工程信号与系统（第2版）课件 第四章傅里叶变换域频域分析3

第四章傅里叶变换与频域分析4.1信号分解为正交函数Z4.1矢量的正交分解Z4.2信号的正交分解Z4.3帕斯瓦尔定理4.2周期信号的傅里叶级数Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数Z4.5周期信号波形的对称性和谐波特性Z4.6周期信号指数形式的傅里叶级数Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系4.3周期信号的频谱及特点Z4.8周期信号的频谱Z4.9单边谱和双边谱的关系Z4.10周期矩形脉冲信号的频谱和特点Z4.11周期信号的平均功率Z4.12应用案例：DC-to-AC转换器4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换Z4.13非周期信号的频谱Z4.14傅里叶正反变换定义Z4.15常用函数的傅里叶变换第四章傅里叶变换与频域分析4.5傅里叶变换的性质Z4.16线性Z4.17奇偶性Z4.18对称性Z4.19尺度变换特性Z4.20时移特性Z4.21频移特性Z4.22卷积定理Z4.23时域微积分特性Z4.24频域微积分特性Z4.25相关定理4.6能量谱和功率谱Z4.26能量谱Z4.27功率谱Z4.28*应用案例：白噪声功率谱密度的估计4.7周期信号的傅里叶变换Z4.29周期信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系第四章傅里叶变换与频域分析4.8LTI系统的频域分析Z4.31基本信号ejωt作用于LTI系统的响应Z4.32一般信号f(t)作用于LTI系统的响应Z4.33傅里叶变换分析法Z4.34傅里叶级数分析法Z4.35频率响应函数Z4.36计算机仿真求解系统响应Z4.37无失真传输Z4.38理想低通滤波器Z4.39物理可实现系统的条件Z4.40应用案例：二次抑制载波振幅调制接收系统4.9取样定理Z4.41信号的取样Z4.42时域取样定理Z4.43频域取样定理Z4.44应用案例：计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复Z4.45*应用案例：数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析*4.10模拟滤波器Z4.46模拟滤波器Z4.47巴特沃斯低通滤波器Z4.48应用案例：计算机仿真设计巴特沃斯低通滤波器Z4.49

切比雪夫滤波器Z4.50

椭圆滤波器*4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.51载波抑制双边带调制Z4.52幅度调制Z4.53

单边带调制Z4.54频分多路复用Z4.55

脉冲幅值调制Z4.56

时分多路复用Z4.57

通信中的多址技术思考问题：*模拟信号经过采样发生什么变化？*信号频谱的变化？*信号内容的变化？

*信号恢复的条件？第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理连续离散取样还原(有条件)知识点Z4.41信号的取样第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理主要内容：1.信号取样的概念2.矩形脉冲取样3.冲激取样基本要求：1.掌握信号取样的基本概念2.掌握冲激取样的原理Z4.41信号的取样1.定义：取样就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程；得到的离散信号称为取样信号。第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理取样过程可以看成由原信号f(t)和取样信号s(t)的乘积来描述。取样间隔为TS，fS=1/TS称为取样频率。取样信号取样信号频谱第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理冲激取样：s(t)是周期为Ts的冲激函数序列

Ts(t)。取样自然取样(矩形取样)理想取样(冲激取样)矩形脉冲取样：s(t)是周期为Ts的矩形脉冲信号(或称为开关函数)

。设f(t)是带限信号[即f(t)的频谱只在区间(-

m,

m)为有限值，其余区间为0。2.矩形脉冲取样

第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理=ωsωm*3.冲激取样

第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理ωsωm*=第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理冲激取样

矩形脉冲取样

说明：画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS

≥2ωm，这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j

)中取出F(j

)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。知识点Z4.42时域取样定理第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理主要内容：1.时域取样定理2.奈奎斯特频率基本要求：1.掌握时域取样定理的基本概念2.掌握奈奎斯特频率的概念及计算方法取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁，为其互为转换提供了理论依据。第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理当ωS

≥2ωm

时，将冲激取样信号通过低通滤波器：其截止角频率ωC取ωm

<ωC

<ωS

-ωm

，即可恢复原信号。为方便，取ωC

=0.5ωS。由于只要已知各取样值f(nTs)，就可唯一确定出原信号f(t)。Z4.42时域取样定理第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理ωsωm*时域取样定理：一个频谱在区间(-

m,

m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts[Ts<1/(2fm)]上的样值点f(nTs)确定。

