第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试卷（二）解析版

第二章一元二次函数、方程和不等式章末测试卷（二）

一、单选题

I.（2023•全国•高一专题练习）若不等式ad+笈+6>0的解集为“1工<-3或%>-2},则（）

A.t/=l,Z?=-5B.a=-\,b=5

C.a=-\,b=-5D.a=l,b-5

【答案】D

【分析】由不等式的解集得出-3和-2是方程a/+bx+6=0的两个根，代入求解即可得出答案.

【详解】因为不等式办2+区+6>0的解集为{#x<-3或x>-2},

所以工=-3和工=-2时，ax1+Z?x+6=0»

即9a-%+6=0,4t/-2Z?+6=0.

解得a=1、Z?=5,

故选：D.

2.（2023秋•高一课时练习）不等式V+心+4<（）的解集不为空集，则。的取值范围是（）

A.{^|-4<6/<0}B.{a|-4vav4}

C.{a|a«-4或a"}D.{a|a<-4或c>4}

【答案】D

【分析1解不等式△=〃一]6>0即得解.

【详解】不等式/+⑥；+4<0的解集不是空集，

所以△=。2-16>0,

所以（。+4）（。-4）>0,

・\aV-4或a>4.

所以”的取值范围是加1。<-4或。>4}.

故选：D

3.（2023秋•北京海淀•高三人大附中校考阶段练习）设"SeR,且〃<〃<（）,则（）

A.-<TB.b2>abC.>\[abD.―+―>2

〃力2ab

【答案】D

【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，利用基本不等式进行求解.

【详解】A选项，当a=-2,A=T时，1=1=-^故，>:，A错误；

a2bab

B选项，当〃=-2,力=一1时，b~=l,ab=2,b2<ab»H错误;

C选项，当a=-22=-1时，—=--,x/^=V2,—<x/^,C错误；

222

D选项，当a<〃<0时，\>0,,0,由基本不等式可得宗,2后，2,

当且仅当2=?,即•二人时，等号成立，但山〃，故等号取不到，

ab

故^+f>2,D正确.

ab

故选：D

4.(2023秋•陕西渭南•高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习)2()22年7月1口，迎来了香港回归祖国25周年，

为了迎接这•历史性时刻，某商店购进•批香港回归25周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按

最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高I元，H销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获

得600元以上的销伐收入，则这批纪念章的销售单价x(单位：元)的取值范围是()

A.(10,20)B.[15,20)C.(16,20)D.[15,25)

【答案】B

【分析】根据题意可得出关于x的不等式，再结合XN15可得出x的取值范围.

【详解】由题意，得x[45—3(x—15)]>600,即Y-30x+200<0,解得10<x<20.

又每枚的最低售价为15元，.•.ISWxvZO.

故选:B.

5.(2023秋•河北保定•高一河北省唐县第一中学校考阶段练习)已知lWa+24,-\<a-b<2,则%-方

的双值范围是()

A.-I3<3^-Z?<1B.-l<3fz-Z?<8

C.-\<3a-b<l3D.\<3a-b<\3

【答案】B

【分析】设3。-〃=〃而+加+〃(〃-力)，解出〃?，〃的值，再根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：设3。一。=m(a+b)-n(a-b)=(/n+n)a+(m-n)b,

〃[十〃=3{in=1

则有一解得〈…

tn-n=-\[n=2

所以3a—〃=(“+〃)+2(。-b),

又因为-1

所以-2W2(a-〃)W4,

又因为1

所以一l«(a+勿+2(a-〃)K8,

故选:B.

6.（2023・全国•高一专题练习）若一元二次方程.2_2戈-4=0（。不等于。）有一个正根和一个负根，则实

数”的取值范围为（）

A.。>0B.a>2C.a>1D.a>-\

【答案】A

【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即

可求解.

【详解】因为一元二次方程0?_2'-4=0不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为与爸，

△=（-2）2-4X£/X（-4）>0

则，4，解得。>0,

玉X,=—<0

-a

故选：A

7.（2023・全国•高一专题练习）“关于x的不等式/_2公+00的解集为R”的一个必要不充分条件是（）

A.（）<«<1B.Oca/C.0<a<lD.a<0或a」

33

【答案】C

【分析】求出满足题意的充要条件为然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.

【详解】因为不等式》2_2如+〃>0的解集为R,

所以应有△=(—2〃)~—4«=4«(«-1)<0,

解得0<avl.

