【解析】北京东城27中学高三上学期期中考试数学（理）试题

北京市第二十七中学2017—2018学年第一学期高三年级其中数学（理）试卷2017.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，若，则的取值范围是（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，，，∴，故选．2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：、不是奇函数，在上单调递增，无极值，故选．3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，继续，，，继续，，，继续，，，停业．故选．输出为．4．下列函数图像中，满足的只可能是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，说明在定义域上不是单调递增或递减，由图像排除，且项不符合，故选：．5．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）． A． B． C． D【答案】C【解析】解：．【注意有文字】故选．6．设、为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若存在，使得，则，若，并不能得到与共线，可能两向量夹角为钝角，故“存在负数，使”是“”的充分不必要条件．故选．7．对于函数，有如下三个命题：①是偶函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③在区间上是增函数．其中正确的命题的序号是（）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】解：①，，正确．②∵函数在上是减函数，在上是增函数，且在上是增函数，∴在是减函数，在是增函数，正确．③，在是减函数，错误．故选．8．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：图像如图所示，，与图像有两个交点，符合题意．故选．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】解：特称命题变否定时，“”需改成“”．10．已知平面向量，，且，则实数的值为__________．【答案】【解析】解：∵，∴，即，解出．11．函数的图像与轴所围成的封闭图形的面积等于__________．【答案】【解析】解：函数开口向下，与轴围成的封闭图形面积为．12．已知函数（、为实数，，），若，且函数的值域为，则的表达式__________．当时，是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】解：∵，，∴①，又∵，②，联立①②解出，，∴．13．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．【答案】；【解析】解：．当且仅当时，等号成立，当时，，即机器运转年时，年平均利润最大为万元/年．14．函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数，给出下列函数：①；②；③；④．其中为恒均变函数的序号是__________．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①②【解析】解：①，，．符合要求．②，，．符合要求．③，，．不符合要求．④，．不符合要求．综上所述，符合要求有①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（本小题满分分）已知函数．（Ⅰ）求．（Ⅱ）求的单调增区间．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为【解析】解：（Ⅰ）∵，．（）∵，即单调递增区间为．16．（本小题满分分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始作边两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为、．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）∵在单位圆中，，，，，∴，，．（Ⅱ）∵，，为钝角，故，，∴，为钝角，∴．17．（本小题满分分）已知曲线．（Ⅰ）若曲线在点处的切线为，求实数和的值．（Ⅱ）对任意实数，曲线总在直线的上方，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）∵在切线上，∴，又∵，当时，，∴，．（Ⅱ）由题知：，恒成立，∴，令，设，，令，，，，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴．18．（本小题满分分）已知在中，角、、的对边分别为、、，，，．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）∵，，，∴，．（Ⅱ）∵，，，代入，，解出，又∵，∴．19．（本小题满分分）已知函数，其中是自然数的底数，．（Ⅰ）求实数的单调区间．（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）单调递增区间；单调递减区间（Ⅱ）一个零点【解析】解：（Ⅰ）∵，，令，解出，，解出，∴的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ），当时，，现考虑函数的零点，令，则，令，考虑函数与的交点，当两者只有一个交点时，（即两者相切），，解得，此时，已知，故函数与无交点，故只存在一个零点．20（本小题满分分）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）略（Ⅲ）【解析】解：（Ⅰ）由题目的约束条件可知，集合中，，不符合性质的要求，其不具有性质，而集合符合性质要求，相应的集合，，集合，．（Ⅱ）证明：∵中元素构成的有序数对，一共存在个，且，故，∵时，，∴时，，∴集合中元素个数最多为个，故，证毕．（Ⅲ），证明如下：①对于，由定义知，，且，∴，如果与是的不同元素，那么与中至少