第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理说明：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号；（2）取样频率不能太低，必须fs>2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts≤1/(2fm)，否则将发生混叠。通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特频率(NyquistSamplingRate)，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔(NyquistSpace)。第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理例：有限频带信号f1(t)的最高频率为ωm1(fm1)，f2(t)的最高频率为ωm2(fm2)，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率ωs(fs)与奈奎斯特间隔Ts。解：关键在于求出上述信号的最高频率ωm(

fm)。第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理信号表达式频谱最高角频率奈奎斯特角频率知识点Z4.43频域取样定理主要内容：频域取样定理基本要求：了解频域取样定理的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理Z4.43频域取样定理根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。一个在时域区间(-tm,tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j

)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs[fs<1/(2tm)]上的样值点F(jn

s)确定。知识点Z4.44计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复主要内容：计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复基本要求：了解Sa信号的采样和恢复的仿真方法第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理Z4.44计算机仿真实现Sa信号的采样和恢复第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理例：信号Sa(t)作为被采样信号，信号带宽B=1,采样频率ωs=2B，此频率下的采样为Nyquist采样，对采样及恢复过程进行仿真。解：B=1;%信号带宽wc=B;%滤波器截止频率Ts=pi/B;%采样间隔ws=2*pi/Ts

%采样角频率N=100;

%滤波器时域采样点数n=-N:N;nTs=n.*Ts;

%采样数据的采样时间fs=sinc(nTs/pi);

%函数的采样点Dt=0.005;

%恢复信号的采样间隔t=-15:Dt:15;%恢复信号的范围fa=fs*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重构error=abs(fa-sinc(t/pi));%求重构信号与原信号的归一化误差第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理从误差图可知，用采样信号恢复的信号与原始信号的误差是极小的，误差来自于计算过程的数值计算误差。表明:对一个信号进行Nyquist采样后，能够无误差地从采样信号中恢复出原信号。知识点Z4.45应用案例：CD数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理主要内容：CD数字录音系统基本要求：了解CD数字录音系统的基本原理Z4.45应用案例：CD数字录音系统第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理(1)麦克风采集声音信号，并输出模拟电信号，即麦克风实现声电转换的功能;(2)模拟低通滤波器对来自麦克风的模拟信号进行滤波，从而滤除高频噪声;(3)为了便于后续的数字处理，需要对模拟信号进行采样保持;(4)将模拟信号进行采样以后得到的信号一般称为离散信号。离散信号需要进行模数转换(AnalogDigitalConvert,ADC)称为数字信号，这个过程可以称为量化；(5)将数字信号编码、调制、同步处理后刻入CD。CD数字录音系统:关键问题:如何选择采样率？CD系统的设计目标是期望能够记录下人类听觉系统所能听到的所有声音，其频率范围是20Hz～20KHz；由时域采样定理知道，采样频率起码要达到原始信号的2倍。这就是图中采样率是44.1KHz的原因，采用44.1KHz而不是40KHz是为了留有一定余量。当然，采样频率越大越有利于完美再现原始信号，但过高的采样率将导致数据量过大。第四章傅里叶变换与频域分析4.9取样定理知识点Z4.46模拟滤波器主要内容：模拟滤波器基本要求：了解模拟滤波器的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器Z4.46模拟滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器模拟滤波器是由模拟元器件组成，可以分为无源和有源滤波器，无源滤波器由无源元件R、L和C组成；有源滤波器由集成运放和R、C组成。模拟滤波器用于连续时间系统，也可以用在离散时间系统中。滤波器是一种能使有用信号顺利通过，而同时对无用频率信号进行抑制（或衰减的）的电子装置，工程上用来做信号处理、数据传送和抑制干扰等。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器根据其通带的特性可分为：（1）低通滤波器；（2）高通滤波器；（3）带通滤波器；（4）带阻滤波器。在这四类滤波器中，低通滤波器最为常见和容易获得。设计滤波器时，往往先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成其他滤波器。模拟低通滤波器以巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器最为常用。模拟滤波器主要考虑幅频特性的逼近。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器ωp

