2026年高考数学第一轮复习：数列求和

第4讲数列求和

▼伊③提升明考向•直击考例考法.

考点一分组转化法求和(基础型)

复习指导|分组转化法求和是把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、

等比数列，再求解.

甑已知数歹1」｛m｝的前n项和Sn="；"，nGN\

(1)求数列｛m｝的通项公式;

⑵设为=2加+(-1)2”，求数列｛儿｝的前2n项和.

【解】(1)当n=\时，«i=5i=l;

川+〃(H-l)2+(n-l)

当时，an=S—S-\n.

nn22

a\也满足an=nf故教列｛〃”)的通项公式为a„=n.

(2)由(1)知a„=n,故瓦=2”+(-1)%.

记数列｛儿｝的前2〃项和为

则%〃=⑵+22+…+22")+(—1+2-3+4——+2/1).

记4=21+22+…+2'8=—1+2—3+4---+2〃，

则A=半fj-2,

B—(—1+2)+(—3+4)+…(2〃-1)+2〃]=〃.

故数列｛儿｝的前2〃项和△〃=4+4=22n+1+〃一2.

分组转化法求和的常见类型

(I)若=儿土C”，且［/?〃｝,｛(?”｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛〃“｝的前〃项

和.

力”，〃为奇数,

(2)通项公式为an=〃为偶数的数列，其中数列｛儿｝，①｝是等比数列或等差数列，

可采用分组转化法求和.

考法全练;

斯+2,〃是奇数，

1.(2020•资阳诊断)已知数列｛斯｝中，0=42=1，卬+2=〃是偶数，则数列.

的前20项和为()

A.I121B.1122

C.I123D.1124

解析：选C.由题意可知，数列｛牝〃｝是首项为1，公比为2的等比数列，数列是

1X(1—2皤),10X9

首项为1,公差为2的等差数列，故数列｛斯｝的前20项和为卜1()X1+——X2

1-2

=1123.选C.

2.(2020・吉林长春质处监测(二))各项均为整数的等差数列｛知｝,其前〃项和为S”，0

=—1,。2,。3,S4+I成等比数列.

⑴求｛〃”｝的通项公式：

(2)求数列｛(一1)"・小｝的前2n项和Tln.

解：⑴设等差数列｛斯｝的公差为d,

因为41=—1,砧，&，S4+I成等比数列,

所以届=。2•6+1),

即(-1+24=(-1+d)(—3+6"),解得d=2(d=4舍去),

所以数列｛%｝的通项公式为〃”=2〃-3.

⑵由(1)可知a,—an-\=2(n22),

所以小”=(一。|+。2)+(143+〃4)H---F(—42,Ll+42")=2〃.

考点二错位相减法求和(综合型)

复习指导|如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成

的，这个数列的前〃项和可用错位相减法求解.

侧I②(2020•郑州市第二次质*3•预测)已知数列｛〃”｝中，0=1,小>0,前八项和为S”，

若SnT(〃SN",且心2).

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)记c„=an-2斯，求数列｛6｝的前n项和T„.

【解】(1)在数列｛劣｝中，％=S〃-S〃-i(“22)①，

因为a〃=次小3②，且%>0,所以①迤得本l小二=

所以数列｛低｝是以#；=遍=1为首项，公差为1的等差数列，所以低=1+(〃-1)又1

=n,所以S〃=/.

22

当〃22时，all=Sn~Sn-[=n—(n—1)=2/?—1,

当〃=1时，4i=l,也满足上式，

所以数列｛斯｝的通项公式为an=2n-\.

(2)由(1)知,a,.=2n-\,所以C〃=(2/L1)X2犷1，

则7],=1X2+3X234-5X25+-4-(2n-l)X22/,_|,

3572n-12/,+l

47:l=lX2+3X2+5X24--+(2/?-3)X24-(2n-l)X2,

两式相减得，-30=2+2(23+25+…+2犷|)一(2〃-1)22〃+】，

8(I)

=2+2X^~2^--(2/2-l)22n+l

=一学+0一2〃)22叫

(6〃-5)22"+1+10

所以9-

用错位相减法求和的策略和技巧

(1)掌握解题"3步骤”

加薪前.«面花有歪蓼薪而「王加薪利连就

电(巧A警将厂J项的积，并求出等比数列的公比

L瓦别山备面民庙蕊正「和后编以至记薮

三u厂'列的公比7得到一个新的表达式，两式作差

(得】论H即兔套蠢式麻福&还君值确1而

(2)注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“5””与“SJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写

出"SLqS；'的表达式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比4=1和4W1两种情

况求解.