选择的必要不充分条件的范围，应该大于0<。<1包含的范围，显然只有C项满足.

故选：C.

8.（2023秋•江苏宿迁•高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知不等式x-26+。2_〃_22（）恒成立,

则实数。的取值范围是（）

AJ旧…1+如

B.-\<a<2

22

1一加加1+加

C.a<------或aN----------D.a<-\^a>2

22

【答案】C

【分析】将不等式x-24+/-a-2对恒成立问题转化/-〃-2乂-4+2冈而，然后利用换元法求最值,

最后解不等式即可.

【详解】不等式工一24+/-〃一220恒成立，所以+24，则〃一22（一工+2«）,

、/max

令&=1,r>0,则一x+24=-产+2/，当/=1时，取得最大值，最大值为1,

所以/_〃_2之I,解得。工上巫或。之上二叵.

22

故选：C.

二、多选题

9.(2023秋福建三明•高一三明一中校考阶段练习)下面命题正确的是()

A.是“上〈I”的充分不必要条件

a

B.命题一〈1”的否定是"小N1,x2>1M

2

C.当xN2时，x+一的最小值为2后

x

D.设4、bwR,则“"0”是“必工0”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】利用分式不等式的解法结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用全称量词命题的否定

可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，由可得1-，=生1>0,解得兴0或

aaa

所以，“a>l”="a<0或a>l"，且“a>l"e“a<0或a>l”，

所以“。>1"是'」<1”的充分不必要条件，A对；

a

对于B选项，命题』<]”的否定是"去<[,』之]„,B错；

对于C选项，当XN2时，x+$2辰=2无,

2

当且仅当x=：(x>o)时，即x=、E时，等号成立，

7

fix>2,等号不等成立，故当血2时，x+士的最小值不是2万，C错;

x

对于D选项，若abr0,则。工0且匕工0,

则"4工0''卢”。工0且/?60”，“。/0、'<="。/0且匕工0"，

所以,“。W0”是“而工0”的必要不充分条件,D对.

故选：AD.

_2'

10.(2023秋广东深圳.高一校考阶段练习)若集合4={x||3x-l|22},x|—x<0,pii()

✓V~~1

A.AyB=BB.AL)=(-o"

C.D.3A)J8=H/)U(1，2]

【答案】AD

【分析】解不等式求出A,R,再进行集合交并补运算逐一验证四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】由|3工一1|之2可得3x-l22或3x-14-2,解得：或xK-g,

所以从={x|xK-g或工21}：

由可得竹2）,7）40,解得：K2,

x-11工0

所以4={x[l<xK2}；

对于A：因为A」或xNl},B={JC\\<X<2},所以An8=8,故选项A正确；

对于B：由8={汨1<“<2}可得48={幻工<1或工>2},

又因为A={x|xK-g或xNl},所以AX44）=（YO,一：3l}“2，y），故选项B不正确;

对于C：因为A={x|x4—g或工21},B={x\\<x<2},

所以Au8=A=r|&g或Z},所以d（AU8）=G，l}故选项C不正确；

,「・、

对于D：因为A=<或x21},所以44=<x|-§vx<l>,

因为4=3152},所以（电A）UHT/）U（1,2],故选项D正确；

故选：AD.

11.（2023秋•山东济宁•高一济宁市育才中学校考阶段练习）下列命题中，真命题的是（）

2

A.V.VGR,tPWx-x>x-\

B.任意非零实数小b,都有2+

ab

C.3xe(l,-Kc),使得x+」^=6

x—1

D.Vxe(2,+oo),都有41+

【答案】ACD

【分析】对于选项A,作差比较可知A正确：对于选项B,当。,b异号时，可知B错误；对于选项C,当x=2

时，可知C正确；对于选项D,根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.

【详解】对于选项A,X2-X-（X-\）=X2-2X+\>0,

所以对DXGR,都有f—xNx-l，故选项A正确；

对于选项B,若。，力异号，则3：<。，故选项B错误；

ab

44

对于选项C,当x=2时，x+——=2+——=6,故选项C正确:

x-\2-1

对于选项D,犷升+7工24恒成立，故选项D正确.

故选：ACD.

12.(2023秋・山东日照・高一日照一中校考阶段练习)已知。>0,下列命题中正确的是().