通带截止频率αp

通带最大衰减系数ωs止带截止频率αs止带最小衰减系数模拟低通滤波器的设计指标一般而言，在低通滤波特性中，随着频率升高，通带的增益逐渐减少，阻带的衰减逐渐增大。当频率为ωp时对应的增益为αP，当频率为ωs时对应的增益为αs。ωc为3dB截止频率第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器在描述滤波器的幅频特性的时候，通常采用传输函数的幅度平方函数

，也称模方函数。将ω=0的幅值归一化为1，则：知识点Z4.47巴特沃斯滤波器主要内容：巴特沃斯滤波器基本要求：了解巴特沃斯滤波器的基本概念及特点第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器Z4.47巴特沃斯滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器巴特沃斯(Butterworth)滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器的模方函数为：N为整数，是滤波器的阶数，ωc为3dB截止频率。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器该滤波器在通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器(1)幅频特性在通带与阻带范围内，随着频率的增加而

单调下降，不存在有限零点。对所有的阶数

N,(2)模方函数连续可导，ω→0或∞时，其高达2N-1阶导数都是0，说明ω→0或∞附近，以及通带和阻带内，模方函数是平坦的，被称为“最平坦”滤波器。(3)当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，通带内更接近1，阻带内更迅速地接近0，振幅特性更接近理想的矩形频率特性。(4)不管滤波器阶数N是多少，幅频特性均过点知识点Z4.48计算机仿真设计巴特沃斯低通滤波器主要内容：计算机仿真设计巴特沃斯滤波器基本要求：了解巴特沃斯滤波器的仿真设计方法第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器例：

仿真设计一个5阶的巴特沃斯低通滤波器，其归一化的3dB截止频率为0.6，显示幅频特性。d=fdesign.lowpass(‘N,F3dB’,5,0.6);%调用函数，设置参数

design(d,'butter');解：幅频特性Z4.48计算机仿真设计巴特沃斯滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器冲激响应阶跃响应与理想低通滤波器相比，其系统是物理可实现的。知识点Z4.49切比雪夫滤波器主要内容：切比雪夫滤波器基本要求：了解契比雪夫滤波器的基本概念及特点第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器Z4.49切比雪夫滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，单调性导致通带的指标留有相当大的余量。更为有效设计方法应该在一定程度上放宽对单调性的要求，将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样以来，就可用较低阶数的系统满足设计需求。常用的解决方案是采用选择具有等波纹特性的逼近函数，即切比雪夫（Chebyshev）滤波器。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器，来自切比雪夫多项式，为了纪念俄罗斯数学家巴夫尼提-列波维其切比雪夫。它是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器，故可以分为如下两种。I型切比雪夫滤波器在通带上频率响应幅度等波纹波动II型切比雪夫滤波器在阻带上频率响应幅度等波纹波动第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，则采用第二类。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但是幅频特性不如它平坦。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器I型切比雪夫滤波器模方函数为：

：表示通带波纹大小；CN(x)：切比雪夫多项式，ωC：截止角频率；N：滤波器阶数；ωC第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器特点：(2)时，所有特性曲线均通过注意：常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!(1)若N为奇数，若N为偶数，(3)在通带，在1和之间等幅波动；(4)在通带之外，迅速衰减到0，下降速度为20NdB/倍程，比巴特沃斯滤波器衰减速度快。ωC知识点Z4.40椭圆滤波器主要内容：椭圆滤波器基本要求：了解椭圆滤波器的基本概念及特点第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器Z4.50椭圆滤波器第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器椭圆滤波器(Ellipticfilter)又称考尔滤波器(Cauerfilter)，在通带和阻带内幅频响应等波纹的一种滤波器。椭圆滤波器模方函数为：

