2026年高考数学终极冲刺：清单02 高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第三部分（原卷版）

4/20清单02高考数学考前重点题型归纳（含28个专题，813个重点题型）题型01集合5个重点题型 题型02常用逻辑用语13个重点题型题型03复数15个重点题型 题型04平面向量26个重点题型题型05等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06三角函数与诱导公式11个重点题型题型07三角恒等变换24个重点题型题型08三角函数的图象及性质40个重点题型题型09解三角形小题35个重点题型 题型10解三角形大题36个重点题型题型11函数的概念及其表示10个重点题型题型12函数的基本性质45个重点题型 题型13指数对数幂函数40个重点题型题型14函数的图象6个重点题型 题型15函数与方程与函数模型22个重点题型题型16导数小题36个重点题型题型17导数大题40个重点题型 题型18数列小题40个重点题型题型19数列大题25个重点题型 题型20立体几何小题35个重点题型题型21立体几何大题35个重点题型 题型22直线与圆32个重点题型题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型题型25排列组合27个重点题型 题型26二项式定理17个重点题型题型27概率统计小题52个重点题型 题型28概率统计大题35个重点题型第三部分题型18数列小题40个重点题型题号核心题型题型解决关键点1等差数列基本量计算利用等差数列通项公式，由已知两项求出公差，再求指定项。2等差数列性质与前n项和利用等差中项性质及前n项和公式列方程，求项数。3等差中项与前n项和由等差中项求出首项与公差关系，代入前n项和公式求值。4由前n项和求通项利用an=Sn-S(n-1)求通项，再求特定项的和。5等差数列片段和性质利用等差数列前n项和片段成等差数列的性质，列方程求值。6等差数列前n项和性质由等差数列性质得S4,S8,S12成等差，结合条件求比值。7数列递推与分类讨论根据递推公式及奇偶性分类倒推，求可能取值，判断不可能的值。8等差数列与基本不等式求最值利用等差中项求出首项，再结合基本不等式求积的最大值。9等比数列基本量计算利用等比中项求公比，再求前n项和。10构造等比数列与数列单调性由递推式构造等比数列求通项，再根据递增性列不等式，分奇偶讨论求参数范围。11构造等差数列与项数范围由递推式构造等差数列求通项，根据小于0的项数列不等式组求参数范围。12等差数列前n项和性质与定值设首项公差，由条件得定值关系，通过系数比对求参数。13等比数列前n项和公式与奇偶项比由前n项和求通项，再求奇数项和与偶数项和的比值。14等比数列与等差数列综合利用等差中项和等比中项分别求出公差和公比，再求三角函数值。15构造等差数列求通项与求和由递推式构造等差数列求通项，再求特定项和，解方程求项数。16等比数列项的性质与不等式利用等比数列通项公式，结合基本不等式和性质判断各选项。17等差数列与等比中项求前n项和设公差，利用等比中项列方程求公差，再求前n项和。18数列的单调性与最值构造函数，利用导数研究函数单调性，分奇偶讨论数列的最大项和最小项。19递推数列的极限与参数范围由递推关系及恒成立条件，利用数列单调有界性求极限，解参数范围。20等比数列前n项和与方程由前n项和关系列方程，利用换元法解出公比，再求项数。21等差数列与三角函数周期利用等差数列通项公式及三角恒等变换，结合三角函数周期性求和。22数列递推与几何应用由纸张裁剪规则建立递推关系，求通项公式，再求周长之和。23由前n项和求通项与递推利用an与Sn关系求通项，再由递推求另一数列通项，最后求和。24等比数列公比范围与比较大小构造函数，利用零点存在性确定公比范围，再比较各项大小。25递增数列与递推关系判断利用反证法验证不可能的关系式，通过举反例验证可能的关系。26由前n项和求通项与性质（多选题）利用an与Sn关系求通项，判断等比数列及前n项和公式。27递推数列与等比数列（多选题）由递推式构造等比数列，判断单调性及连续三项成等差数列的可能性。28等比数列基本量及性质（多选题）利用等比数列性质求首项公比，再判断数列性质。29由前n项和求通项及最值（多选题）利用an与Sn关系求通项，判断等差数列及单调性，求前n项和的最小值。30由前n项和求通项与性质（多选题）利用an与Sn关系求通项，判断等差数列、单调性，及等比中项存在性，求周期和。31等比数列前n项和性质（多选题）利用等比数列前n项和性质及通项公式，判断各选项的正确性。32等比数列基本量及前n项和（多选题）由条件列方程求公比，再求前n项和及比值。33数列新定义与递推（多选题）根据大衍数列的递推规则，求出各项，判断奇偶项关系及前n项和。34分段递推数列的性质（多选题）根据奇偶项递推公式，分析单调性、最值、前n项和及项数范围。35递推数列与特殊数列（多选题）通过取特殊值验证周期数列、恒成立、等差数列、等比数列的存在性。36等比数列前n项和公式求比值由前n项和关系求公比，再求特定前n项和之比。37分段数列（等比+等差）求项与和分别利用等比数列和等差数列通项公式求公比、公差，再求指定项及总和。38三角形数阵求和观察各行数字规律，先求每行和，再求和。39等比数列与二次方程求最值由韦达定理得首项与公比关系，利用等比数列前n项和公式转化为二次函数求最小值。40构造等差数列求通项与不等式对递推式取倒数构造等差数列，求通项，再通过放缩法求满足不等式的最小项数。1．（2026·广东梅州·一模）已知为等差数列，，，则（

