小学五年级数学下册“因数与倍数（例2）”探究式教案

小学五年级数学下册“因数与倍数（例2）”探究式教案

一、教学内容深度分析

本节课的教学内容隶属于“数与代数”领域中的“数的认识”板块，具体为人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》中的例2。在例1已初步建立因数与倍数概念的基础上，例2的核心任务是探究求一个数的因数的方法，并发现一个数的因数的特征。此内容不仅是概念的具体化与操作化，更是学生从“概念理解”迈向“方法掌握”和“规律发现”的关键阶梯，对于培养学生有序思考的能力、发展数感具有不可替代的作用。

从知识结构看，求一个数的因数，是沟通整除性、乘法与除法运算、数形结合（如矩形阵列模型）的重要纽带。掌握此法，将为后续学习最大公因数、质数与合数、数的奇偶性、乃至中学的整数论相关内容奠定坚实的逻辑基础和方法论基础。从核心素养视角审视，本课直指数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想的培养。学生通过动手操作、观察比较、归纳概括，经历完整的数学探究过程，体验从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

因此，本教学设计将超越简单的“找因数”技能训练，定位为一次以“探究”为核心的数学思维活动，引导学生在解决问题的过程中自主建构方法、发现规律，实现数学知识、能力与素养的协同发展。

二、学情精准研判

五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，其认知特点如下：

已有基础：

1.知识层面：已清晰理解因数与倍数的概念，知道两者是在整数除法（或乘法）中相互依存的一对概念。熟练掌握了表内乘除法及两位数乘除一位数的计算。

2.经验层面：在以往的学习中，接触过“配对”思想（如加法交换律）和“有序枚举”的经验（如搭配问题）。对长方形、正方形面积与边长的关系有直观认识。

3.能力层面：具备初步的观察、比较和归纳能力，能够在教师引导下进行简单的合作交流。

潜在困难与迷思概念：

1.方法无序性：在自主寻找因数时，容易遗漏或重复，缺乏系统、有序的思考策略。

2.理解片面性：可能将寻找因数局限于乘法算式，忽略除法也是有效的途径；对“成对出现”的规律停留在表面记忆，未能理解其数学本质（乘除法的互逆关系及对称性）。

3.表达规范性：因数的集合表示法（列举法或集合图）可能书写不规范。

4.特殊数处理：对于“1”和它本身这两个必然因数印象不深，对完全平方数（如16、36）中间因数的独特性认识不足。

基于此，本设计将采用“问题驱动—操作探究—对话建构”的路径，通过设计有层次、有挑战的任务，暴露学生的思维过程，引导其在冲突、辨析与反思中突破难点，实现从“无序”到“有序”，从“记忆”到“理解”的跨越。

三、教学目标与核心素养指向

结合新课标（2022年版）要求与学生实际，确立以下三维目标：

1.知识与技能

1.理解并掌握求一个数的因数的方法，能够有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。

2.通过观察多个数的因数，自主归纳并概括出一个数的因数的基本特征（有限性、最小与最大、成对性等）。

2.过程与方法

1.经历“发现问题—提出猜想—验证猜想—得出结论”的完整探究过程，体会有序思考、数形结合的重要性。

2.在独立思考、小组合作、全班交流中，发展观察、比较、分析、归纳和概括的数学思维能力。

3.情感态度与价值观

1.体验数学探究的乐趣和成功的喜悦，增强学好数学的自信心。

2.在探究因数的规律中，感受数学的简洁美、对称美和秩序美，养成严谨求实的科学态度。

核心素养细化落实：

1.数感：在寻找因数的过程中，增强对数字之间关联性的感知，理解数的构成。

2.运算能力：将寻找因数与乘、除法运算紧密结合，深化对运算意义的理解。

3.推理意识：通过从具体例子中寻找共性，进行合情推理，归纳因数的特征。

4.模型意识：初步体验从大量实例中抽象数学模型（因数特征）的过程。

四、教学重难点及突破策略

教学重点：掌握求一个数的因数的有序方法。

教学难点：理解并概括一个数的因数的特征，特别是“成对出现”的规律及其本质。

突破策略：

1.针对重点：采用“任务卡”驱动，借助“面积模型”（用小正方形拼长方形）等直观操作，将抽象的“找因数”转化为具体的“找拼法”，引导学生在操作中自然生成“从1开始试除”或“从1开始找乘法算式”的有序思路。

2.针对难点：设计对比性强的探究活动（如找16和18的因数），引导学生观察、记录并对比因数列表，利用多媒体课件动态演示因数“成对出现”的过程，并结合乘除法互逆关系进行说理，从而理解规律背后的算理。

