2025-2026学年高一数学上学期人教A版期末必刷常考题之三角恒等变换

2025-2026学年上学期高一数学人教A版期末必刷常考题之三角

恒等变换

一.选择题(共6小题)

1.己知tanxtany=2,cos(x+y)=o,则cos(x-y)等于()

J

11

A.-1B.1c.-yD.-

Jy

_,IT3177r7TT„,sm2x4-2sin2x

2-已知cos(%+4)=^，-12<X<^则-Q=二()

A-虫B-C-9D—

75丛75100100

3.已知函数/(%)=si九2tox+KCOS23X(CO>0),贝！J()

A.若函数/(x)相邻两条对称轴的距离为泉则3=2

B.当3=1,xe[0,向时，/(x)的值域为[-百，2]

C.当3=1时，(看，0)是/(x)的对称中心

D.若/(x)在[0,看]内有且仅有两个零点，则5Vo)W8

4.函数f(x)=2Ks出2(3X)+sin(23X+等)，其中o)>0,其最小正周期为n,则下列说法中错误的个数

是()

①3=1

②函数/«)图象关于点得，厉)对称

③函数/(X)图象向右移华(<p>0)个单位后，图象关于歹轴对称，则(P的最小值为普

④若工€[0,引，则函数/⑴的最大值为遮+1

A.1B.2C.3D.4

41

5.已知OV^VaV.,cos[a-0)=引cosacosP—亍贝ij——()

ntanatanS

A——B--C.-1D.-2

A，1010

□

6.已知cos(£—a)=F,tanatanp=则cos(2a+2p)=()

223223

AB.一C-元n——

--252525

二.多选题(共3小题)

1

(多选)7.已知点尸(2,1)位于角a的终边上，则()

A.a是锐角

B.tana=4

C.s出(。+*)=孚

D.f(x)=2sin(x+a)-cos(x・a)是奇函数

(多选)8.已知函数/(x)=sin［3：+卷)+coss3>0)相邻对称轴间的距离为］则下列说法正确的是

()

A.3=2

B./(X)</(^)

C.当工6［0，引时，/(.V)的取值范围是［一与，V3］

D.若函数/(X)在［(),0上有3个零点，则”的取值范围是［等，喈)

(多选)9.声音也包含着正弦函数.我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称

为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为/的基音的同时，其各部分，如二分之

一、三分之一、四分之•一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如"3f,4f等,这

些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来.例如，某一个兔合音的函数为/'(；<)=si?ix+

|sin2x+|sfn3x,关于/(x),下列说法正确的是()

A.2口是函数/(x)的一个周期

B./(X)关于点(1T,0)中心对称

C./(x)在区间(T，号)上为增函数

D.函数y=得的值域为［余，3)

三.填空题(共4小题)

10.己知函数/(%)=2必一&.丫+k,存在年6(0,7T),使得/(sincp)=f(costp),则叩的值

是.

万1

11.已知a,0为锐角，且cos(a+0)=而，=9，则cos2a=.

12.已知aW(今，TT),sina=i,则sin(a+1)=.

13.已矢口tan(a-P)~1,sinR=<，Pl>Jsin2a~.

2

四.解答题(共2小题)

14.已知m=(V3sin.v,2sinv),n=(2cosx,sinv),函数/(x)=m*n.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

a?TT

(2)若/(5)=2»求sin(2。+石).

15.已知函数/'(x)=sin2r+cos2Y.

(1)求/(X)的最小正周期和单调递增区间；

(2)现将函数/(x)的图象向右平移答个单位后得到函数g(x)的图象，若x£[0,y],求函数g(x)

的值域.

3

2025-2026学年上学期高一数学人教A版（2019）期末必刷常考题之三角

恒等变换

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案AABADD

二.多选题（共3小题）

题号789

答案BDABDABD

一.选择题（共6小题）

1

1.已知tanxtany=2,cos（x4-y）=»则cos（x-y）等于（）

11

A.-1B.1C.一2D.7

99

【考点】求两角和与差的三角函数值.

【专题】整体思想：综合法；三角函数的求值；运算求解.

【答案】A

【分析】应用两角和的余弦公式和同角三角函数关系切化弦干算化简，再由两角差的余弦公式计算求解.

si收sOzy

【解答】解:=2得sinvsiny=2cos.vcosy,

tan.vtanv=cosxcosy

由cos(x+y)=得cosxcosy-sinxsiny=

12

所cosxcosy=-sinxsiny=一Q，

所以cos(x-y)=cosjvcosy+sinxsiny=-1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了和差角公式,同角基本关系的应用，属于基础题.

