七年级上册数学笔记

七年级上册数学笔记*注意：*有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。*无限不循环小数（如π）不是有理数。*零是一个特殊的数，它是整数，也是有理数，但既不是正数也不是负数。1.3数轴*数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*数轴的三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）、单位长度（选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度要统一）。*数轴的画法：1.画一条水平直线。2.在直线上选取一点作为原点，标记为0。3.规定向右的方向为正方向，画上箭头。4.根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标记为1,2,3,...；从原点向左，依次标记为-1,-2,-3,...。*数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（反之，数轴上的点不一定都表示有理数，以后会学到）*利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此：*正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。1.4相反数*定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。*例如：3的相反数是-3，-5的相反数是5，a的相反数是-a。*几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。*性质：*若a和b互为相反数，则a+b=0。反之，若a+b=0，则a和b互为相反数。*一个数的相反数的相反数是它本身，即-(-a)=a。1.5绝对值*定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。*几何意义：|a|表示数轴上点a到原点的距离，距离是非负的，所以绝对值具有非负性，即|a|≥0。*代数意义（绝对值的求法）：*当a是正数时，|a|=a；*当a是0时，|a|=0；*当a是负数时，|a|=-a。*简言之：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。*利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。*例如：比较-3和-5的大小。因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。1.6有理数的加减法*有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+5)+(+3)=+(5+3)=8；(-5)+(-3)=-(5+3)=-8。2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。例如：(+5)+(-3)=+(5-3)=2；(-5)+(+3)=-(5-3)=-2；(+5)+(-5)=0。3.一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-8)=-8；5+0=5。*有理数加法的运算律：*加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。*加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。*运算律的作用：可以使运算简便，例如凑整、互为相反数的先加等。*有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*注意：减法运算统一成加法运算后，就可以利用加法的法则和运算律进行计算。*有理数的加减混合运算：*可以先把减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式（代数和）。*例如：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)可以写成(-20)+(+3)+(+5)+(-7)，进一步省略加号为-20+3+5-7。*然后按照从左到右的顺序进行计算，或运用加法运算律简化计算。1.7有理数的乘除法*有理数的乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：(+3)×(+4)=12；(-3)×(-4)=12；(+3)×(-4)=-12；(-3)×(+4)=-12。2.任何数同0相乘，都得0。例如：0×(-5)=0；7×0=0。3.几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。并把各个因数的绝对值相乘。例如：(-1)×(-2)×(-3)=-6（三个负因数，积为负）；(-1)×(-2)×3=6（两个负因数，积为正）。*有理数乘法的运算律：*乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=b×a。*乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b)×c=a×(b×c)。*乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。（逆用：a×b+a×c=a×(b+c)，用于简便计算）*有理数的除法法则：1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：12÷3=4；(-12)÷(-3)=4；(-12)÷3=-4；12÷(-3)=-4；0÷5=0。*注意：0不能作除数。*有理数的乘除混合运算：*先将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算。*同级运算（只有乘除），从左到右依次进行。1.8有理数的乘方*乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。*记作：`a^n`，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。其中，a叫做底数，n叫做指数。*例如：`2^3`表示3个2相乘，即2×2×2=8。底数是2，指数是3，幂是8。*乘方运算的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。例如：`2^3=8`，`(1/2)^2=1/4`。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：`(-2)^3=-8`（奇次幂为负），`(-2)^4=16`（偶次幂为正）。*0的任何正整数次幂都是0。例如：`0^5=0`。*注意：*`(-a)^n`与`-a^n`的区别：`(-a)^n`是n个(-a)相乘，其结果的符号由n的奇偶性决定；`-a^n`是n个a相乘的积的相反数，即`-(a^n)`。例如：`(-2)^4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16`；`-2^4=-(2×2×2×2)=-16`。*有理数的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。*进行混合运算时，要认真审题，确定运算顺序，灵活运用运算律，使运算过程简便。第二章整式的加减2.1整式*用字母表示数：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数。用字母表示数是代数的基本特点，它能使问题的表达更简洁、更普遍。*代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*例如：3，a，a+b，`x^2`，`(a+b)/c`等都是代数式。*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。*单独的一个数或一个字母也是单项式。*例如：-3，a，`5xy`，`-2/3x^2y`都是单项式。*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*例如：`5xy`的系数是5；`-2/3x^2y`的系数是`-2/3`；a的系数是1；-a的系数是-1。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*例如：`5xy`中x的指数是1，y的指数是1，次数是1+1=2；`-2/3x^2y^3`中x的指数是2，y的指数是3，次数是2+3=5；3（可看作`3x^0`）的次数是0。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*例如：`x+y`，`a^2-2ab+b^2`，`3x^2-2x+1`都是多项式。*多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。*例如：多项式`3x^2-2x+1`有三项，分别是`3x^2`，`-2x`，`1`。其中`1`是常数项。*注意：多项式的项包括它前面的符号。*多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*例如：多项式`3x^2-2x+1`中，最高次项是`3x^2`，次数是2，所以这个多项式的次数是2，称为二次三项式。*多项式`a^3b-3a^2b^2+ab^3`中，各项次数依次为4、4、4，所以次数是4，称为四次三项式。*整式：单项式和多项式统称为整式。2.2整式的加减*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*例如：`3x^2y`与`-5x^2y`是同类项（字母x、y相同，x的指数都是2，y的指数都是1）；`7`和`-2`是同类项。*注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*例如：`3x^2y+(-5x^2y)=(3-5)x^2y=-2x^2y`；`7a+3a=(7+3)a=10a`。*合并同类项的步骤：1.准确找出同类项（可用不同的符号标记）。2.逆用乘法分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字