考法全练;已知｛期｝为正项等比数列,。1+。2=6,03=8.

(1)求数列｛曲｝的通项公式所;

(2)若为=比警，且仍〃｝的前〃项和为7；,求心.

4|+。同=6,

解：⑴依题意，设等比数列｛&｝的公比为夕，则有、则%2—4。-4=0,而

的寸=8,

q>(),

所以g=2.

n

于是0=2,所以数列｛〃”｝的通项公式为an=2.

⑵由⑴得依竽号，

C<n乙

两式相减得,

所以0=1+：+=­1---F1n

2厂12〃

M1

22n〃+2

-；——不=2一-^-

l~2

考点三裂项相消法求和(综合型)

复习指导|如果数列｛斯｝的每一项都可以拆成两项或三项等，并使它们在相加时除了首

尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，可利用裂项相消法求和.

侧⑶数列他浦的前〃项和为S”，n=1.现在给你三个条件.①4rH=2%.②&=2诙+/.

③S“=2”+k从上述三个条件中.选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答.

已知，若儿=Iog2〃“+1，｛。〃｝的前〃项和为Tn.

⑴求

(2)求证：数歹《玄｝的前〃项和4Vz

【解】若选①.由的=1,知+|=2斯知，数列｛%｝是首项为1.公比为2的等比数列.所

以。〃=1乂2"一|=2〃一|.

(I)所以为=10g22〃=小仇+|一九=〃+1—〃=1.所以｛仇｝是首项为I.公差为1的等差数

,〃(〃-1)〃(〃+1)

列.所以北=〃X1+2—X1=■-2■

⑵数喘

的前n项和A,t

=芯+芯+・一+点

1X22X3〃(〃+1)

若选②.由0=1,S“=2a“+r得〃=1时，1=2义1+乙所以1=一1.〃22时.an=St-Slt-

1=为”一为“7所以m=2打一1所以数列｛〃”｝是首项为1.公比为2的等比数列.下与选①相

同.若选③.由m=I.S“=2〃+A知，〃=1时，1=2]+女.4=—1人22时，〃“=S,LSI=(2”一

1)一(2"r-1)=2"-I.下与选①相同.

磁窗演

(1)裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项,

最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项.

①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

［注意］利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意

求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

(2)常用的裂项公式

、〃+1)n

1

②

(2〃一1)(2〃+1)―

③、〃+］一血.

5+7〃+1

考法全练】

1.(2020・湖北八校联考)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，且。9=：。12+6,z=4,则

数列的前10项和为()

解析：选B.设等差数列｛“〃｝的公差为"，

由砌=112+6及等差数列的通项公式得〃i+5d=12,又“2=4,

所以0=2,d=2,

所以5”=序+〃，

即1111

'以及.而不一^一市'

所以打扛…+上

=(T)+(卜9+…+(=-=)

=T书

2.数列仅〃｝满足“1=1,d*+2=a”+i(〃WN*).

(1)求证：数列｛足｝是等差数列，并求出｛为｝的通项公式;

2

(2)若bn=--T.求数列｛〃”｝的前〃项和.

。〃十%+1

解:(1)由｛星+2=4〃+］得/+1一1=2,且H=l,

所以数列｛第｝是以I为首项，2为公差的等差数列，

所以晶=1+(〃-1)X2=2〃-1,

又由已知易得知＞0,

所以

22

Q)b”==、2〃+]—山〃-1,

4〃+cin+1yjln—1+.2〃+1

故数列｛/?”｝的前n项和.=+岳+…+〃”=(小—1)+(小—小)+…+(<2〃+I—

-1)=[2〃+1—1.

