巨中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C：种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看戌四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C；X4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

4.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.-B.-C.-D.一

3535

【答案】c

【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个。相邻，则有C；=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=10种排法，

所以2个0不相邻的概率为」一=-.

5+103

故选：C.

5、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，

乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90#C.60种D.30种

【答案】C

【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数

有以；最后剩下的3名同学去并场馆，故不同的安排方法共有=6x10=60种，故选C.

6、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，

第三天安排2个人，则共有种安排情况.

【答案】180

【脩析】按照先选再排的方法可知共有C：C：C；=180种方法.

故答案为：180

7、【2020全国II理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少

安排1名同学，则不同的安排方法共有种..

【答案】36

【解析】•「4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同

学，..•先取2名同学看作一组，选法有：C；=6,现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：咒=6,

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种，故答案为：36.

八;的2\展6开式中常数项是------------

8、【2020全国III理14］（用数字作答）.

【答案】240

【解析】丁（/+2）,其二项式展开通项：

广'（2）=2•产-2r（2）r.x—=c；（2）jy2-3,，当］2_3〃=0,解得r=4，「•'Y+?

J\xJ

的展开式中常数项是：C："=C：」6=15xl6=240.故答案为：240.

13+

9、12020浙江卷12］设(1+2x)5=+(i2x+"3』+臼*+,则%=

%+生+%=.

【答案】80；51

【解析】由题意可知牝表示d的系数，即%=C；-24=80,q=l,%=C・2=10,^=C；-22=40,

，4+4+6=51,故答案为：80；51.

，O、5

10、【2020天津卷11】在X+4的展开式中，/的系数是

【答案】10

【解析】因为（x+马］的展开式的通项公式为（|二。；冗5-彳3、

=。.2，.尸&=0,1,2,3,4,5),令

Ix-）\X-）

5-3厂=2,解得r=1.所以Y的系数为C；x2=10.故答案为：10.

5

11、（2020全国I理8）X+—（工+），）的展开式中13），3的系数为()

A.5B.10c.15D.20

【答案】c

【解析】（x+y）5展开式的通项公式为1+1=Gx'-'y且145),与（x+展开式的

5r6rrrr4rr+26rr

乘积可表示为：xTr+l=xC；x~y=C；x-y或E心=上C^~y=C^~y,在xJ=C；x-y

xx

中，令，=3,可得：XT4=»该项中/），3的系数为10,在22&=C"jy+2中，令-1，可得：

x

^-T.=C\x^y\该项中工、3的系数为5,.・・X3）,3的系数为10+5=15,故选C.

x~

12、【2020北京卷3】在（6-2『的展开式中，F的系数为（）

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

2

【解析】由题意展开式的通项为Tr+i=狼（xb==星•（一2）”等，令r=l得x的系数为-10,故选

C.

11、（2019全国I理II理4）（1+2x2）（l+x）4的展开式中x3的系数为

A.12B.16C.20D.24

【答案】A【解析】（1+2/）（1+1）4的展开式中丁的系数为IxC：xl+2xC：xl3=12故选八.

13、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标团））（1+2X2）（l+x）4的展开式中x3的系数为

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】由题意得好的系数为C：+2C；=4+8=12,故选A.

题组一、排列、组合问题

1-1、（2022•河北唐山•高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志

愿者，则安排方式共有（）

A.15种B.90种C.540种D.720种

【答案】B

【解析】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C：=15种方法，再从剩下的4名志愿

者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C；=6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆

参加活动，有或=1种方法.由乘法分步原理得共有15x6x1=90种方法.

故选：B

1-2、（2022•山东日照•高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教（每地1人），其中甲

和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（）

A.48B.60C.96D.168

【答案】C

【解析】由题意所求方法数为6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法：

故选:C.

1-3、（2022・湖北・黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演

习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（I架飞机或一

艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中怜有一架飞机

的不同选法共有（）

A.51种B.168种C.224种D.336种

【答案】B

【解析】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：

飞机来自中方，有cue；种方法，飞机来自俄方，有c；c；c；种方法，

由分类加法计数原理得：C；C：C；+C；1c=168（种）,

所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.

故选:B

1-4、（2022・湖北•高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去

甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去I名同学，则不同的安排方法共有（）

A.20种B.14种C.12种D.10种

【答案】B

【解析】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，

当两组人数为1,3时，有C：C：=4种方案,

C/

当两组人数为2,2时，有=3种方案,

所以将4名同学分为两组，共有7种方案，

再将两组同学分配到两个文明实践站，有用=2种,

所以根据乘法原理得共有7x2=14种不同的方法.