）A．36 B．24 C．18 D．122．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（

）A．13 B．14 C．15 D．163．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（

）A．6 B．9 C．12 D．154．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（

）A．65 B．105 C．210 D．2305．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．19 C．20 D．216．（2026·山东青岛·一模）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．7．（2026·陕西宝鸡·一模）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（

）A．16 B．19 C．20 D．218．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（

）A． B． C． D．9．（2026·广东广州·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（

）A．4 B．6.5 C．8 D．1210．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知命题：“记等差数列的前项和为，若，则为定值”为真命题，则可推出（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．14．（25-26高三下·福建·开学考试）已知等比数列与等差数列，满足，，则（

）A． B． C． D．15．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．1116．（2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则17．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（

）A．16 B．8 C．4 D．218．（25-26高三上·广东·期末）已知数列满足，则关于说法正确的是（

）A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项19．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．1221．（2026·江西·一模）已知等差数列的公差为.若，则（

）A． B．16 C． D．822．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（

）（单位：米）A． B．C． D．23．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．24．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知，，，成等比数列，且，，则（

）A． B． C． D．25．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（

）A． B． C． D．二、多选题26．（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．27．（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（

）A．是等比数列 B．C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列28．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列29．（2026·福建莆田·二模）记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（

）A．为等差数列 B．为单调递增数列C． D．的最小值为30．（2026·福建龙岩·一模）已知数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等差数列B．数列不是单调数列C．数列中存在不同的两项，使是这两项的等比中项D．记数列，则数列的前2026项的和为405231．（25-26高三下·安徽·月考）已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，，则32．（2026·河北保定·一模）已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．33．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（

）A． B．C． D．数列的前20项和为11034．（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（

）A．数列为递增数列 B．的最小值为32C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为8635．（2026·广东广州·模拟预测）数列满足，且，记的前项和为，则（