>有电演练，③后突破练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练I

1.数列他〃)的前〃项和为5"，已知&=1-2+3—4+・・・+(一已一1・〃,则&7=()

A.9B.8

C.17D.16

解析：选A.Si7=1—2+3—4+5—6H---H5-16+17=I+(-2+3)+(-4+5)+(—6

+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.

2”—1321

2.在数列(如｝中,a="^~，若｛〃“)的前n项和S,=则〃=()

n64，

A.3B.4

C.5D.6

解析：选D.由。产，^]一/得，----1~/)=〃—(1―2则S尸号

=〃一(1一/),将各选项中的值代入验证得〃=6.

3.在数列｛m｝中，0=2,6=2,a〃+2—a〃=l+(—1)",〃£N*,则S60的值为()

A.990B.1000

C.1100D.99

解析：选A.〃为奇数时，斯+2—。”=0，斯=2;〃为偶数时，斯+2一。〃=2,故S”)

=2X30+(2+4+-+60)=990.

4.已知函数人工)=炉+力3>0,且aWl)的图象经过点P(l,3),Q(2,5).当〃£N”时,

。产川］、,记数列｛册｝的前〃项和为S”当*=当时，〃的值为()

A.7B.6

C.5D.4

解析：选D.因为函数“i)=〃+〃3>(),且aWl)的图象经过点P(l,3),0(2,5),

。+。=3,。=2,。=-1,

所以叫=1或I("%

。2+8=5,

所以yu)=2、+i,

2n+l-l

所以(l=

n(2n+l)(2,,+,+l)

11

2〃十|―2方+1

所以S〃=2n+l4-lJ-3-2M+,+r

令S〃=三，得〃=4.故选D.

JJ

5.（202（）•河北保定期末）在数列｛6｝中，若0=1,©=3,斯+2=〃〃+|一小（”七N"）,则该

数列的前100项之和是（）

A.18B.8

C.5D.2

解析：选C.因为〃1=1,生=3,即+2=斯+1-所以〃3=3—1=2,%=2—3

=­1,痣=-1-2=-3,。6=-3+1=-2,。7=-2+3=1,如=1+2=3,<79=3-1=2,…，

所以｛斯｝是周期为6的周期数列，因为100=16X6+4,所以$（）0=16乂（1+3+2—1一

3—2）+（1+3+2—1）=5.故选0.

6.等比数列｛小｝中，若m=27,a9=击，q>0,，是其前〃项和，则S6=.

!!!2力一©]

解析：由“1=27,已知’三百=274，又由夕>0,解得所以S6=j

364

竺案.迦

7.（2020・九江联考）若｛斯｝,｛儿｝满足。也=1,m=/+3〃+2,则｛瓦｝的前18项和为

解析：因为〃滴〃=1,且。”="2+3〃+2,

彳以.=，户+3〃+2=（〃+2）5+1）=^7-

所以｛儿｝的前18项和为…+十_*=94=*=养

答案：4

8.已知数列｛〃”｝是等差数列，数列｛/?〃｝是等比数列，且历=3,1）3=9,a\=b\,a\A=lu.

则｛斯｝的通项公式为;设c,,=an+方”，则数歹1J｛c〃｝的前〃项和为.

解析：设伍“｝是公差为d的等差数列，｛儿｝是公比为夕的等比数列，由岳=3,b3=9,

可得“=沫=3,历汗一2=3.3"-2=3"」即有〃|=仇=1,。14=儿=27,则d="：J"=2,

则。〃=0+(〃一1)d=1+2(〃-1)=2〃-1.金=斯+为=2〃-1+3”「，则数列｛金｝的前〃项和为

11—3〃3”-1

[1+3+・一+(2〃-1)]+(1+3+9+-+3"一|)=乎・2〃+-^=〃2+^—.

3"-1

答案：an=2n-I"+—-—

9.已知数列(金｝满足“1=(且a“+L言叽.

乙乙ICln

(1)求证：数列｛j｝是等差数列；

(2)若bn=an•atl+],求数列｛6｝的前〃项和S〃.