五、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件（包含动画演示：因数成对出现、集合图表示法）。

2.交互式白板或智慧课堂系统，用于实时呈现学生作品。

3.探究学习任务单（每人一份）。

4.数字卡片（写有不同数字，如12,18,20,24,36,1,2,17等）。

5.磁贴或卡片，用于板书结构化呈现。

学生准备：

1.学具：每人20个大小相同的正方形纸片或方格纸。

2.常规文具。

六、教学过程实施

（一）情境激趣，问题驱动（预计时间：5分钟）

1.故事化情境导入：

师：同学们，数字王国最近在举办一场别开生面的“朋友配对”大会。数字12想找到所有能把它“平均分”的整数朋友，也就是整除它而没有余数的数。这些朋友在数学上叫做12的什么？

生：因数。

师：没错。12已经找到了1和12这对朋友，但它担心还有朋友被遗漏。你们愿意帮数字12找到它所有的因数朋友吗？怎样才能保证一个不漏、一个不重地全部找到呢？这就是我们今天要探究的核心问题。

2.揭示课题与目标：

师：今天，我们就化身“数学侦探”，深入研究“如何求一个数的因数”，并尝试发现这些因数背后隐藏的规律。（板书课题：求一个数的因数）

【设计意图】创设童话情境，将抽象的数学问题拟人化，迅速激发五年级学生的学习兴趣。直接抛出“如何有序、不重不漏地找”这一核心问题，为学生本课的探究活动树立了明确的目标，驱动其主动思考。

（二）多维探究，建构方法（预计时间：18分钟）

本环节是本节课的核心，分为三个层层递进的探究活动。

活动一：动手操作，直观感知——用“面积模型”找因数

任务：请你用手中的12个小正方形，拼成不同的长方形（包括正方形）。记录下每种拼法的长和宽分别是多少。

1.独立操作，记录发现。学生动手拼摆，教师在巡视中关注学生的有序性（如从“摆一排”开始），并收集典型拼法。

2.汇报交流，建立关联。

1.3.请学生上台展示拼法：1×12,2×6,3×4。

2.4.师引导：每种长方形的“长”、“宽”和“小正方形的总数”之间有什么关系？（总数=长×宽）

3.5.关键提问：从这个操作中，你能想到找出12的因数的方法吗？

4.6.学生发现：只要看哪两个整数相乘等于12，这两个数就是12的因数。拼法的长和宽就是一对因数。

7.提炼方法（乘法思路）。师生共同梳理：可以通过寻找乘积为12的乘法算式来找因数。从1×12开始，有序地尝试。

【设计意图】“数形结合”是突破抽象概念的有效手段。通过拼长方形，将“找因数”这一数论问题转化为直观的几何操作。学生在“做数学”的过程中，自然地将“因数对”与长方形的“长和宽”对应起来，为理解因数的“成对性”积累了丰富的感性经验。

活动二：算法沟通，优化策略——从“乘法”到“除法”

1.引发认知冲突。师：如果我们要找36的因数，还用拼长方形的方法方便吗？（学生感受不便）或者一直想乘法算式，有时候可能想不全。有没有更通用、更快捷的方法？

2.建立除法思路。

1.3.师引导：既然因数是能整除12的数，那我们可以直接用12去除。从谁开始除最保险？

2.4.生：从1开始。12÷1=12，找到1和12；12÷2=6，找到2和6；12÷3=4，找到3和4。

3.5.师追问：试到什么时候就可以停止了？为什么不用再试5了？

4.6.引导学生发现：当试除的商比除数小或相等时（如试4时，商3≤除数4），就可以停止了，因为再继续就会重复。

7.对比优化，形成通用方法。

1.8.对比“乘法思路”和“除法思路”，学生讨论两者的异同与优劣。

2.9.共识：两种思路本质相通，都体现了有序思考。除法思路更具一般性，试除到商小于或等于除数时停止，能确保不重不漏。

3.10.教师用课件动态演示用除法有序寻找12的因数的过程，并规范书写格式（列举法或集合图）。

【设计意图】从直观操作过渡到抽象算法，是思维的一次飞跃。通过设置更大数（36）的任务，让学生感受原有方法的局限性，主动寻求更优策略。引导学生将“找因数”与“整除”判断直接关联，理解除法思路的算理，并掌握“试除终点”的判断标准，从而建构起求一个数因数的通用、有序、高效的方法。

活动三：初次归纳，感受有限与极值

任务：请用你喜欢的、有序的方法，找出18和16的所有因数，并记录在任务单上。

1.独立完成。

2.汇报对比。

1.3.展示学生作品，强调有序性。

2.4.板书：

18的因数：1,2,3,6,9,18。

16的因数：1,2,4,8,16。

5.引导观察，初步发现。

1.6.提问：观察12、18、16这几个数的因数，你有什么初步的发现？（学生可能说出：都有1和它自己；个数是有限的；最小的都是1，最大的是它自己。）

2.7.教师板书特征一：一个数的因数的个数是有限的。最小因数是1，最大因数是它本身。

【设计意图】在掌握方法后立即应用，巩固技能。通过观察多个实例，引导学生进行第一次归纳，发现因数最显而易见的特征（有限性、极值），为下一步发现更深层次的规律做好准备。

