【课件】数据的离散程度 2025-2026学年+人教版八年级数学下册

24.2数据的离散程度

数据的离散程度(1)——方差

方差指各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,常用“s2”表示s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].1.求数据2,3,4的方差.解：

＝

＝3,s2＝[(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2]＝.2.求数据1,2,5,4的方差.解：

＝

＝3,s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝.

方差的意义：反映一组数据的离散程度方差越大,数据的离散程度越大；方差越小,数据的离散程度越小.当一组数据中的每个数据都相同时,方差为0.3.对甲、乙两名同学的100米短跑进行5次测试,他们的成

绩通过计算得

甲＝

乙,＝0.25,＝0.076,成绩比较稳定

的是

.(填“甲”或“乙”)4.甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是170cm,方差分别

为

＝1.45,＝0.85,则这两个合唱队的队员身高较整齐

的是

队.(填“甲”或“乙”)乙乙5.(新教材P170例1改编)甲、乙两名射击运动员在相同条

件下各射靶5次,命中的环数如下表所示.(1)分别计算两人的平均成绩.(2)求出每组数据的方差.(3)谁的射击成绩比较稳定？甲588910乙9610510解：(1)甲＝

＝8,

乙＝

＝8.(2)＝[(5－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.8,

＝[(9－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(5－8)2＋(10－8)2]＝4.4.(3)∵＜,∴甲的射击成绩比较稳定.6.(新教材P168问题改编)甲、乙两台编织机同时编织一种

毛衣,在5天中,两台编织机每天出的合格品数量如下(单位：

件)：

甲：10,8,7,7,8；

乙：9,8,7,7,9.

在这5天中,哪台编织机出合格品的离散程度较小？解：

甲＝(10＋8＋7＋7＋8)＝8,

乙＝(9＋8＋7＋7＋9)＝8,

＝[(10－8)2＋2×(8－8)2＋2×(7－8)2]＝1.2,

＝[2×(9－8)2＋(8－8)2＋2×(7－8)2]＝0.8.∴乙编织机出合格品的离散程度较小.∵甲＝

乙,＞,7.已知样本数据为1,2,3,4,5,则这5个数的平均数是

,每

个数据关于平均数的离差(或偏差)分别为

,

离差平方和是

,方差是

.3－2,－1,0,1,21028.下列四组数据中,最稳定的是()A.6,6,6,6,6

B.5,5,6,7,7C.3,4,5,6,7D.3,3,6,9,9A9.(2025·惠州期末)某学校航天社团开展航天知识竞赛活动,

经过筛选,决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同

学代表该社团参加比赛.经过统计,四名同学成绩(单位：

分)的平均数及方差如表所示.如果要选一名成绩好且状

态稳定的同学参赛,那么应该选择()A.甲B.乙C.丙D.丁D统计量甲乙丙丁平均数96969898方差1.00.40.60.210.某组数据的方差计算公式为

s2＝,对此给出下列判断：①平均数为3；②中位数为3；③众数为3；④样本容量为3；⑤这几个数关于平均数的离差平方和d2＝16.

其中正确的有

.(填序号)①②③⑤11.甲、乙两位同学在进行投篮测试,共五组测试,每组投10

次,进球个数的统计结果如下：

甲：9,9,9,6,7；乙：4,9,8,9,10；

列表进行数据分析：选手平均成绩中位数众数方差甲8b9d乙a9c4.4(1)b＝

,c＝

.(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d.(3)请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学

的成绩更好？99解：(2)乙的平均成绩：a＝

＝8,甲的方差：d＝

×[(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(6－8)2＋(7－8)2]＝1.6.(3)甲同学的成绩更好.理由如下：∵甲,乙的平均成绩都为8,但<,∴甲、乙平均成绩一样,但甲比乙稳定.∴甲同学的成绩更好.12.(新教材P174习题T1改编)某商场统计了今年1－5月A,B

两种品牌冰箱的销售情况,并将获得的数据绘制成折线

统计图,如图所示.(1)分别求该商场这段时间内A,B两种品牌冰箱月销售量

的中位数和方差；(2)根据计算结果,比较该商场1－5月这两种品牌冰箱月

销售量的稳定性.解：(1)A品牌中位数：15台；B品牌中位数：15台.A＝

＝15(台),B＝

＝15(台),

＝

×[(13－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(17－15)2]＝2,

＝

×[(10－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(20－15)2]＝10.4.(2)∵＜,∴A品牌冰箱的月销售量更稳定.

