2026年高考数学终极冲刺：压轴07 解三角形的综合问题的7大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析版）

压轴07解三角形综合问题的7大核心题型应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.题型01正、余弦定理技法技法指导1.正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，a∶b∶c＝sin2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b23.三角形的面积公式：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin1.（2024全国Ⅰ卷T16）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．题型02最值范围问题技法技法指导解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围；（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数；（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.2.（2024全国Ⅰ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．题型03多边形问题技法技法指导利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解；（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．题型04角平分线问题技法技法指导角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC(1)角平分线定理：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD).(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.4.（2023全国甲卷T16）在中，，的角平分线交BC于D，则．题型05中线问题技法技法指导中线定理：在中，AD是BC边上的中线，则有5.（2025·湖南浏阳三模）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．题型06高线问题技法技法指导高线问题的处理策略(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.(3)a＝c·cosB＋b·cosC.6(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高.题型07解三角形中的证明问题技法技法指导对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.7.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，，且．(1)证明：；(2)当时，求．2．（2025·江苏镇江·模拟）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，求的面积.3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．(1)求A；(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.(1)求；(2)若边上的高为，且的周长为6，求.7．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．(1)求；(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．8．（2025·湖北荆州·模拟）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)设，（ⅰ）求；（ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长.9．的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．(1)求；(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．10．已知的内角所对的边分别为.(1)若，求；(2)证明：.11．在中，内角，，所对的边长分别是，.(1)求角；(2)若，，，求AB边上的高.12．如图，在平面四边形中，，．(1)证明：；(2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围．

压轴07解三角形综合问题的7大核心题型应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.题型01正、余弦定理技法技法指导1.正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，a∶b∶c＝sin2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b23.三角形的面积公式：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin1.（2024全国Ⅰ卷T16）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【思维探究】看到什么想到什么对已知信息分析，已知三角形内两边及其夹角，对比余弦定理公式，求出的值，求B由的值可得C，由已知得，进而求B.若的面积为由(1)得B，C的值,通过正弦定理得到边长之间的关系求c由已知边角关系分析，要想求边c，可借助三角形的面积公式进行转化【解】（1）由余弦定理有，对比已知，【点拨】观察联想，如看到a2＋c2－b2应联想到a2＋c2－b2＝2accosB.可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，【点拨】注意到，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.题型02最值范围问题技法技法指导解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围；（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数；（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.2.（2024全国Ⅰ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【思维探究】看到什么想到什么根据所给条件中的角包含2B，联想利用二倍角公式进行计算整合，求B由所化式子，借助特殊角的三角函数值进行转换求解的最小值由求最值问题,联想到转化为函数问题求解，由三边平方的比值形式，联想正弦定理转化为三角函数【解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以【技巧】巧用三角形中的三角函数关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．题型03多边形问题技法技法指导利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解；（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【思维探究】看到什么想到什么为中点，且对已知信息进行整合、关联,，以面积列方程求联想，要求只需求或表达式给出了的数量关系，由表达式的次数特征联想余弦定理求根据已有结论，选择合适的包含的三角形进行求解【解析】（1）在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.（2）第1步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形在与中，由余弦定理得，第2步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件整理得，而，则，第3步：结合面积公式进行化简.又，解得，而，于是，所以.【另解】在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是所以.题型04角平分线问题技法技法指导角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC(1)角平分线定理：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD).(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.4.（2023全国甲卷T16）在中，，的角平分线交BC于D，则．【解析】如图所示：记， 由余弦定理可得，，因为，解得：，【技巧】若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.切要注意验根【常规解法】由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．【角平分线法】由角平分线可得即：，解得：．题型05中线问题技法技法指导中线定理：在中，AD是BC边上的中线，则有5.（2025·湖南浏阳三模）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【解题指导】（1）同角三角函数基本关系→正弦定理求解→求解（2）余弦定理与正弦定理→→三角函数性质求解其取值范围【解析】(1)因为，所以，【技巧】化边为角，通过三角变换找出角之间的关系即，又因，所以又由题意可知，所以，因为，所以.(2)由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，，【常规解法】又，则，【中线定理】所以，由题意得，解得，则，所以所以所以所以中线CD长的取值范围为题型06高线问题技法技法指导高线问题的处理策略(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.(3)a＝c·cosB＋b·cosC.6(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高.【思维探究】看到什么想到什么A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB角的关系及两角和差正弦公式sinA同角三角函数基本关系AB＝5，AB边上的高正、余弦定理求，等面积法求解【解】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝eq\f(π,4).【巧转化】利用，求出C因为2sin(A－C)＝sinB，所以展开并整理得eq\r(2)(sinA－cosA)＝eq\f(\r(2),2)(cosA＋sinA)，得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).(2)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，得BC＝eq\f(AB,sinC)·sinA＝eq\f(5,\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(5).由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(3eq\r(5))2－2AC·3eq\r(5)coseq\f(π,4)，整理得AC2－3eq\r(10)AC＋20＝0，解得AC＝eq\r(10)或AC＝2eq\r(10).由(1)得，tanA＝3>eq\r(3)，所以eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，又A＋B＝eq\f(3π,4)，所以B>eq\f(π,4)，即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2eq\r(10).设AB边上的高为h，则eq\f(1,2)·AB·h＝eq\f(1,2)·AC·BCsinC，【技巧】巧用等面积构建方程求解h即5h＝2eq\r(10)×3eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝6，所以AB边上的高为6.【另解】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝eq\f(π,4).因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3taneq\f(π,4)＝3，又sinA>0，tanA＝eq\f(sinA,cosA)，sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)知sinA＝eq\f(3\r(10),10)，tanA＝3>0，所以A为锐角，所以cosA＝eq\f(\r(10),10)，所以由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得AC＝eq\f(AB·sinB,sinC)＝eq\f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10)，故AB边上的高为AC·sinA＝2eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.题型07解三角形中的证明问题技法技法指导对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.7.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.【解】(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝eq\f(2π－2C,3).将A＝2B代入sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinB＝sinBsin(C－A)，因为B∈(0，π)，sinB≠0，所以sinC＝sin(C－A)，又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝eq\f(2π－2C,3)联立，解得C＝eq\f(5π,8).(2)证明：法一：由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，由正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).由余弦定理得，accosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2)，abcosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2)，2bccosA＝b2＋c2－a2，代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.法二：因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，，且．(1)证明：；(2)当时，求．【解】（1）证明：由及正弦定理得，．因为，，所以，即，因为，所以，因为在区间上单调递减，所以.（2）由题意，当时，根据正弦定理得，即，即，因为，所以，因为，所以.2．（2025·江苏镇江·模拟）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，求的面积.【解】（1）解：因为，由正弦定理，可得因为，可得，所以，所以.（2）解：由，可得，即，因为，可得，所以，即，又，所以，解得，又因为，可得由正弦定理，可得，所以.3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．【解】（1）因为，则，则，因为，所以；（2）因为，所以，则，由正弦定理，得，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即的取值范围为.4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.【解】（1）在中，，，则，由正弦定理得，，所以，因为，所以；（2）因为，，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，即，解得，在中，由正弦定理得，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，即.5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．(1)求A；(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．【解】（1）依题意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因为，所以；（2）依题意，，因为，解得，因为，所以，所以．6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.(1)求；(2)若边上的高为，且的周长为6，求.【解】（1）