2025-2026学年浙江杭州二中高一下册数学3月周末练3 含答案

/杭州二中2025级高一下数学周末练3一、单选题1、在△ABC中，若点D是BC边上靠近点C的三等分点，则ADA.AB−23ACB.12、已知平面向量a,β满足a=1，β=2，a⊥A.7B.7C.10D.103、已知向量a,b满足a=1，b=2，A.−24B.−224、如图，△ABC中，AB=3，AC=1，D是BC边中垂线上任意一点，则A.1B.2C.2D.45、已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若PQ=10,MN=24,则PMA.17B.20C.34D.486、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形7、在等腰△ABC中，BA=BC，若点M为△ABC的垂心，且满足BM=18BA+A.15B.16C.18、在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a+b=8且A.2B.12C.34二、多选题9、已知z是复数，且z+1zA.z=1C.z在复平面内对应的点在实轴上D.z−2−210、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bA.S△ABCC.sinBsinC+sinC11、正方形ABCD的边长为2,E在BC上,且BE=13BC,如图,点P是以AB为直径的半圆上任意一点，A.λ最大值为13B.μ最大值为C.AP⋅AE最大值是2103+2三、填空题12、已知1−i是方程x2+bx+13、如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取点C,D，测得∠ADC=90∘,∠BDC=60∘,∠14、已知O为△ABC的外心，若cosBsinCAB+四、解答题15、(1)计算:−2(2)已知z=1+i，求16、如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=4，∠ADC=23π，E(1)若AE⊥BF，求实数λ(2)求BF⋅FE17、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a(1)求cosB(2)若bsinC=2218、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积S=103，内切圆的半径为r=3(3)若∠ACB的平分线交AB于D，且CD=2，求△ABC的面积19、若三角形ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称P为三角形ABC的布洛卡点，θ为三角形ABC的布洛卡角.已知a，b，c分别为三角形ABC三个内角A，B,C所对的边,点P为三角形ABC(1)若b=c，足PBPA=PCPB(2)若三角形ABC的面积为S.①证明:a2+②当θ=π6，a=2杭州二中2025级高一下数学周末练3一、单选题1、在△ABC中，若点D是BC边上靠近点C的三等分点，则ADA.AB−23ACB.1【正确答案】B如图,AD=AB故选:B.2、已知平面向量a,β满足a=1,β=2A.7B.7C.10D.10【正确答案】C由于a⊥a−2β,所以0=a⋅a−2β=故选:C3、已知向量a,b满足a=1,A.−24B.−22【正确答案】A由模长公式a+由夹角公式cos⟨a故选:A4、如图，△ABC中，AB=3，AC=1，D是BC边中垂线上任意一点，则ADA.1B.2C.2D.4【正确答案】D设BC中点为E(如图所示)，则AD=AE所以AD==又ED⊥BC,所以又因为AE=所以AD=1故选:D.5、已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若PQ=10，MN=24，则A.17B.20C.34D.48【正确答案】C设O是圆的圆心,连接MO,OP,ON,作PQ⊥OE,则E,D分别是QP,MNODPM=故PM+当OE,OD所以PM+QN故选:C6、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【正确答案】C由正弦定理可得2sin所以2sin即sinAcosB=sinC又因为B∈0,π,所以sinB又因为A∈0,π故选:C.7、在等腰△ABC中，BA=BC，若点M为△ABC的垂心，且满足BM=18BA+A.15B.16C.1【正确答案】C如图，在等腰△ABC中，找底边AC的中点D作BD⊥AC,BC⊥AE以D为原点建立平面直角坐标系，设AC=2a,BD故BC=故BM=设Mm,n,故BM=m故Mλ又BM⋅AC=0,故2λ−18a2=0故BM=0,−14b,故n−b=−易得AM=a,34b,AM⋅BC=0由三线合一性质得BD平分∠ABC,故∠ABC=2∠由二倍角公式得tan∠ABC=tan2∠CBD=2×32故选:C8、在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a+b=8且A.2B.12C.34【正确答案】C因为tanC所以sin所以sin所以sinB由正弦定理可得:a+b=2c，又a因为△ABC面积为4，所以1由余弦定理可得:c2=所以:ab1①÷②可得:sinC1+cosC=所以tanC故选:C二、多选题9、已知z是复数，且z+1zA.z=1