2

已知（无+*）=,，竿，,,sin2x+2sinx

2.cos则一^------=()

1-tanx

A2828「2121

A.一*BD.一cD

7575--100-而

4

【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化喻求值；同角三角函数间的基本关系.

【专题】三角函数的求值.

【答案】A

【分析】由于cos(无+今)=得，利用两角和的余弦公式可得COSX—sEx=总&.由于马gv%v?，可

得s出(％+*)=—&，化为cosx+sin%=—看也进而得到sinx,COSY,再利用倍角公式、三角函数基本

关系式即可得出.

【解答】解：'.•cos(x+、)=卷，.••COSXCOS,—sinxsin^=化为cosx—sinx=1\^2,①

-17兀77r57r工，兀4“4r-z-x

又-VxV丁，-<x+-<2n,.*.sin(x+T)=-化为COST+sinx=—U迎，②

12434-3

联立①②解得cos%=-磊sin.t=-^V2,sin2x=2x(-^)x(-i1)=/.

.sin2x+2sin2x2sinxcosx-^2sin2x2sinxcosx(cosx+sinx)云、(一^^)28

1-tanx—1-^.—cosx-sinx—越—75'

co*5

故选：A.

【点评】本题考查了两角和的余弦公式可、倍角公式、三角函数基本关系式，考杳了推理能力和计算能

力,属于中档题.

3.已知函数/(%)=S出23%+gcOS23X(3>0),贝|J()

TT

A.若函数/(x)相邻两条对称轴的距离为5,则3=2

B.当3=1,X6[0,刍时，/⑴的值域为[一旧，2]

C.当3=1时，/，0)是/(X)的对称中心

D.若/(x)在[0,制内有且议有两个零点，则5V3W8

【考点】三角函数中的恒等变换应用：三角函数的周期性：正弦函数的奇偶性和对称性.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解.

【答案】B

【分析】利用辅助角公式可得f(x)=2sE(25+3),根据周期公式以及函数图象可判断力错误，结合

正弦函数图象性质可得4正确，将(看，0)代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性

质，结合零点个数限定出不等式，解得5W3V8,可得。错误.

【解答】解：易知f(;v)=sE23%+>/^cos23x=2sE(2o>x+号)，

5

对于儿若函数/(x)相邻两条对称轴的距离为J即可得彳=9=5则3=1,4错误；

22232

对于3,当3=1时,/(x)=2sin(2x+j),

当“€[0,劣时，2%+今W既，»

又f(°)=2sin£=V5,/(5)=2sin5=2,f(?)=2si〃粤=一V5.

O。乙乙J

所以/(x)的值域为[一遮，2],即用正确；

对于C,当3=1时，f(x)=2sin(2x+^)»将(5，0)代入检验可得/(看)=2sin,=V5,

显然(表0)不是/(x)的对称中心，即C错误；

对于Q,若工£[0,副，可得23%+'/，(%1%

若/«)在[0,窗内有且仅有两个零点，可得2"”如<3%,解得5WtoV8,因此0错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

4.函数f(x)=2gsin2(3%)+sin(23%+竽)，其中u)>0,其最小正周期为TT,则下列说法中错误的个数

是()

①3=1

②函数/(X)图象关丁点(与，遍)对称

③函数/(x)图象向右移(p((p>0)个单位后，图象关于歹轴对称，则<p的最小值为行

JL4

④若％W[0,引，则函数/G)的最大值为，5+1

A.1B.2C.3D.4

【考点】求两角和与差的三角函数值.

【专题】整体思想；综合法；二角函数的求值；运算求解.

【答案】A

【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求3判断①，验证(?，b)是否为函数/(x)

的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④.

[解答]解：已知数/(x)=2V3sin2(o)x)+sin(2o)x+冬)=-^sin2a)x-^-cos2a)x-rV3=V3—

sin(2u)x+

6

又3>0,

又/(x)的最小正周期为m

即F=7T,

2a)

所以3=1,

①正确：

所以/'(%)=-sin(2x+3)+8，

因为2Xjj=71,

所以函数/(x)图象关于点■，建)对称，

•D

②正确：

将函数图象向右移q>((p>0)个单位后可得函数丫=一5)(23-28+与)+百的图象,

因为y=-sin(2x-2@+引+6的图象关于y轴对称,

所以g=—与一号'kEZ,

41.乙

又<p>0,

所以中的最小值为瑞，

③正确；

若0WxW夕

n7i47r

则［<2x

所以一苧Wsin(2x+亨)W1»

故-1+V3</"(%)W31,

3V3

所以函数/(x)的最大值为亏,

④错误.