故选：B

1-5、（2022•湖南郴州•高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小

组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配I个志愿服务小组，每个志愿服务小组

只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）

A.65B.125C.780D.1560

【答案】D

【解析】6人分成4组有两种方案：“2+2+1+1”、“3+1+1+1”共有种方法,

4组分配到4个大门有有种方法;

根据乘法原理不同的分配方法数为：+

故选:D.

1-6、（2022•广东潮州•高三期末）当前:新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁

重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排A,B,C,。，£五名同志到三个地区开展防疫宣传活

动，每个地区至少安排一人，且A,8两人安排在同一个地区，C,。两人不安排在同一个地区，则不同的

分配方法总数为（）

A.30种B.36种C.42种D.64种

【答案】A

【解析】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；

②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有C；・A；=18种.

故满足条件的分法共有12+18=30种.

故选：A

题组二、二项式定理展开式项与系数的问题

2-1、（2022•广东东莞•高三期末）1.i+lf+a+a+Cr+a的展开式中『项的系数是（；

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】当〃N2且〃wN・，（1+x）”的展开式通项为

所以，（1+x）"的展开式中含/的系数为C3

（l+xf+（l+x）3+（l+x）4的展开式中，含/项的系数是C；+C；+C：=10.

故选：B.

2-2、（2022•广东罗湖•高三期末）1：1-2力（X+2）'的各项系数和为（）

A.-27B.27C.16D.-16

【答案】A

【解析】（1一2力（1+2）'=-2/-11/一18--44+8,各项系数和为一2-11-18-4+8=-27.

故选：A.

2-3、（2022•山东临沂•高三期末）若（6-标］的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展

开式中常数项为（）

A.90B.-90C.180D.-180

【答案】C

【解析】

【分析】解：因为（五年）”的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数〃=10,即（石

（r

则通项为4“=C7（五）10-r---7\=（-2）'C〉xHkr,

\xJ

令31"=0nr=2,则7；=（-2『鲸）=180.

故选：C.

2-4、（2022•河北深州市中学高三期末）（1+/-2］（1+耳5展开式中产的系数为

\X）

A.1B.-9C.31D.-19

【答案】B

【解析】（1+4的展开式中第一+1项为其/的系数，常数项，Y的系数分别为C；,以，C，

故（1+Y-：）（1+X）$展开式中r的系数为仁+以―2。；=一9.

故选B.

2-5、（2022.山东省淄博实验中学高三期末）（2x+a）（x+j）的展开式中/的系数为—120,则该二项式展开

式中的常数项为（）

A.320B.-160C.160D.-320

【答案】D

【解析】1+§6的展开式通项为加=。；・产'0=晨・2・产2，，

则2MLe因为厂eN,则7-2rw2,

。小二〃C：・2人7口，令6-2〃=2，可得％=2，则〃C："=60〃=-120，得。=一2，

因为7—2厂工0,在一24十1中，令6—2攵=0,可得A=3,

因此,展开式中的常数项为-2C：X23=-320.

故选：D.

2-6、（2022•湖南娄底•高三期末）若（1—3），［=4/0+4产），+//y+L则出=（）.

A.9B.-30C.405D.-8240

【答案】C

【解析】因为&=C；。（x3Yj（-3y）r=（-3/C产y"

所以％=（—3『此=405,

故选：C.

题组三、二项式定理展开式的综合性问题

3-1、（2022•山东青岛•高三期末（多选题））+的展开式中各项系数之和为2,则其中正确的

是（）

A.。二1

B.展开式中含『项的系数是—32

C.展开式中含V项

D.展开式中常数项为40

【答案】AC

【解析】令x=l,+=a+l=2na=1,故A正确;

（_+/）（2x-£|的展开式中含丁项的系数为展=32,故B错误；

2+/］国」丫的展开式中丁屐（2力（-与=10/为一项,故C正确；

㈠八X）x

口+用国；」丫的展开式中常数项为」屐.（2».（」尸=80,故D错误.

UX）xx

故选:AC.

3-2、（2022•山东德州•高三期末）（多选题）已知〃力=卜2-J，则下列结论正确的是（）

A./（力的展开式中常数项是15B.7（月的展开式中各项系数之和是0

C./（X）的展开式中的二项式系数最大值是15D.75）的展开式中不含/的项

【答案】ABD

【解析】02-（J的通项为乙।=《（_1），产一"，令］2_3r=0n〃=4,

常数项为C：（-l?=15,A正确；

仗-：）6中令x=l可得展开式中各项系数之和是0,B正确；

二项式系数最大值为中间项的二项式系数C；=20,C不止确；

令12-3r=4=r=g,不是整数，即/（耳=卜—］不含/的项，D正确.