（三）深入观察，发现规律（预计时间：10分钟）

活动四：聚焦“成对性”，深化理解

1.制造对比，引发深度思考。

1.2.师：请将18和16的因数，像老师这样（将12的因数成对板书：1—12,2—6,3—4）也“一对一对”地排列出来，看看有什么新发现？

2.3.学生排列：

18：1—18,2—9,3—6

16：1—16,2—8,4—4

4.小组讨论，概括规律。

1.5.提问：这种“一对一对”的现象，是所有数都有的吗？为什么会有这样的规律？

2.6.小组讨论后汇报。引导学生用乘除法的关系解释：如果a是b的因数，那么b÷a=c，c也是整数，所以c也是b的因数。a和c就是一对。

7.突破难点，理解“中间数”。

1.8.聚焦16的因数“4—4”：这一对有什么特别之处？

2.9.引导学生理解：当两个因数相等时，就只写一个。这个数（如4）是16的因数，且4×4=16，这样的数是完全平方数。

3.10.师：这说明，一个数的因数总是成对出现的，除非它是完全平方数，中间会有一个“单身”的因数。

11.完善规律，形成结论。

1.12.师生共同完善并板书特征二：一个数的因数通常是成对出现的。（乘除法互逆）对于非完全平方数，因数个数是偶数；对于完全平方数，因数个数是奇数。

【设计意图】这是本课思维难度的高峰。通过要求学生对因数进行“配对”排列，将隐藏的规律显性化。引导学生用数学语言（乘除法关系）解释现象背后的本质，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。对完全平方数特殊情况的讨论，体现了数学的严谨性，培养了学生全面、辩证看问题的思维品质。

（四）分层应用，巩固内化（预计时间：5分钟）

层次一：基础应用（面向全体）

1.写出下面各数的因数：15，24，1。

（重点关注1的因数只有它本身，是一个特例，为后续学习质数做铺垫。）

2.判断：①一个数的因数一定比这个数小。（）②8的因数有4个，16的因数有5个，所以一个数的因数个数越来越多。（）

层次二：综合应用（面向大多数）

3.一个长方形水池的面积是36平方米，它的长和宽都是整米数，可能是多少米？（请列出所有可能情况）

（此题回溯“面积模型”，检验学生能否将数学方法应用于解决实际问题。）

层次三：拓展挑战（学有余力）

4.猜数游戏：我是30以内的一個数，我的所有因数的和是32。我是谁？

（此题需要学生综合运用找因数、求和以及推理判断的能力，富有挑战性和趣味性。）

学生独立完成，教师巡视指导，然后针对共性问题进行集中讲评。

【设计意图】设计有梯度、多层次的练习，满足不同学生的学习需求。基础题巩固技能，辨析题澄清概念，综合题回归模型、联系实际，拓展题激发思维。通过练习，使新知真正融入学生的认知结构。

（五）反思总结，拓展延伸（预计时间：2分钟）

1.总结回顾：

1.2.师：今天这节课，你有哪些收获？我们是怎样探究求一个数的因数的方法的？又发现了因数的哪些奥秘？

2.3.引导学生从知识（方法、特征）、方法（有序思考、数形结合、观察归纳）、体验等方面进行梳理。

4.拓展延伸：

1.5.师：我们研究了如何找一个数的因数，那如何找一个数的倍数呢？一个数的倍数又有什么特征？下节课我们将继续探究。

2.6.布置预习任务：尝试找出2、3、5的几个倍数，观察它们的特点。

【设计意图】引导学生对整个探究学习过程进行反思与总结，促进知识的结构化和学习方法的元认知。设置与下节课内容的链接，激发学生持续探究的欲望，使学习形成连贯的整体。

七、板书设计（结构化呈现）

求一个数的因数

探究方法：

1.操作（形）：拼长方形→长×宽=总数

2.算法（数）：

1.3.乘法思路：想（）×（）=这个数

2.4.除法思路（通用）：用这个数÷1,2,3…（试到商≤除数止）→有序，不重不漏

发现规律：

1.特征一：个数有限。最小是1，最大是它本身。

2.特征二：成对出现（乘除互逆）

1.3.例：12→(1,12),(2,6),(3,4)

2.4.特例：完全平方数（如16→(1,16),(2,8),(4)）→因数个数奇数

学生作品区：（用于展示典型探究记录）

八、分层作业设计

A层（基础巩固）：

1.完成课本练习二第1、2题。

2.写出24和30的所有因数，并用“配对”的方式呈现，说说你的发现。

B层（能力提升）：

1.一个数既是18的因数，又是24的因数，这个数可能是几？（渗透公因数思想）

2.探究：1~20各数中，哪个数的因数个数最多？它有什么特点？

C层（实践拓展）：

1.数学阅读：查阅资料，了解“完美数”（如6的因数除去自身，其余因数之和等于它本身）的概念，并试着找出第二个完美数。

2.生活链接：包装设计：将36块巧克力装盒，每盒数量相等且大于1块，有几种包装方案？请画出示意图。

九、教学反思与特色说明

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