陕西省多校2026届高三下学期模拟预测数学试卷（含解析）

陕西西安高新一中沣东中学等校2025-2026学年高三下学期考前阶段自测数学试题一、单选题1．设集合，，则A． B． C． D．2．复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足，则的辐角为（

）A． B． C． D．3．设等比数列的公比为，前项的和为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（

）A．4 B．100 C．40000 D．100005．在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（

）A．8 B．10 C．-8 D．-106．已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．8．双曲线：与抛物线有公共焦点，是它们的公共点，设，若，则的离心率（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知数据，数据，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（

）A．均值 B．极差 C．方差 D．标准差10．已知函数，则（

）A．函数的图象关于y轴对称 B．时，函数的值域为C．函数的图象关于点中心对称 D．8为函数的周期11．如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点，过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．当直线时，C．当时，平面截棱柱所得多边形的周长为D．存在平面使得点到平面距离是A到平面距离的3倍三、填空题12．知乎从1~10的十个小球，从盒子中同时取出3个小球，这三个小球的最小编号大于4且小于7的概率为______．13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则________．14．已知函数存在零点，则的最小值为_______________.四、解答题15．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F是EB的中点；(1)求证：平面ABC；(2)若，，求平面CDF与平面ABE所成锐二面角的余弦值．16．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.17．已知椭圆的离心率为，其短轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，过点A作，垂足为D．求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标；18．首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．(1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数；(2)记，若对任意成立，求的通项公式；(3)对于给定的正整数，求的最大值．19．已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)讨论的单调性；(3)若存在极小值，且极小值等于，求证：．参考答案1．C详解：故选C.2．C【详解】由得，故，所以.故选C．3．C【详解】，，，故，因为在等比数列中，，故,故“”是“”的充要条件.故选：C．4．D【详解】设的声音和的声音强度分别为：，所以有：，，得：，所以选：D5．C【详解】解：，的展开式的通项是，令，则，则的展开式中的系数为，令，则，则的展开式中的系数为，故展开式中的系数是，故选：C.6．C【详解】点到直线的距离为，由题意得坐标原点到直线距离，，所以，解得所以k的取值范围为.故选：C.7．C【详解】解：∵向量、夹角为，且，，∴•=||•||cos120°==﹣3，∵=，且⊥，∴•=（）•=（）•（）=0，即•﹣+λ﹣•=0，∴﹣3﹣4+9+3=0，解得，故选：C8．A【详解】由抛物线方程知焦点为，，不妨设公共点在x轴上方，即在直角三角形中，,由勾股定理解得：，即所以由双曲线定义知故离心率.故选：A9．BD【详解】设数据的均值为，标准差为，极差为，则数据2：的均值为，方差为，所以选项A,C错误；数据2的标准差为，极差为，所以选项B，D正确，故选:BD.10．ABD【详解】满足，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确；时，，，，故函数的值域为，所以B正确；，，所以C错误；，8是函数的周期，所以D正确；故选：ABD．11．ACD【详解】对于A，如图，因为，设点到平面的距离为，则，因为平面，P是线段上的一个动点，所以点到平面的距离为定值，又，所以三棱锥的体积是定值，A正确对于B，延长，DC分别交直线于，两点，连接，分别交，于，，连接，，则平面截棱柱所得的多边形为，因为平面平面，则当时，，又是的中点，故是的中点，因为，则，，所以，所以，故B错误对于C，若，则，所以与点重合，则，，多边形的周长为，故C正确对于D，若存在，则，且，得，因为，所以，所以，小于的长度，存在，故D正确.12．【详解】三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6，两数二选一或5和6均有，则.故答案为：13．0【详解】因为在中，，所以，所以，所以14．【详解】函数的定义域为.设是在上的零点，可得，即，即点在直线上.可理解为点到原点的距离的平方.所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，即在上能成立，即在上能成立.令，，则，因为，，，所以，所以在上单调递增，所以当时，，即的最小值为.故答案为：.15．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取AB中点G，连FG易知：，因为EA，DC均垂直面ABC∴∵∴且∴四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系，∴，，，，，，，，设面法向量，面的法向量可以为，∴，令，则，∴．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为；16．(1)(2)分布列答案见解析，数学期望【详解】（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A.掉入2号球槽，需要向右1次向左5次,所以所以这个小球掉入2号球槽的概率为.（2）小球掉入偶数号球槽的概率为,由题意知，且的可能取值为0,1,2,3,4,5,由，，可得分布列为：012345P17．(1)(2)证明见解析，定点E为．【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为．（2）由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上，由题得，设直线，设，，，联立方程，得，所以有，，因为，所以直线BD的方程为，令，得由，，得，将代入（*），则，故直线BD过定点，即定点E为．18．(1)证明见解析(2)(3)当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为.【详解】（1）假设数列中存在、同时为非负数，因为，若，则有，与已知矛盾．若，则有，与已知矛盾．所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数．（2）因为，．因为对任意成立，所以为单调递增数列．即数列的偶数项、、、、是单调递增数列．由题意计算得出，，因为数列单调递增，所以当时，恒成立，所以时，，，即，．所以，，则，又，，所以是以，公差为的等差数列，.（3）由（1）知，当时，，根据，有，所以，当时，，根据，有，所以，所以当为奇数时，，则的最大值为；当为偶数时，，的最大值为.19．(1)(2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增.(3)证明见解析【详解】（1），当时，，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为.（2），当时，则对任意的恒成立，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，令，则或，①当时，即时，由可得或，由可得，所以函数在上单调递减，在、上单调递增；②当时，即时，对任意的，，此时在上单调递增；③当时，即时，由可得或，由可得，此时在上单调递减，在、上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增.（3）由题意可知，由（2）可