A.若而一。一3=0,则〃+乃28

b4

B.若。+〃=2,则一+725

ab

C.若4+〃=1,则Ja+4+>jb+\<26

D.若一^―-+———1=—,则ab+a+b>\4+6>/6

67+1b+23

【答案】AD

【分析】根据基本不等式及一元二次不等式求解判断A,根据基本不等式中常数代换求解判断B,根据基

本不等式变形求解判断C,消元后利用基本不等式求解判断D.

【详解】对于A,因为。/?一。一22?=0.所以a/?=a+2/?,

因为。>0,b>0,所以出?=“+2〃22j^,当且仅当。=2^时取等号，

所以(他尸28曲，所以而28,当且仅当〃=助二4时取等号，

所以。+力之8,当且仅当。=2=4时取等号，所以A正确：

对于B,因为。+/?=2,所以8=2—a,

,b42-a424,1,/24}ti<4a2b\,

ababab2\ab)ba)

二2+&222J华2+2=24+2,当且仅当羊=L即〃=2&-2,0=4-2&取等号，所以B错误；

ha\baba

对于C,由a+力=1,贝Ja+4+b+l=6,a>0,b>0,

由正当叵工产/=J|=G，所以g+gcB

当且仅当=即a=-1,〃=2时取等号，由。>0等号取不到，所以C错误；

对于D,由」一+_!_=_L,得3S+2)+3(a+l)=(a+l)S+2),

a+1b+23

.7

化笥得〃〃=a+2Z?+7,所以。=•2:----,因为。>0,b>0,所以力>1,

b-\

所以。力+〃+/?=24+3/?+7=■^^+3/?+7=3俗-1)+型+1422J3S-1)•卫+14=6#+14,

b-ib-\Vb-1

Io

当且仅当3s-1)==，即。=4+1时取等号，所以ab+a+*14+6指，所以D正确.

b-l

故选：AD

【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(I)“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成“.的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

I9

13.(2023秋•天津东丽•高一校考阶段练习)当x>0,且满足一+二二2时，有2工+)，>公+4+2恒

xy

成立，则k的取值范围为一.

【答案】(-2,1)

【分析】利用基本不等式先求2x+y最小值为4,然后解不等式4>及2+&+2即可。

12

【详解】x>0,y>0,且满足一+一=2,

xy

ECl/rJl2)(4xy)1(“l4xy],

2Jy)21yX)2(\yx)

当且仅当把=』，即x=l,y=2时等号成立，得2x+y最小值为4,

yx

由2x+y>K+R+2怛成立，所以4>公+女+2,化简得公+左一2<0,解得一2<攵<1.

则k的取值范围为(-2,1).

故答案为：(-2,1)

14.(2023秋•浙江绍兴•高一浙江省柯桥中学校考阶段练习)若；v>0时，关于工的不等式

⑷一1)(/+法-4)20恒成立，则〃+?的最小值为.

【答案】4石

【分析】先分*0和。〉0进行讨论，当。〉()时根据不等式讨论分析可知：,为f+6一4的零点，可

a

得6=4〃-工，结合基本不等式求解

a

【详解】解：由"9可得"0,

a

当a<0时，由x>0可得⑪-1V0,

因为关于x的不等式如一。12+法-4”0恒成立，所以f+-—WO,

因为)，=/+以―4是开口向上的抛物线，所以Y+云—WO不恒成立，故舍去；

当a>0时，则有：当时，则at-l〉0,当0cxe，时，KJax-1<0,

aa

・•・当时，则工2+/加—4NO,当()<x<L时，则/+反—4W0，

aa

即[为y=v+加一4的零点，+--4=0，则〃=4。一

a\a)a。

.,.^+-=4«+->4>/5,当且仅当4〃=3即。=且时等号成立，

aaa2

故答案为：475

15.(2023秋•广东广州•高一铁一中学校考阶段练习)已知p:|4-x区6,夕:W—2x+l-病之。〃〃〉。)，且/

是F的必要不充分条件，则实数，〃的取值范围是.

【答案】0

【分析】解不等式分别求出PM，从而可得力和F,再根据必要不充分条件的定义，列不等式组求解即

可.

【详解】由|4一工区6,得-6WX—4W6,所以—2WxW10,

H|Jp:-2<x<10,所以nP：x>IO或x<-2,令集合A={.v|x>10或工<一2}；

由/-2x+1^0(/n>0)^[x-(l+m)][x-(l-/w)]>0,

因为〃2>0,所以工之1+/〃或xKlr〃，即9：大之1+/〃或大K1一〃？，

所以t7：1一〃?<xvl+〃z,令集合〃={却一vx<1+〃?},

因为f是F的必要不充分条件，所以8A,

所以।、s或</力不等式组无解，

所以"7£0.

