解析已知P(a,b)、Q(c,d)两点求与之相关性的10个问题的详细求解步骤A5

已知P(5,11)、Q(16,6)，求解以下有关问题。(1)求线段PQ中点坐标P1。(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:3。(4)计算PQ两点的距离。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(10,9)时的双曲线方程。(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(15,8)时的双曲线方程。(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。(1)求线段PQ中点坐标P1。解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，根据题意，有：x0=eq\f(5+16,2)=eq\f(21,2);y0=eq\f(11+6,2)=eq\f(17,2).即中点P1的坐标为P1(eq\f(21,2),eq\f(17,2)).(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。解：介绍两种方法来求P2点坐标。思路一：两点间距离公式法。设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：|PP2|=eq\r((5-x2)2+(11-y2)2);|P2Q|=eq\r((16-x2)2+(6-y2)2).32[(5-x2)2+(11-y2)2]=22[(16-x2)2+(6-y2)2]225-90x2+9x22+1089-198y2+9y22=1024-128x2+4x22+144-48y2+4y22-5x22-5y22+38x2-150y2-146=0.又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：eq\f(y2-11,x2-5)=eq\f(6-11,16-5),即：y2-11=-eq\f(5(x2-5),11),y2=-eq\f(5(x2-5),11)+11,代入距离关系式方程有：-5x22-5（eq\f(5(x2-5),11)+11)2-38x2-150(eq\f(5(x2-5),11)+11)+146=0,化简得：-5x22-38x2+799=0,即：(5x-47)(-146x-2482)=0,由于5<x2<16,求出x2=eq\f(47,5)，进一步代入求出y2=eq\f(9,1).思路二：定比分点法。因为eq\f(PP2,p2Q)=eq\f(2,3)，所以定比分点λ1=eq\f(2,3).则所求P2的横坐标x2=eq\f(5+16λ1,1+λ1),同理，坐标轴y2=eq\f(11+6λ1,1+λ1)。即可求出x2=eq\f(47,5)，y2=9。所以所求点的坐标P2(eq\f(47,5)，9).(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)。解：用定比分点法求解。因为eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)，所以定比分点λ2=-eq\f(4,3);则所求P3的横坐标x3=eq\f(5+16λ2,1+λ2);同理，坐标轴y3=eq\f(11+6λ2,1+λ2)，即可求出x3=49，y3=-9。所以所求点的坐标P2(49,-9).(4)计算P、Q两点的距离。解：根据两点间距离公式有：d=|PQ|=eq\r((5-16)2+(11-6)2);=eq\r(121+25)=eq\r(146).即P、Q两点的距离为eq\r(146)。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。解：由P(5,11)、Q(16,6)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：k1=eq\f(6-11,16-5)=eq\f(5,11)-.则P,Q的直线方程L1的方程为：y-6=-eq\f(5,11)(x-16)。由题意知，直线L2的斜率k2为：k2=eq\f(11,5).即可求出所求的直线L2的方程为：y-eq\f(17,2)=eq\f(11,5)(x-eq\f(21,2))。(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有2c=|PQ|=eq\r(146)，即c=eq\f(1,2)eq\r(146)，此时c2=eq\f(73,2);又因为离心率e=eq\f(1,3)=eq\f(c,a)，则:a=eq\f(3,2)eq\r(146)，此时a2=eq\f(657,2)，此时b2=a2-c2=eq\f(657,2)-eq\f(73,2)=292,故此时椭圆方程为：eq\f((x-eq\f(21,2))2,eq\f(657,2))+eq\f((y-eq\f(17,2))2,292)=1。(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=1eq\r(146)，此时a=eq\f(1,2)eq\r(146)，进一步得a2=eq\f(73,2).由离心率e=eq\f(2,5)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(1,5)eq\r(146)，此时c2=eq\f(146,25);由b2=a2-c2=eq\f(73,2)-eq\f(146,25)=eq\f(1533,50)，故此时椭圆方程为：eq\f((x-eq\f(21,2))2,eq\f(73,2))+eq\f((y-eq\f(17,2))2,eq\f(1533,50))=1。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(10,9)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有2c=|PQ|=1eq\r(146)，即c=eq\f(1,2)eq\r(146)，此时c2=eq\f(73,2);由离心率e=eq\f(10,9)=eq\f(c,a),则：a=eq\f(9,20)eq\r(146)，此时a2=eq\f(5913,200);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(73,2)-eq\f(5913,200)=eq\f(1387,200),故此时双曲线的方程为：eq\f((x-eq\f(21,2))2,eq\f(5913,200))-eq\f((y-eq\f(17,2))2,eq\f(1387,200))=1.(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(15,8)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=eq\r(146)，此时a=eq\f(1,2)eq\r(146)，进一步得a2=eq\f(73,2).由离心率e=eq\f(15,8)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(15,16)eq\r(146)，此时c2=eq\f(16425,128);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(16425,128)-eq\f(73,2)=eq\f(10439,128)，故此时双曲线方程为：eq\f((x-eq\f(21,2))2,eq\f(73,2))-eq\f((y-e