）A．存在，使为周期数列B．存在，使恒成立C．存在，使为等差数列D．存在，使为等比数列三、填空题36．（2026·河南许昌·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.37．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______．38．（2026·甘肃·一模）如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________39．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________．40．（2026·山西朔州·一模）已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________.题型19数列大题25个重点题型题号核心题型题型解决关键点1等差数列基本量运算与不等式利用等差中项、等比中项列方程求首项和公差，再根据前n项和公式解不等式求最小项数。2等差数列基本量与前n项积最值由已知条件列方程求首项和公差，写出前n项积的表达式，利用指数函数单调性转化为二次函数求最值。3递推数列的周期性通过赋值法求出数列的周期，再根据周期求和；利用特殊值法求参数满足的条件。4等差数列与裂项相消求和利用等差中项、等比中项列方程求公差和首项，再写出通项，用裂项相消法求和。5由Sn与an关系求通项与错位相减求和利用an=Sn-S(n-1)消去Sn，构造等差数列求通项；再用错位相减法求等比数列与等差数列乘积的前n项和。6由Sn与an关系求通项与裂项相消求和先构造等差数列求Sn，再通过an=Sn-S(n-1)求通项，最后用裂项相消法求和。7等差中项与正余弦定理求角及边范围利用等差中项和正弦定理得边角关系，再用余弦定理求角；结合外接圆半径和正弦定理求边长范围。8由Sn与an关系求通项与裂项相消求和由递推式构造等差数列求Sn，再写出通项，用裂项相消法求和并证明不等式。9等差数列基本量与裂项相消求和列方程求公差和首项，写出通项；用裂项相消法求和，再通过放缩法证明不等式。10构造等比数列求通项与分组求和通过配凑法构造等比数列求通项，再分组求和，利用数列单调性解不等式求最大项数。11等比数列基本量与错位相减求和由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用错位相减法求数列的前n项和。12构造等差数列与裂项相消求和通过赋值法构造等差数列求通项，再用裂项相消法求和。13等差数列与等比数列的判定利用等差数列定义求通项，再通过递推关系证明等比数列。14等比数列前n项和与等差数列判定利用等比数列通项公式求基本量，再通过前n项和公式证明等差中项关系。15等比数列与作差法求通项及裂项相消求和由等比数列通项公式求通项，再用作差法求另一数列的通项，最后用裂项相消法求和。16构造等比数列求通项与裂项相消求和通过配凑法构造等比数列求通项，再写出裂项形式，用裂项相消法求和。17等比中项与等比数列求和利用等比中项列方程求公差，写出通项；再证明新数列为等比数列，用等比数列求和公式求和。18构造等差数列与分组求和及数列最大项通过取倒数构造等差数列求通项；按奇偶分组求和；构造函数研究数列单调性求最大项。19构造等比数列与错位相减求和及放缩法证明通过配凑法构造等比数列求通项；再用错位相减法求和；最后通过放缩和裂项相消证明不等式。20分段数列求和与构造等差数列求通项分n=1和n≥2两种情况求通项；由前n项和关系构造等差数列求通项；再通过裂项相消法求和。21由Sn与an关系求通项与分组求和利用an=Sn-S(n-1)求通项；通过递推式作商求等比数列通项；再按大小顺序分组求和。22等比数列基本量与裂项相消求和由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用裂项相消法求和。23构造等比数列与累加法求通项及裂项相消求和通过配凑法构造等比数列，再累加法求通项；用裂项相消法求和并证明不等式。24由Sn与an关系求通项与裂项相消求和及反证法利用an=Sn-S(n-1)求通项；用裂项相消法求和；通过反证法证明不等式，用累加法放缩证明另一不等式。25由Sn与an关系求通项与等差数列求和及二项式定理利用an=Sn-S(n-1)构造等比数列求通项；通过分组求和和裂项相消求和；利用二项式定理放缩证明不等式。1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求使成立的n的最小值.2．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的前项和；(2)记，数列的前项积为，求的最小值.3．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，.(1)当时，求的前50项和；(2)若，求正整数的最小值.4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列前项和为；5．（2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．6．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.(1)求(2)若，求数列的前n项和.7．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．(1)求；(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．8．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且．(1)证明：为等差数列，并求．(2)若，数列的前项和，求证：．9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)证明：．10．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足．(1)证明：数列为等比数列；(2)若数列的前项和小于120，求的最大值．11．（2026·江西南昌·一模）已知等比数列的公比为整数，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和．13．（2026·江苏·一模）已知数列．(1)若是等差数列，求的通项公式；(2)设，证明：数列是等比数列.14．（2026·四川内江·二模）已知是等比数列的前项和．(1)若，求；(2)若成等差数列，证明：成等差数列．15．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.16．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足．(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式：(2)设为数列的前项和，求．17．