解：(1)证明：因为即H=W^,所以一^=空]

所以—!-----=1,

“〃+12

所以数列｛,｝是首项为2,公差为4的等差数列.

(htZ

(2)由(1)知2=5+(〃-1)义：=亨,所以。〃=岛,

41I

所以的=(/?+3)(〃+4)=4X(滔?一干)，

S尸4X宿_抖代)+…+&_*)]=4X(%

〃+4)-〃+4，

10.(2020•广州市综合检测(一))已知｛小｝是等差数列，且他山=0,怆出=1.

(1)求数列｛3｝的通项公式：

(2)若0,诙,。6是等比数列｛仇｝的前3项,求人的值及数列｛。”+小｝的前〃项和.

解：(1)因为1g0=0,怆44=1，

所以4]=1,Cl4=10.

设等差数列｛斯｝的公差为d,

所以0i=ai+3(〃-1)=3〃-2.

⑵由⑴知0=1,口=16,

因为0,ak,俏是等比数列｛d｝的前3项.

所以加=046=16.

又。”=3〃-2>0,

所以a«=4.

因为四=3攵一2,

所以弘一2=4,得k=2.

所以等比数列｛d｝的公式4=铝筹=4.

所以仇=4"-L

所以小+d=3〃-2+4'厂|.

所以数列｛斯+。〃｝的前〃项和为5”=迪4~»+；_：=）?2_[〃+g（4"-1）.

I综合题组练]

1.（综合型）（2020•黑龙江牡丹江一中模拟）已知数列[〃”）满足0=2,4〃3=。6，*是等

差数列，则数列｛（一1）"如）的前10项的和510是（）

A.220B.110

C.99D.55

解析：选B.设等差数列愕的公差为山贝瞪=s+3d,罟=号+3d,将已知值和等量

关系代入，计算得4=2,所以槊=〃[+（〃-l）d=2〃，。“=2〃2,所以Sio=—〃|+。2—s+四

---+山0=2（1+2+…+10）=110,故选B.

2.已知数列｛〃〃｝满足⑶:=1,%+1・4〃=2"(〃£N*),则S2018等于()

A.2?。JB.3X2,009-3

C.3X21009-1D.3X2,008-2

2cm+2•〃”+i2””

解析：选B.0=1,。2=一,,-2,又一o”一2,

maf)+\,a„2

所以一2.所以a\,S,45，…成等比数列；。2，。4，"6，…成等比数列，所以S2018

。/1

=4|+a2+a3+a4+a5+46+,•,4-4/20l7+^2018=3l+s+a5~l----1~。2017)+(«2+«4+«6H------1"

1—009,0―ol009\

"208)二%三-+1:2=3电财_3.故选B.

1i

3.S,〃i=1,

设数列｛〃”｝的前〃项和为且an-\r-〃/i=p(〃=L2,3,…),则S2LI=

解析：因为0=1,m+如+1=点〃=1,2,3,­•

,,)»所以§2”-1=0+(02+43)+…+(侬

-2+^-1)-1+22+2Z+-+22n-2-£1Q]-

答案:I1-©]

4.（创新典）已知数列｛〃〃｝,若如+i=〃“+a”+2（〃£N）则称数列伍”｝为“凸数列”.已

知数列｛乩｝为“凸数列”，且6=1,b2=-2,则数列｛%｝的前2019项和为.

解析：由“凸数列”的定义及加=1,岳=一2,得优=-3,九=一1,儿=2,d=3,

历=1,公=一2,…，所以数列｛儿｝是周期为6的周期数列，且〃i+历+加+仇+岳+〃6=0,

于是数列｛儿｝的前2019项和等于方1+/?2+济=—4.

答案：一4

5.(2019•高考天洋卷I设｛斯｝是等差数列，｛—｝是等比数列,公比大于0.己知〃1="=3,

力=2〃3，匕3=4。2+3.

(1)求｛m｝和｛仇｝的通项公式;

[1,〃为奇数，

(2)设数列｛c》J满足金="力〃为偶数.求mci+sczH---Fs〃C2〃(〃£N").

3q=3+2d,

解：(1)设等差数列｛出｝的公差为d,等比数列｛