故答案为：0

16.(2023秋•湖北•高一校联考阶段练习)已知集合A={X*+2A8N0},13={x\x2-2ax+4<()},a>0,

且ACB中恰有3个整数元素，则实数〃的取值范围为.

【…答小案】K「529)

【分析】利用解不含参的一元二次不等式得A,再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得

8-4«<0

20-8440,最后计算得结论.

29-10a>0

【详解】集合4=39+2》-8之0}={小或x22},

设/(耳=/一26a+4,则函数/(%)的图象开口向上，而由a>0知：对称轴x=a〉0.

因为Ac3中恰有3个整数元素，所以方程/(力=。有实数根，

令为、巧是方程/⑴=。的两根，则{::;

所以0v$W2W/（取式陷七），所以Ac3中恰有3个整数元素为2,3,4,

/（2）＜0[8-4^＜0

/（4）＜0,即（20-8440,529

/（5）＞（）[29-10«＞0210

-529、

所以实数〃的取值范围为9而J.

此处#n「529、

故答案为：J

四、解答题

17.（2023秋・江苏淮安•高一校考阶段练习）已知关于x的不等式;加-工-2<0的解集为

（I）求实数。力的值；

（2）当x>（）,>'>0,且满足q+^=1时，有x+2）亚产+A+3恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】（l）a=l,b=2

⑵-3《攵42

【分析】（1）由题意可得T和〃是关于工的方程加-工-2=0的两个实数根，且。>0,再利用韦达定理即

可得解；

（2）当x>0,y>0,工+2），2抬+&+3恒成立，只要（x+2），）n®N攵2+A+2即可，利用基本不等式中“1”

的整体代入求出（x+2y）的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】（1）因为不等式以2_x_2<0的解集为何-1<%<4,

所以T和b是关于x的方程加-X-2=0的两个实数根，且。>0,

-=b-\

a=1

则\,解得•

h=2

—=-b

a

12

（2）由（I）得一+—=1,

（\2、

故人+2y=（八+2））-+—二5十生十生之9,

㈠y）•Vy

2v2x

当且仅当一=一，即,i=y=3时，等号成立,

由题意得（x+2y）疝//+%+2,即9之二+4+3,解得一3«心2,

所以实数A的取值范围为-3Wk<2.

18.（2023秋・江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）使不等式丘2_2"+2>0对一切实数x

恒成立的A的取值集合为4,集合6=卜|9一2x-〃『+1<0卜

(1)求集合A:

(2)若,求实数机的取值范围.

在①“xeA”是的充分不必要条件；②A[B=8这两个条作中任选一个补充在第(2)问中，并给

出解答.

【答案】(l)A=[0,2)

(2)详见解析

【分析】(1)根据不等式履2_2h+2>0对一切实数x恒成立，分攵=()和攵>0,利用判别式法求解；

(2)选①令/(x)=W—2x—〃，+1,利用根的分布求解，选②由A「8=8,得到BuA,再对

x2-2x—〃P+1<0因式分解，分"7=0,m>0,〃?v0求解.

【详解】(1)解：因为不等式依工-2米+2>0对一切实数x恒成立，

所以当女=0时.，2>0,

当%>0时，△=(一2攵)2—8攵<0,解得0〈人<2,

综上：实数2的取值范围是[0,2),即A=[0,2)；

(2)令/(工)=/-2工->+1,

选①“xeA”是“xe8”的充分不必要条件；则年从

所以《八7十八，即{21/Z解得川>1或用<一1；

/(2)<0[-/?r+1<0

选②人「〃一"，贝1J"占A,

由工2-2工一/7+1<0,得(4+〃7-1)(工一，〃一1)<。，

当机=0时，不等式为(》一1)2<0，则8=0,成立；

当〃z>0时，/3={x|-〃z+l<x</"+l},则〈,解得0<〃741；

〃?+1三2

..\m-\-\>0

当，〃<0时，B={x\m+\<x<-m+\}则《，…解得一1工/〃<0；

t-m+\<2

综上:"l<m<l.

19.(2023秋・江苏南京•高一南京市第二十九中学校考阶段练习)已知不等式2<0?+乐+。43的解集为

{.r|2<x<3).

(1)若。>0,且不等式以2+8一3•-cWO有且仅有10个整数解，求。的取值范围；

(2)若〃为非零实数，解关于x的不等式：^2+(^-1)A-4-5<0.