C.z在复平面内对应的点在实轴上D.z−2−2【正确答案】ABD由题意设z=则z+因为z+1所以x2−1+y2=0,且y≠因此z=x2+y2=1,故选项A正确;因为z在复平面内对应的点为x所以z在复平面内对应的点不在实轴上,故选项C错误;因为z−2−2i表示圆x2且最大距离为0−22+0−故选:ABD.10、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bA.S△ABCC.sinBsinC+sinC【正确答案】ACD由sinA=sinBsinC及正弦定理a对于A,S对于B,b对于C=bcsinA+2bccosAbc=sin因此sinBsinC+sinC对于D,a2=bcsinA,而则cosA两边平方得:cos2A≥1+sin化简得:sinA5sinA−4≤0所以a2bc=bcsinAbc=sinA≤故选:ACD思路点睛:处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.11、正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且BE=13BC，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，A.λ最大值为13B.μ最大值为C.AP⋅AE最大值是2103+2【正确答案】BC以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,A−1,0则AP=cosθ+1,sin得cosθ+1,sinθ=λ0,对于A,λ=3sinθ−cosθ−1−φ≤θ−φ≤π−φ对于B,−1≤cosθ≤1,μ=cos对于C,AP⋅AE=2cosθ+2φ≤θ+β≤π+β,则当θ=π对于D,AP+11=3+22sinθ+π4,而θ+π4∈π故选:BC三、填空题12、已知1−i是方程x2+bx+【正确答案】0由1−i是方程x2+bx+c则−b=1−i+1所以b+故答案为:013、如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取点C,D，测得∠ADC=90∘,∠BDC【正确答案】50在△BDC中，∠BDC=60∘,∠其中sin=2由正弦定理,得BD=在△ADC中,∠ADC=90∘又DC=100m,则又∠ADB在△ABD中,由余弦定理,得=所以AB=故答案为:5014、已知O为△ABC的外心，若cosBsinCAB+【正确答案】2依题意cosBsinCAB+coscoscos即cosB∴cosB即−cosA即sinAsinC=m则sin又A∈∴m故m的最大值为23故答案为:2四、解答题15、(1)计算:−2(2)已知z=1+i，求【正确答案】10(1)原式=(2)z2∴z2−3z16、如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=4，∠ADC=23π，E(1)若AE⊥BF，求实数λ(2)求BF⋅FE【正确答案】1(2)−(1)解:在平行四边形ABCD中,AB=∴∠BAD=建立如图坐标系，则A0,0，D4,0，B∵E为CD中点,故E∵AF=λAD∴AE∵AE所以92∴λ(2)解:由(1)可知，B1,3，F4所以BF=所以BF⋅∵当λ=1116时，BF⋅FE的最大值为2516所以BF⋅17、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a(1)求cosB(2)若bsinC=22【正确答案】(1)cos(2)10(1)由a+3c=3bsinsin因为A∈0,π,所以sinA>0,两边同时除以得cosB(2)由B∈0,π,cos因为S△ABC=12absinC=再由S△ABC=12acsinB由余弦定理:b2=522因此△ABC的周长为a18、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积S=103，内切圆的半径为r=3(3)若∠ACB的平分线交AB于D，且CD=2，求△ABC的面积【正确答案】1(2)c(3)4(1)由3sinBsinA−cosBcosA=sinC,得而0<C<π(2)由等面积法得:S=12absinC=12ra+b+c，即103=32a+b+(3)由CD平分∠ACB,得∠在△ABC中,设AD=m0<在△ACD中，由正弦定理，得2sinA=msin在△BCD中，由正弦定理，得2sinB=c−得c=m+1sin在△ABC中，由正弦定理，得asinA=bsin得1sinA=2c3a,1sinB由基本不等式,得32=1a+1b≥21ab于是,S△ABC=12absinC=思路点睛:解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用,遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题.19、若三角形ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称P为三角形ABC的布洛卡点，θ为三角形ABC的布洛卡角.已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A，B,C所对的边,点P(1)若b=c，足PBPA=PCPB(2)若三角形ABC的面积为S.①证明:a2+②当θ=π6,a=【正确答案】1