故选:ABD.

n2n4n

3-3、（2022•广东揭阳•高三期末）（多选题）已知二项式=+aix~+a2x~+…+anx'的展开式中

各项的系数和为64,则下列说法正确的是（）

A.展开式中的常数项为1

B.n=6

C.展开式中二项式系数最大的项是第四项

D.展开式中x的指数均为偶数

【答案】BCD

【脩析】令x=l代入二项式可得各项的系数和为2"=64,即可得〃=6,B正确；

对于A,设展开式的通项为=C«63,

当如为常数项时，则有6-2攵=0,则可得&=3.

代入二项式，可得展开式的常数项为£=20,故A错误；

对于C,因为〃=6,可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故C正确：

对于D,该展开式的通项为（+I=C56-2。可得展开式中x的指数均为偶数.故D成立.

故选:BCD.

3-4、（2020•江苏省南京师大附中高二）己知（1+力”m=4+4工+呼2+…+。2“+廿"，〃EN*.记

*=0

（1）求4的值；

（2）化简7；的表达式，并证明：对任意〃wN♦的，。都能被4〃+2整除.

【解析】由二项式定理，得4=G〃+"i=0,l,2,..・,2〃+l）；

（1）T2=a2+3al+5劭=Cj+3C；+5C；=30：

⑵因为5+MGA（向十九］挑之『（黑）（黑=（2〃+】）甯,

所以7>汽（2八1）-=£（2+1）CM=£（22+1）C雳

k=0A=0A=O

=£［2（〃+1++（2九+1）］图”29（"1+%）叱丁-（2〃+1）力&*

£=0k=0k=0

=2（2〃+1）£。黑-（2〃+1优02（2〃+1）=（22"+4）-（2〃+1）；22*（2〃+1）6,

jt-ojt-oN/

.•<=（2〃+1）&”=（2〃+1）（4:+。:）=2（2〃+1）&3,

因为a：i£N*，所以】能被4〃+2整除•

■画图剧

1、(2022•山东青岛•高三期末)(1+划'+(1-幻4的展开式中./的系数为()

A.16B.6C.4D.-6

【答案】B

【解析】解：因为(l+X)s展开式的通项公式为7；+I=C"A，故展开式中F的系数为C；=10

("4展开式的通项公式为£句=&(-“£,故展开式中V的系数为-C：=-4

所以(l+x)$+(l-x)4的展开式中f的系数为10-4=6

故选：B

2、(2022•山东FI照•高三期末)在(〃+〃)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以〃为偶数，故］+1=4,得〃=6.

故选:B

3、(2022•山东济南•高三期末)(1-2“5的展开式中，丁的系数为()

A.40B.-40C.80D.-80

【答案】D

3r

［解析】因为(1-2X)的展开式为Tr+i=G・广，.(-2A-y=C；.(-2)/

令/-3,所以/的系数为C；・(-27=-80.

故选:D.

4、(2022•山东临沂•高三期末)为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学

校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有()种

A.50B.60C.80D.100

【答案】c

【解析】

【分析】

对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】

若甲校分2名大学生，此时有。久;60种分配方法；

若甲校分3名大学生，此时有C；片=20种分配方法.

综上所述，共有8()种分配方法.

故选:C.

5、(2022.广东汕尾.高三期末)已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则"-2)"的

x~x~

展开式中的常数项为()

A.-240B.240C.-60D.60

【答案】D

【解析】由题意得C：=C＞所以〃=6,

则(X=)6的展开式的通项公式为以=C；尸(-马］=。；(-2)，产f,

Xyx-J

令6-3r=(),解得)=2,

所以常数项为4=C：(-2『=60,

故选：D.

6、(2022.广东佛山.高三期末)(x-)，+2)$的展开式中，Wy的系数为()

A.80B.40C.-80D.-40

【答案】D

【解析】*一)，+2)5=}—()，—2)：的展开式中含丁的项为。；/()，一2)2,

(，-2f的展开式中含)，的项为C；＞(-2),

所以“一)，+2)5的展开式中，小，的系数为2)=T0,

故选：D

7、（2022•江苏宿迁•高三期末）（多选题）已知卜-夫）的展开式中共有7项，则（

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为I

C.二项式系数最大的项为第4项

D.有理项共4项

【答案】ACD