【答案】⑴(0

(2)答案见解析

【分析】(1)由题意可得ad+瓜+cW3的解集为｛X|2WX43｝,利用一元二次不等式的解集与对应方程根

的关系可得〃=-5。，c=6〃+3；加+bx+c之2的解集为R,利用一元二次不等式恒成立可得0<〃<4,

进而解不等式加+Q-3)x-cW0,结合题意即可求解：

(2)由(1),结合含参一元二次不等式的求法，对。、〃进行分类讨论，即可求解.

【详解】(1)因为。>(),不等式2K加+加+c<3的解集为32SW3｝,

故加+bx+cK3的解集为32CK3｝且加+/>+C22的解集为R,

2+3=--

所以0¥2+加+0=3的根为*=2,工=3,故，"，化简得人=-5a,c=6«+3,

八cc一3

2x3=---

a

乂or?+加+。=奴2-5or+6〃+322的解集为R,即or?-5or+6a+120恒成立，

所以25a2-4a(6a+l)W0,解得0<三4,

不等式翻2+(/?-3)4—0工0等价于融2一(54+3)4一(3+3)«0,BP(x+l)(av-6«-3)<0,

所以-1«x46+三3,由题意得8W6+3±<9,解得3

aa2

(31

综上所述，"的取值范围为I，5.

V2.

(2)若〃>0,由(1)得原不等式可化为以'(7a-l)x+5<0,BP(ar-l)(x-5)<0,

当0<。<］时，不等式解集为(5,£|,

当。=(时，不等式解集为0,

当时，不等式解集为(%5)；

若。<0,原不等式等价于加+反+cN2的解集为32W3｝且加+版+c43的解集为R，

所以方程a-+bx+c-2-0的木艮为2和3,

bc—2一

则2+3=—,2x3=---,所以。=一5々，c=2+6a,

aa

不等式ar?+bx+c=ax2-5OT+6G+2K3恒成'A»故25/-4。(6"-1)<(),解得-44avO,

不等Mtax?+S-I)x+5=(ar-l)(/-5)<0,解得x<—或x>5,

a

综上所述，当-4WavO时，解集为，或x>5｝：

当0<4<5时，不等式解集为1|5<X<一；

5aJ

当。=：时，不等式的解集为0：

当!时，不等式的解集为

5、aJ

20.(2023秋・广东佛山•而一石门中学校考阶段练习)已知-)，都是正数，且2+'=1.

xy

(1)分别求X,y的取值范围；

⑵求2工+)，的最小值及此时x,)，的取值；

(3)不等式(2x+y『之〃?(x+2)，)恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】⑴{y|y>i},{小>2}；

(2)最小值为9,此时x=y=3；

⑶{〃帕工8}.

9v_1|x_9

【分析】(1)由题设二—、-=—,根据已知及不等式性质求X,)，的取值范围；

xyyx

(2)应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，并确定取值条件；

(3)将问题化为〃2⑵一).厂恒成立,利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围.

孙

【详解】(1)由一2+—1=1得：一2=1一一1二^v—-1,因x>0,故±2>0,从而二v—-1>0,

%yyyxy

因为y>o,故y-i>0,得)，的范围为b|y>i}；

Ix—2

同理：由7=丁>。，得工的范围为{小>2}.

,八c-J21)“2x2)，，、ucl2x2y,、

(2)2x+y=(2x+y)]—i——4H---1——+15+2/-----=9,

(xy)yxvy-v

当且仅当-+-=l,即x=)，=3时取等号，此时2x+y的最小值为9.

xy

x>0,y>0

21

(3)由一+—=1,得x+2)，=xy>0,

%y

(2x+y『

故(2x+y)~>m(x+2y)<=>m<

JV+2)，孙

又(2x十»=4/十)，2+4个，=把+£+4之2与+4=8,

xy肛yxNyx

41_y

当且仅当।'时等号成立，（2"+）’『取得最小值8,

21.xv

一+—=1

X）'

故的取值范围为{W〃〈8}.

21.（2023秋・山东蒲泽•高一巨野县实验中学校考阶段练习）已新函数y=ar2+（a-l）x-IMCR

⑴若）>。的解集是卜gr求〃的值.

⑵若a<0,解关于x的不等式ar2+（”l）x-1>0.

【答案】（1）。二一2

（2）答案见解析

【分析】（1）根据题意可得且方程加