故选：A.

【点评】本题考查了正弦型函数的周期，重点考查了函数图象平移变换及不等式的性质，属中档题.

5.已知0</?<a<^,cos(a-。)=击cosacos^=则二—二°=()

13

A.—YQB.-,JQC.-1D.-2

7

【考点】求两角和与差的三角函数值.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解.

【答案】D

【分析】将--2转化为空吧y陋=幽与，整体代入求解.

tanatanfismasinffsinastnp

【解答】解：因为cos(a-0)=2OV0VaV。0<a-/?<y,

所以sin(a-P)>0,

34

故sin(a-p)=yjl-cos2(a-/?)=耳，且cos(a-p)=cosacosp+sinastnp=耳，

故shiasin/?=得，

3

11cosacospcosasin^—cosPsinasin^—a)

故----------=-----------=------------------=---------="o'=—2・

tanatan。sinasinfisinasinfisinastnp—

故选：D.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属基础题.

31

6.已知cos(/7-a)=又，tanatan^=则cos(2a+20)=()

2232?3

A--25B.元C.-D.-西

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值：两角和与差的三角函数；求二倍角的三角函数值.

【专题】转化思想.：绥合法：三角函数的图象与性质：运算求解.

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换求解即可.

Q

【解答】解：根据题意可知，cos(/?-a)=cos/?cosa+=;，

tanatanp=票::非方=3所以cosaco邓=2sinasin0,

〜21

所以ncsanos/?=耳.sinasinf^=耳.

所以cos(2a+20)=2cos2(a+0)-1=2(cosPcosa-sinPsina)2-l=2x^—1=-21.

故选：D.

【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.已知点尸(2,I)位于角a的终边上，则()

8

A.a是锐角

B.tana=

C.sm(a+^)=—

D.f(x)=2sin(x+a)-cos(x-a)是奇函数

【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的绍象与性质；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据象限角的定义判断出力项的正误；根据三角函数的定义求出tana,可判断出8项的正误:

根据两角和的正弦公式判断出C项的正误；将函数/G)表达式进行化简，结合正弦函数为奇函数判

断出。项的正误，进而可得本题答案.

【解答】解：根据点P在第一象限，可知a为笫一象限角，但a不一定是锐角，所以4项不正确；

根据三角函数的定义，可得tana=3=。可知6项正确；

\OP\=r=V22+I2=V5,

由三角函数的定义，可得sina=*=+=9，cosa=*=V=竽，

所以sin(a+与)=sinaco£+cosasin^=可知C项穴正确；

根据/(x)=2sin(x+a)-cos(x-a)

=2(sinrcosa+cos.¥sina)-(cosAcosa+sinxsina)=(2cosa-sina)*sinx+(2sina-cosa),cosx

=(2X等一冬・sie(2x第一等)3套.

,cosx=—p—siar»

J

结合正弦函数是奇函数，可知/(x)为奇函数，所以。项正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质等知识，属于中

档题.

(多选)8.已知函数/•(%)=而〔5：+5)+35(3>0)相邻对称轴间的距离为泉则下列说法正确的是

()

A.u)=2

B./(%)</(^)

C.当十七［0,即时，/G)的取值范围是［一坐，问

9

D.若函数/(x)在［(),上有3个零点，则a的取值范围是［全，关)

【考点】三角函数中的恒等变换应用：正弦函数的图象.

【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求/(》)=V3sin利用正弦函数的周期性可求o),

即可判断4

利用正弦函数的性质即可判断以

由题意可求2x+*g,争，利用正弦函数的性质即可判断C；

由题意可求得2x+翁与2〃+/利用正弦函数的性质即可判断。.