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，求．18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，．(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求；(3)数列满足：，求的最大项．19．（2026·天津·一模）已知数列满足．(1)证明：求的值，并证明数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和；(3)设，求证：．20．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足.(1)求的前n项和；(2)记数列的前n项和为，若．（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（ii）求数列的前n项和．21．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前n项和，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．22．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．23．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)记，数列的前项和为，证明：.24．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列的前n项和为．(1)若，求；(2)若，且，证明：(3)若，证明：．25．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前n项和为，对任意，，(1)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式.(2)设数列，其中，设.（ⅰ）求的值；（ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数）题型20立体几何小题35个重点题型题号核心题型题型解决关键点1空间线面位置关系判断利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理，结合空间想象或反例排除，逐项判断。2线面平行的判定通过建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或利用面面平行的性质证明。3圆锥的侧面积计算由轴截面为等腰直角三角形求出底面半径和母线长，代入圆锥侧面积公式求解。4球体与圆锥的表面积、体积之比分别写出球体和圆锥的表面积、体积公式，代入已知比例关系，化简求比值。5正三棱柱中的线面垂直与线段长度取棱中点构造线面垂直，利用勾股定理和相似三角形求线段长度。6正四棱台的体积与二面角作出侧面与底面所成二面角的平面角，利用正四棱台的性质求高，再代入棱台体积公式。7正四棱台的侧面积计算利用棱台体积公式求高，再求斜高，最后代入侧面积公式。8三棱锥的外接球表面积利用侧棱相等确定顶点在底面的射影为外心，求出底面外接圆半径和高，再求外接球半径。9圆锥外接球体积的最值由外接球半径和圆锥底面半径、高的几何关系建立函数，利用导数求体积最大值。10正三棱柱外接球球心到平面的距离建立空间直角坐标系，求出球心坐标和平面的法向量，利用点到平面距离公式求解。11圆台内切球与体积比由圆台内切球性质得母线长与上下底面半径的关系，利用勾股定理求半径，再求体积比。12组合体（棱柱+棱锥）的外接球半径由体积比求出棱锥与棱柱的高相等，利用对称性确定球心位置，列方程求半径。13直三棱柱体积的取值范围利用面面垂直得线面垂直，设未知量表示体积，转化为三角函数或二次函数求值域。14几何体的外接球表面积建立空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程求解。15三棱锥体积最大时的高底面三角形面积最大时为等边三角形，利用基本不等式求体积最大值，再求球心到截面距离。16空间距离和的最小值（胡不归模型）将目标式转化为点到平面的距离，通过旋转平面构造折线段，利用垂线段最短求最小值。17正三棱柱中的线面位置关系（多选题）建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行、垂直及面面垂直。18平行六面体中的线面位置与距离（多选题）利用向量数量积求夹角，通过线面垂直判定定理证线面平行，利用等体积法求点到平面距离。19正方形垂直平面中的动态问题（多选题）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角、线面平行及距离最值。20四棱锥中的动点问题（多选题）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面平行、线线垂直及截面问题。21正三棱锥中的向量运算与三点共线（多选题）利用空间向量基底表示，通过向量运算判断垂直、共线及数量积。22正方体中的轨迹与最值问题（多选题）通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。23正四面体中的线面位置与异面直线角（多选题）利用线面垂直判定定理证线线垂直，利用等体积法求体积比，利用余弦定理求异面直线所成角。24正方体中的动点问题（多选题）利用线面平行得体积定值，利用坐标法求线线垂直及点到直线距离的最小值。25翻折问题中的最值与位置关系（多选题）利用几何法分析体积最值，利用勾股定理和余弦定理求外接球半径，利用线面垂直证线线垂直。26正方体中的面面平行与轨迹问题（多选题）通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。27四面体的外接球与内切球及截面面积（多选题）由垂直关系确定外接球球心，利用等体积法求内切球半径，利用异面直线距离求截面面积最值。28圆锥内小球运动问题（多选题）利用圆锥轴截面几何关系，结合圆台侧面积公式和球的切线性质求解。29正三棱柱内切球与外接球体积比利用正三角形内切圆半径求内切球半径，利用正三角形外接圆半径和高求外接球半径。30直三棱柱中两平面交线距离将三棱柱补成四棱柱，确定两平面的交线，利用等面积法求点到直线的距离。31长方体各面中心构成的八面体利用对称性确定八面体由两个全等的四棱锥组成，分别求侧面积和体积。32三棱锥的外接球表面积由线线垂直关系将三棱锥补形为长方体，长方体外接球直径等于体对角线长。33翻折问题中体积最大时的外接球表面积体积最大时平面垂直，取棱中点确定外接球球心，利用直角三角形斜边中线性质求半径。34圆台体积最大时的外接球表面积利用圆台体积公式建立函数，求导得体积最大时的尺寸，再分类讨论外接球球心位置求半径。35正三棱柱外接球上动点的轨迹长度建立空间直角坐标系，将向量数量积条件转化为球面方程，求两球面交线圆的周长。一、单选题1．（2026·黑龙江吉林·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（