：表示通带波纹大小；RN(x)：是n

阶雅可比椭圆函数ωC：截止角频率；N：滤波器阶数；第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器相同参数情况下常见滤波器比较说明：阶数相同时：椭圆滤波器能获得更窄的过渡带宽和较小的阻带波动,就这点而言,椭圆滤波器是最优的。它陡峭的过渡带特性是用通带和阻带的起伏为代价来换取的，在通带和阻带的波动相同。第四章傅里叶变换与频域分析4.10模拟滤波器特点总结：1、椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器，它在有限频率范围内存在传输零点和极点。2、椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此通带，阻带逼近特性良好。3、对于同样的性能要求，它比前两种滤波器所需用的阶数都低，而且它的过渡带比较窄。但是椭圆滤波器传输函数是一种较复杂的逼近函数，利用传统的设计方法进行电路网络综合要进行繁琐的计算，还要根据计算结果进行查表，整个设计十分困难和繁琐。知识点Z4.51载波抑制双边带调制(DSB-SC-AM)主要内容：载波抑制双边带调制(DSB-SC-AM)基本要求：了解DSB-SC-AM的基本原理第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.51载波抑制双边带调制(DSB-SC-AM)(Double-sideband,suppressed-carrier,amplitudemodulation)第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用载波抑制双边带调制已调信号频谱调制信号频谱第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用解调方法：乘积解调(同步解调，相干解调)

说明：DSB-SC解调需要接收端产生一个与发射端频率和相位完全相同的载波，这一方面增加了接收机的成本，另一方面，接收端和发射端载波相位不同步会造成输出端增益无规律变化，而频率不同步会造成差拍效应，这些失真很难解决的。知识点Z4.52幅度调制(AM)主要内容：幅度调制基本要求：了解幅度调制的基本原理第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.52幅度调制(AM)双边带携载波幅度调制(Double-sideband,with-carrier,amplitudemodulation,DSB-WC-AM)，一般幅度调制(Amplitudemodulation,AM)就指这种技术。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用下边带：低于载波频率。上边带：高于载波频率。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用解调方法：包络检波说明：AM解调接收端不需要载波，其包络检波器要比同步检波器简单和廉价的多，有效降低了接收机的成本，但付出的代价是发射端要使用功率大价格高的发射机，载频和边带一起发送，边频功率只占总功率的不到1/3，功率浪费大，效率低。不过，接收是合算的，因为很多接收机只需要一个发射机，因而AM调制被广泛应用于无线电通信及商用无线电AM广播中。知识点Z4.53单边带调制(SSB)主要内容：单边带调制基本要求：了解单边带调制的基本原理第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.53单边带调制(SSB)载波抑制双边带调制DSB-SC已调信号的频谱，上边带(USB)和下边带(LSB)都包含有基带频谱的全部信息。显然，发送两个边带是多余的，仅仅发送一个边带的方案称为单边带调制(Single-sideband,SSB)，只需要DSB信号一半的带宽。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用单边带信号的产生方法包括：带通滤波；哈特利调制；韦弗调制。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用解调方法：同步解调说明：SSB调制要完全滤除信号不需要的上边带或下边带频谱，工程难以实现。对于语音信号，滤除300Hz以下和3500Hz以上的语音分量不会显著影响可理解度，滤除多余边带相对容易。但对于视频信号，其低频有较大功率，SSB调制会产生很大失真，因此常采用折中技术：残留边带

(Vestigial-sideband,VSB)。知识点Z4.54频分多路复用(FDM)主要内容：频分多路复用

基本要求：了解频分多路复用的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.54频分多路复用(FDM)频分复用(Frequence-DivisionMultiplexing,FDM)允许在一个信道上传输多路信号。为了防止已调信号频谱重叠，每路信号使用不同频率的载波调制，各载波频率必须保持足够的频率间隔，这些载波称为副载波。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用商业AM广播（中波广播）就是一个典型的频分多路复用的例子。中波的步进在各国家和地区都不同，我国是步进9KHz（即每个台间隔9KHz），范围是531KHz-1602KHz，如中央人民广播电台540KHz，西安新闻台810KHz，陕西交通广播电台1323KHz等。第四章傅里叶变换与频域分析4.11傅里叶变换在通信系统中的应用说明：FDM各路信号可以采用不同的调制解调方式，比如DSB-SC,AM,SSB,VSB,或者其他调制类型如频率调制(FrequenceModulation,FM)，相位调制(PhaseModulation,PM)等。知识点Z4.55脉冲幅值调制(PAM)主要内容：脉冲幅度调制

基本要求：了解脉冲幅度调制的基本概念第四章傅里叶变换与频域分析4.1