【解答】解：由题意，可得/(/)=苧sinu)x+icosa).v+cosa).r=V3(^sino).v+苧COSOJX)=Hsin(a).r+亨),

因为3>0,

可得函数/(x)的最小正周期7=2x>普，解得3=2,故力正确；

所以/(x)=V3sin(Zv+号)，

由于一'(V)=bSing=>/3=f(X)max^故B正确；

JL4乙

当引时，级+狂g，yb可得sin⑵+'引一察H，

可得/(x)=V3sin⑵+至e［-V3］,故C错误;

当问0,时，可得2x+软$2。+孕，

若函数/(x)在［0,可上有3个零点，则3—2。+/V4n,解得gwaV半，

则。的取值范围是［等，学)，故力正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于

中档题.

(多选)9.声音也包含着正弦函数.我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称

为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为/的基音的同时•，其各部分，如二分之

一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如〃；3f,纣■等，这

10

些吾叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来.例如，某一个复合音的函数为八%)=Siu+

^sin2x+^sin3x,关于/(x),下列说法正确的是()

A.27r是函数/(x)的一个周期

B./(%)关于点(m0)中心对称

C./(%)在区间(一会引上为增函数

D.函数丁=能的值域为喘，3)

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的单调性.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的组象与性质；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据三角函数的周期性判断出力项的正误；根据诱导公式证出/(2n-x)4/(x)=0,结合函

数图象的对称性判断出4项的正误；通过举反例加以说明，判断出C项的正误；根据三角恒等变换公

式化简得y==g(cow+亮)2+磊，结合二次函数的性质求出值域，可得。项的正误.

【解答】解：对于4因为y=sinx的周期为2n,y=^sinZv的周期为n，产上in3x的周期为三27T

所以/(%)=sinx+/s出2x+JsE3x是周期函数，且2n是它的一个周期，故力项正确；

对于以/(2ir-x)=sin(2TT-x)+与in(4n-2x)+方in(6n-3x)=-siav—^sin2x—g$in3x,

所以/(2TI-X)(x)=0,可得/(x)的图象关于点(m0)对称，故4项正确：

71yr171137r2^21nTT127rl3JW

对于C,/(-)=sin-+pin-+pin—=—+->/=sin-+piny+jsinn=—.

因为/(B)>/(=)，所以/(X)在区间(一号，?)上不可能是增函数，故C项不正确；

43oJ

对于。，sin3.r=sin(X+2JV)=sintcos2x+cosxsin2Al

=sinv(I-2sin2x)+2sinv(1-sin2x)=3sinx-4sin'x,

所以/(x)=siru+^sin2x+^sin3x=sinx+sin.vcosx+(3siru--4sin3x)=—^sin-x+sirtv(2+cosx)>

可得y==—^sin2x+2+cosr=—

2(1-cos%)+2+co&x=2COS2X+COSLX+可=3(cosx+g)2+而,

由sinxWO,可得cosxW(-1,1),

所以当cosx=-需时，y=取得最小值.当COSA-1时，y=的最大值小于3.

因此，函数丫=阴的值域为序，3),故。项正确.

11

故选：ABD.

【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、二次函数的最值求法等知识，考查

了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

10.已知函数/(%)=2d一企％+k,存在(p£(0,IT),使得/'(sin(p)=f(coscp),则＜p的值是,或

77r

12—,

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.

【专题】转化思想：综合法；三角函数的求值；运算求解.

【答案】£或福

412

【分析】由/(sirup)=f(costp),结合函数的表达式化简得到2(sin(p+cos(p)(sintp-coscp)=V2(sin(p

-costp),然后按sin(p-cos(p是否为0加以讨论，分别求出满足条件的角即可得到本题的答案.

【解答】解：若/(sintp)=f(cos(p),则2sin2(p-V2sin(p+A=2cos2(p-\/2cos(p+^,

整理得2(sin2(p—cos2(p)=V2(sin(p—coscp),即2(sin(p+cos(p)(sincp-cos(p)=V2(sintp-cos(p),

当sintp-coscp=0时，sin<p=coscp,即tan(p=l,结合cpE(0,n),可知3=4；

当sincp-cos(p#0时,2(sin(p+cos(p)=V2,sin(p+cos(p=、2sin(<p+5)=孝'

所以sin(s+给=/，结合9+江,)，可得(P+*=等解得单=存

综上所述，8=第M=/

故答案为：客.

【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、特殊角的三角函数值等知识，考查了计算能力、分

类讨论的数学思想，属于中档题.

-1Q

11.已知以，B为锐角,且cos(a+/?)=历，tanp=则cos2a=——亍

【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解.

【答案】-|.