）A． B．C． D．3．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（

）A． B． C． D．5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（

）A． B． C． D．6．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（

）A． B． C． D．7．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．8．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．9．（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（

）A．32 B． C．64 D．10．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（

）A． B． C． D．11．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（

）A． B． C．2 D．12．（2026·山东菏泽·一模）图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．513．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．15．（2026·山东烟台·一模）已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．16．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题17．（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（

）A．平面 B．平面平面C． D．平面18．（2026·福建福州·模拟预测）在平行六面体中，，，则（

）A． B．平面C．直线与直线所成角为60° D．点到平面的距离为19．（2026·广东汕头·一模）正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（

）A．直线与所成的角为B．平面C．当时，的长最小，且最小值为D．当的长最小时，点到平面的距离为20．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（

）A．当时，存在，使得平面B．当时，存在，使得C．当，且与相交时，D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（

）A． B．C．与是共线向量 D．22．（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（

）A．点的轨迹经过线段的中点B．点的轨迹长度为C．三棱锥的体积为定值D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为23．（2026·广东广州·二模）如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（

）A．B．平面C．D．直线与直线所成角的余弦值为24．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．正方体的外接球球心到平面的距离为C．存在点，使得D．点到直线的距离的最小值为25．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（

）A．四棱锥体积的最大值为B．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为C．在翻折的过程中，与始终不垂直D．若，则26．（2026·河北保定·一模）如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（

）A．平面截该正方体所得截面的面积为B．点Q的轨迹长度为C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．三棱锥的体积的最大值为227．（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（

）A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时，C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为28．（2026·陕西榆林·模拟预测）一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（