数据的离散程度(2)——方差计算与决策1.A,B两台机械生产同一种产品,在5天中两台机械每天生

产的合格品数如下表所示.

在这5天中,哪台机械的性能比较稳定？A机械/件710887B机械/件89797解：

A＝

×(7＋10＋8＋8＋7)＝8(件),

＝[2×(7－8)2＋(10－8)2＋2×(8－8)2]＝1.2,B＝

×(8＋9＋7＋9＋7)＝8(件),

＝[(8－8)2＋2×(9－8)2＋2×(7－8)2]＝0.8.∵＞,∴B机械的性能比较稳定.2.下表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的

平均数和方差.

根据表中的数据,要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参

加比赛,应选择

.乙学生甲乙丙平均数9.239.39.3方差0.230.0170.0573.甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等,且每个团游客

的平均年龄是32岁,这三个团游客年龄的方差分别是

＝

27,＝19.6,＝1.6,导游小王最喜欢带游客年龄相近的

团队.如果在三个团中选择一个,那么他应选()A.甲团

B.乙团C.丙团

D.甲团和乙团C4.(新教材P174练习T2改编)甲、乙两台机床同时生产一

种零件.在10天中,两台机床每天出次品的数量(单位：件)

如下表所示.(1)分别计算两组数据的平均数和方差.(2)哪台机床的性能比较好？甲0102203124乙2311021100解：(1)甲＝(0＋1＋0＋2＋2＋0＋3＋1＋2＋4)＝1.5.

＝[(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋…＋(4－1.5)2]＝1.65.

乙＝(2＋3＋1＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋0)＝1.1.

＝[(2－1.1)2＋(3－1.1)2＋…＋(0－1.1)2]＝0.89.∵甲>乙,且>,∴乙机床的性能较好.5.(新教材P174练习T1改编)为了从甲、乙两人中选拔一人

参加射击比赛,现对他们的射击成绩进行了测试,5次打靶

命中的环数如下：

甲：8,7,10,7,8；

乙：9,5,10,9,7.(1)将下表填写完整.选手平均数方差甲乙3.281.28(2)若你是教练,根据以上信息,你会选择谁参加射击比赛？

理由是什么？解：(2)选择甲参加射击比赛.理由如下：甲、乙两人的平均数一样,甲的方差较小,因此甲的射击成绩比较稳定,所以选择甲参加射击比赛.6.(新教材P175T3改编)为了考察甲、乙两种小麦的长势,

分别从中随机抽取10株麦苗,测得苗高(单位：cm)如下表

所示.(1)分别计算两种小麦的平均苗高.(2)哪种小麦的长势比较整齐？甲12131415101613111511乙11167141319681016解：(1)甲小麦的平均苗高是

×(12＋13＋14＋15＋10＋16＋13＋11＋15＋11)＝13(cm),乙小麦的平均苗高是

×(11＋16＋7＋14＋13＋19＋6＋8＋10＋16)＝12(cm).(2)＝

×[(12－13)2＋(13－13)2＋(14－13)2＋…＋(15－13)2＋(11－13)2]＝3.6,

＝

×[(11－12)2＋(16－12)2＋(7－12)2＋…＋(10－12)2＋(16－12)2]＝16.8.∵<,∴甲种小麦的长势比较整齐.7.(新教材P174习题T2改编)为了从甲、乙两名学生中选拔

一人参加明年三月的全市初中数学竞赛,在每个学段都

对他俩进行了一次测验,如图是两人赛前5次测验成绩的

折线统计图.(1)分别求出两名学生5次测验成绩的平均数及方差.(2)按往年习惯,只要达到85分就可获奖,要超过90分才有可

能获一等奖.如果你是他们的辅导教师,应选派哪一名学

生参加这次数学竞赛？请结合所学统计知识说明理由.解：(1)甲＝(80＋95＋75＋95＋85)＝86(分),

乙＝(85＋80＋90＋85＋90)＝86(分),

＝[(80－86)2＋(95－86)2＋(75－86)2＋(95－86)2＋(85－86)2]＝

×320＝64,

＝[(85－86)2＋(80－86)2＋(90－86)2＋(85－86)2＋(90－86)2]＝

×70＝14.(2)如果只要获奖,应该派乙.因为甲、乙两人的平均数都大于85,但乙的方差较小,成绩较稳定.如果要获得一