【分析】根据已知条件，可求sin(a+p),tan(a+p),进而得到tana,由弦化切可得cos2a.

【解答】解：因为a,0为锐角，所以a+肥(0,IT),

12

51

因为cos(a+0)=而,tanp=，

所以sin(a+B)=J/(条)2=平,tan(a+勿=北卷北=7,

血刀(々+/?)一£。刀/?_7T

所以tana=tan[(a+p)

l+ta?i(a+/?)tan/?—i+7xi-'

J

r-rccos2a—sin2al-tan2a3

所以COs2a=Ba+sin2a=4而而="欢

故答案为:—F

【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数值以及二倍角三角函数值，属于中档题.

12.已知aW(*,TT),sina=i,则si7i(a+5)=_-------.

【考点】求两角和与差的三角函数值.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解.

百一2/

【答案】

6

【分析】根据条件可求出cosa的值，然后根据两角和的正弦公式即可得解.

【解答】解：,・七£(授，yr),sina=

=-V1—sin2a=-J]一,=~

cosa

・・.sWa+蜘=sinacos^cosasin1=我坐一孥x»守

&2yli

故答案为:

6~

【点评】本题考查了正余弦的平方关系，两角和的正弦公式，是基础题.

7

13.已知lan(a-p)=1,sinp=则sin2a=§.

【考点】求二倍角的三角函数值；两角和与差的三角函数.

【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解.

7

【答案】辛

【分析】先探索角a,0的关系，再结合诱导公式和二倍角公式求值.

【解答】解：由tan(a-0)=1,得a-/?=k/r+*(k6Z),a=pkn+

sin2a=sin(2/74-2kn+*)=cos2p=1-2sin2p=1—2x(i)2='

7

故答案为；-

13

【点评】本题考查二倍角的三角函数，特殊角的三角函数，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

14.己知m=(V3sinx»2sinv),n=(2cosur,sinv),函数/(x)=m*n.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

a?7r

(2)若/I])=2f求sin(2a+q).

【考点】三角函数中的恒等变换应用：正弦函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的身象与性质；运算求解.

【答案】⑴[一卷+kzr,g+E]，kWZ；

7

(2)?

【分析】(1)结合向量数量积的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简可得/(x),然后结合正

弦函数的单调性即可求解：

(2)代入已知条件可得sin(a-^)=1,然后结合诱导公式及二倍角公式即可求解.

o4

【解答】解：(1)因为m=(V3siar»2sinv),n=(2cos.r,sinv),

f(x)=m*n=2V3sinxcosx+2sin2x=V3sin2x-cos2r+l=2sin(2x—看)+1,

令一£+2ATTW2x—卷《提+2K1I,kWZ,

则-5+knQ-+kn,kwZ,

o5

故/(x)的单调递增区间为[一髀―^+kn],A-eZ；

(2)f(-)=W=2sin(a—^)+1»则sin(a—看)=上,

-TT17

sin(2a+看)=sin(2a-^+*)=cos(2a-=1-2sinz(a-召)=1--^=g.

【点评】本题主要考杳了向量数量积的坐标表示，和差角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数

单调性的应用，属于中档题.

15.已知函数/(x)=sin2.v+cos2x.

(1)求/«)的最小正周期和单调递增区间；

77T

(2)现将函数/(x)的图象向右平移弓个单位后得到函数g(x)的图象，若％W[0,求函数g(x)

24乙

的值域.

14

【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin(cox+(p)的图象变换.

【专题】转化思想：综合法；三角函数的求值；三角函数的组象与性质；运算求解.

【答案】(I)最小正周期为F递增区间是竹江一券，kn+l],AGZ.

(2)[-苧，V2].

【分析】(1)利用辅助角公式化简得/(幻=V2sin(2x+^),然后根据正弦函数的性质求解，可得答案；

(2)根据函数图象的平移变换求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的单调性与最值求出函数g(x)

的值域.

【解答】解：(1)由题意得/(X)=V2(sinZvcos^+cos2vsin-)=V2sin⑵+»,

可知/G)的最小正周期T=争=7T,

令2kn—<2x+^<2/CTT+kEZ,

解得/(x)的递增区间是[而一居，WZ：

(2)将/(x)的图象向右平移工个单位，可得N=/(x—笠)的图象，

所以gQ)=&sin[2Q一袋)+午]=V2sin(2x-

当口£[0,B'J>2x—G[—^/]，

可得sin(2x—与)£[—，1]»则4^5出(2%—^)6[-，V2],

所以g(x)的值域是[-苧，戊].