）A．该圆锥的侧面积为B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为三、填空题29．（25-26高二上·四川成都·月考）在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比_____.30．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________．31．（2026·北京延庆·一模）长方体的底面是一个正方形，其边长为4，长方体的高为，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长方体的体积之比为______．32．（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______33．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________．34．（2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________．35．（2026·贵州安顺·一模）已知点M为正三棱柱的外接球上的动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______．题型21立体几何大题35个重点题型题号核心题型题型解决关键点1线面角计算与空间向量法利用面面垂直性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线方向向量与平面法向量夹角，得线面角正弦值。2线面垂直判定与线面角计算利用勾股定理证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值。3面面平行证线面平行与线面角计算通过构造面面平行证明线面平行，建立空间直角坐标系，求直线方向向量与平面法向量的夹角，得线面角正弦值。4面面垂直判定与线面角计算利用等腰三角形三线合一证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求线面角正弦值。5翻折问题中的面面垂直与线面角翻折前后垂直关系不变，利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立空间直角坐标系，由二面角确定坐标，求线面角正弦值。6四点共面证明与面面角计算建立空间直角坐标系，通过向量共面证明四点共面；分别求两平面法向量，用向量夹角公式求面面角的余弦值。7线面平行证明与面面角正弦值取棱中点构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，由向量夹角余弦求面面角的正弦值。8线面角计算与垂直存在性探究建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；假设存在点满足垂直条件，列方程求解，判断解的存在性。9线面平行证明与点到平面距离利用中位线证线面平行；建立空间直角坐标系，由面面角余弦值求参数，再用法向量求点到平面的距离。10面面垂直判定与线面角及体积定值由面面垂直得线面垂直，证线线垂直；建立坐标系求线面角正弦值；利用外接球球心性质证体积为定值。11面面垂直判定与线面角余弦值利用等腰梯形性质和面面垂直证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系，由线面角正弦值求参数，再求线面角余弦值。12线线垂直证明与点关于平面对称利用菱形性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由线面角求点坐标，求对称点坐标，再用向量法求点到平面距离。13线线垂直证明与线面角正弦值利用等腰三角形三线合一证线线垂直；建立空间直角坐标系，由投影条件确定点坐标，再求线面角正弦值。14线面垂直判定与面面角及存在性问题由勾股定理和面面垂直证线面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数表示点坐标，由线面角正弦值列方程求解。15面面垂直判定与线面角正弦值利用中点性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由点到平面距离求参数，再求线面角正弦值。16面面垂直判定与线面角范围利用线面垂直判定定理证面面垂直；通过几何法或向量法将线面角表示为函数，求取值范围。17面面平行证明与面面角存在性由线线平行证面面平行，进而证线线平行；建立坐标系，设参数表示点坐标，由面面角余弦值列方程求解。18面面垂直判定与面面角余弦值利用中位线证线线平行，结合线面垂直证面面垂直；建立坐标系，求两平面法向量，由向量夹角求面面角余弦值。19面面角正切值与线面角范围及外接球建立空间直角坐标系，求两平面法向量得面面角正切值；将线面角正弦值表示为函数求值域；利用对称性求外接球半径。20二面角余弦值与面面垂直求参数建立空间直角坐标系，求两平面法向量得二面角余弦值；由面面垂直得法向量数量积为零，列方程求参数。21线面平行证明与面面角余弦值构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，用向量夹角公式求面面角余弦值。22面面垂直判定与面面角及存在性问题利用菱形性质证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数表示点坐标，由线面垂直列方程求参数。23线线垂直证明与面面角及截面问题利用等腰三角形三线合一和面面垂直证线线垂直；建立坐标系求面面角余弦值；利用共面条件列方程求参数。24线面平行证明与异面直线距离及面面角范围建立空间直角坐标系，由线面角求高；利用公垂线向量求异面直线距离；由四点共面得参数关系，将面面角表示为函数求值域。25空间向量线性表示与线面角及体积最值利用空间向量线性运算表示向量；通过几何法求线面角；建立坐标系，由四点共面求参数，用基本不等式求体积最值，再求面面角余弦值。26面面交线夹角与线面角最值及截面体积利用中位线求两直线夹角；建立坐标系，将线面角正弦值表示为函数，用换元法求最值；利用截面性质求体积范围。27面面垂直判定与外接球体积及线面角利用勾股定理和余弦定理证线线垂直，进而证面面垂直；由外接球性质列方程求半径；建立坐标系求线面角正弦值。28面面垂直判定与面面角及体积最值利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；将线面角正弦值表示为函数，由基本不等式求最值，再求体积。29线面平行证明与面面角及定值存在性利用中位线证线面平行；建立坐标系，由面面角余弦值求参数；通过向量法判断是否存在点使距离为定值。30线线垂直证明与二面角大小利用面面垂直性质证线面垂直，进而证线线垂直；由体积求高，建立坐标系或几何法求二面角。31四点共面证明与点到平面距离及线面角利用线线平行证四点共面；由球心性质建系求点到平面距离；由球面距离最小确定点位置，再求线面角正弦值。32线面平行证明与点到平面距离及二面角正弦值构造平行四边形证线面平行；建立坐标系，由距离相等求参数，再求二面角正弦值。33线面垂直判定与面面角存在性利用勾股定理证线线垂直，进而证线面垂直；建立坐标系，设参数表示点坐标，由面面角余弦值列方程求参数。34线线垂直证明与线面角及体积最值利用全等三角形证线线垂直；通过几何法求线面角；将体积表示为函数，利用换元法和导数求体积最大时的参数值。35线线垂直证明与线面角范围及内切球半径利用面面垂直证线面垂直，进而证线线垂直；建立坐标系，由线面角正弦值求参数范围；利用等体积法和三角形面积公式证内切球半径不等式。1．（2026·山东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点．(1)求直线与平面的夹角；(2)若，平面与交于点，求线段的长度．2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．(1)求证：平面；(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.(1)证明：平面.(2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.4．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥中，，，D是的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.5．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥.(1)证明：平面平面；(2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值.6．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．(1)求证：，，，四点共面；(2)设，求平面与平面夹角的余弦值．7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点．(1)证明：平面；(2)设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示）8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台中，平面，，，，，是棱上一点（不含端点）．(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．(2)是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.(1)证明：平面PBC；(2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离.10．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.(1)证明：平面平面；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.11．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．(1)求证；平面平面；(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．12．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且．(1)求证：；(2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离．13．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，．(1)求证：；(2)若，，点在平面上的射影恰为线段的中点，求与平面所成角的正弦值．14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.(3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.15．（2026·山西朔州·一模）如图，线段的中点都是.(1)若，证明：平面平面；(2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.16．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点．(1)证明：平面平面；(2)设直线与平面所成角为，求的取值范围．17．（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别为棱上的点.(1)若∥，∥，证明:∥；(2)若分别为棱的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．19．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，．设E为CP的中点．(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；(3)直接写出四棱锥的外接球表面积与体积（无需证明）．20．（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥中，平面，且为的中点.(1)求二面角的余