山西省晋中市2025-2026学年高一下学期素养测评（二）数学试卷（含答案）

山西晋中市2025-2026学年高一下学期素养测评（二）数学试题一、单选题1．复数是实数，则实数（

）A． B．-3 C． D．32．下列命题正确的是（

）A．单位向量都相等 B．若，，则C．零向量没有方向 D．若，则3．如图，在矩形中，为边上一点且，则（

）A． B． C． D．4．已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（

）A． B． C． D．5．已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．46．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（

）A． B． C． D．7．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．为纯虚数8．在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为1 B．在复平面内对应的点位于第四象限C． D．10．已知平面向量，，则下列说法错误的是（

）A．当时，或B．若向量在向量上的投影向量为，则C．当时，向量在向量上的投影向量为D．若向量和向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为11．满足，且，则（

）A．三个内角满足关系B．的周长为C．若的角平分线与交于，则的长为D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为三、填空题12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．13．在中，已知，则的形状为________．14．在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________．四、解答题15．已知为虚数单位，是的两个虚根．(1)设满足方程，求实数的值；(2)设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16．如图，在中，边上的两条中线相交于点．(1)求中线的长；(2)求的余弦值．(3)设，求实数的值．17．如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为．(1)求枫叶林面积的最大值；(2)为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）．18．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且．(1)若，求的值；(2)若，且与的夹角为，求的值；(3)若，且，求的取值范围．19．希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母．(1)若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文．(2)若．①在中，，点在边上，且，，求的面积；②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：．参考答案1．A【详解】因为复数是实数，所以，解得.2．D【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确．3．D【详解】在矩形中，由，得.4．C【详解】，，与共线，三点共线.5．B【详解】因为，，向量与向量所成的角为，所以，即，所以，当且仅当与共线方向相反时等号成立.6．C【详解】由题设，所以，由，所以.7．B【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误；又，故为实数，故A，D错误；又，则方程的根为，即，，由得，即，，故，故B正确.8．A【详解】由余弦定理可得，由点为边的中点，则，故，即，即，则，即，当且仅当时，等号成立，故，即面积的最大值为.9．AD【详解】由，得，，对于A，的虚部为1，A正确；对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；对于C，，C错误；对于D，，因此，D正确.10．BD【详解】对于A，由，得，解得，，A正确；对于B，向量在向量上的投影向量为，由题意得，即(*)，因为，，代入（*）可得，解得，，B错误；对于C，向量在向量上的投影向量为，当时，，，所以，因此向量在向量上的投影向量为，C正确；对于D，当时，，，两向量反向共线，夹角为，不是钝角，但在区间内，故D错误.11．ABD【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，对于A：由余弦定理知，，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，所以的周长为，故B正确；对于C：若的角平分线与交于，则，因为，所以，即，解得，故C错误；对于D：因为，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理知，，所以，过点作的垂线，垂足为，则，当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，此时，所以的最大值为，故D正确.12．/【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，，所以，，，即，，，所以由，所以，解得，因此.13．等腰或直角三角形【详解】由正弦定理及余弦定理可得：，即有，化简得，故或，则为等腰或直角三角形.故答案为：等腰或直角三角形.14．【详解】由和余弦定理，可得，化简得，所以，因为，所以．要使有两个，需满足，所以，解得，所以实数的取值范围是．15．(1)；(2).【详解】（1）由是方程的两个虚根，得互为共轭复数，设，则，，，由，得，即，因此，解得，所以.（2）由，得，则，，因此，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，所以，解得且，所以实数的取值范围为.16．(1)；(2)；(3).【详解】（1）由为BC的中点，得，所以.（2）依题意，，，，所以.（3）依题意，，由三点共线，得，又，则，而不共线，因此，解得，所以实数的值为.17．(1)(2)元【详解】（1）设，则，在直角中，由，则，，所以矩形的面积为：，故当，即时，矩形枫叶林面积取得最大值为.（2）因为，所以，记，由正弦定理有：，即，所以修建观景木质栈道所需的费用为：其中，，且，当时，所需的费用达到最多即元.18．(1)(2)13(3)【详解】（1）若，则，即，故；（2）若，则，即，所以；（3）以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，则，，∴；设，则，又，∴，即，∴，∴，，∴，∵P为线段AB上一点，∴，∴，即，∴的取值范围为.19．(1)；(2)①；②证明见解析.【详解】（1）“”对应的数字分别为13，5，由，33对26的余数