【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质

等知识，属于中档题.

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考点卡片

1.任意角的三角函数的定义

【知识点的认识】

任意角的三角函数

1定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（x,y）,那么sina=z，cosa=a，tan户学.

2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在四上，余弦线的起点都

是原点，正切线的起点都是（1,0）.

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标/（3）该点到原点的距离r.若题目中

己知角的终边在•条直线上，此时注意在终边上任取•点有两种情况（点所在象限不同）.

【命题方向】

已知角a的终边经过点（-4,3）：则cosa=（）

4334

A.-B.-C.-FD.-F

55JJ

分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosa的值.

解：二•角a的终边经过点（-4,3）,，x=-4,y=3,r=y/x2+y2=5.

x—44

Acosa=F=T=_5,

故选：D.

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题.

2.三角函数的周期性

【知识点的认识】

周期性

①一般地，对于函数/（X）,如果存在一个非零常数r,使得当X取定义域内的每一个值时，都有/（x+7）

=f（X）,那么函数/（》）就叫做周期函数，非零常数7叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/（x）

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的最小正周期.

③函数y=4sin（3x+（p）,xWR及函数y=/lcos（cox+（p）；x€R（其中4、3、<p为常数，且4W0,（JO>0）

的周期上今

【解题方法点拨】

1.•点提醒

求函数y=Rsin（a）x+（p）的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把sr+cp看作一个整体，

代入y=sin/的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=sinx,x6[0,2n],y=cosx,xE[O,2TT]的五点是：零点和极值点（最值点）.

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义.f（x+n=/（x）

2IT

②，利用公式：y=4sin（3x+（p）和y=/lcos（tox+（p）的最小正周期为y=tan（o）x+（p）的最小正周期

崎

③，利用图象.图象重复的X的长度.

3.运用诱导公式化简求值

【知识点的认识】

利用诱导公式化简求值的思路

1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

2.“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于

180°的角的三角函数化为00到180。的三角函数.

3.“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0“到90°的角的三角函数.

4.“锐求值”，得到0。到90。的二角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.

4.正弦函数的图象

【知识点的认识】

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

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图象

4二乂」•…、^……一Jr

定义域RRkWZ

值域[7,1][7，1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

(2Zm-2，2A7t+(2E-TT,2Air)(kn_,2，ZTTT+-2)

(依Z)；

(A-ez)；(一Z)

递减区间：

递减区间：

(2内I,2An+ir)

(2Anr+2Zm4-

(AGZ)

(依Z)

==

最值X=2ATT+J(kWZ)对，y„iaxX2A"R(kWZ)时，yirax1;无最值

X=2〃TT+TT(A€Z)时，

=1；

ymin~~1

x=2An-j(AWZ)时，

ymin—~।

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：(E,0)(〃WZ)kn

对称中心：(Kr+*0)对称中心：G，0)(kez)

对称轴：x=E+零kwz

£(A-eZ)无对称轴

对称轴：x=E,A-eZ

周期2n2nn

5.正弦函数的单调性

【知识点的认识】

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=4sin(3丫+。)或y=/lcos(〃r+/)(其中，3>0)的单调区间时，要视“皿+/'为一个整

体.通过解不等式求解.但如果,“V0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数,防止把单调性弄错.

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6.正弦函数的奇偶性和对称性

【知识点的认识】

正弦函数的对称性

正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin(-x)=-sinx.另

外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x=E+W，

【解题方法点拨】

例：函数y=sin2t+2sin2》的对称轴方程为x=_x=竽+咨(/cWZ)_.

解：由于函数》=5抽2丫+25卜2》=5由21+1-cos2.r=\/2sin(2x—^)+1,

而函数y=sin/的对称轴为t=上"+今

则2x—^=/CTT4-p解得x=竽+等(左6Z)

则函数y=sin2x+2sin2x的对称轴方程为％=竽+第(kEZ)

故答案为3=竽+等'(k€Z).

这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把太-与看成一

个整体，最后根据公式把单调性求出来即可.

【命题方向】

这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了.

7.函数y=Asin(cox+tp)的图象变换

【知识点的认识】

函数y=sinx的图象变换得到y=4sin(姐+夕)(J>0,3>0)的图象的步骤

法一